14. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2}{x-3} + \frac{mx}{x^2 - 9} = \frac{5}{x + 3}$。
(1)若这个方程的解是负数，求 $ m $ 的取值范围。
(2)若这个方程无解，求 $ m $ 的值。

解：
方程两边同乘$(x+3)(x-3)$，去分母得：
$2(x+3) + mx = 5(x-3)$
整理得：
$(m-3)x = -21$
(1) 当$m≠3$时，可得$x=\frac{21}{3-m}$。
由方程的解是负数，得$\frac{21}{3-m}＜0$，解得$m＞3$。
分式方程的分母不能为0，即$x≠\pm3$：
当$x=-3$时，$\frac{21}{3-m}=-3$，解得$m=10$，该值在$m＞3$范围内，需排除；
当$x=3$时，解得$m=-4$，不在$m＞3$范围内，无需额外排除。
因此$m$的取值范围是$m＞3$且$m≠10$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$m-3=0$，即$m=3$时，整式方程$0· x=-21$无解，原分式方程无解；
② 当整式方程的解为分式方程的增根时，原方程无解。
分式方程的增根为$x=3$或$x=-3$：
将$x=3$代入$(m-3)x=-21$，得$3(m-3)=-21$，解得$m=-4$；
将$x=-3$代入$(m-3)x=-21$，得$-3(m-3)=-21$，解得$m=10$。
综上，$m$的值为$3$或$-4$或$10$。

【分析】
解决本题首先要将分式方程去分母转化为整式方程，再根据问题要求分类讨论：
(1) 若方程的解为负数，首先保证整式方程有解，再令整式方程的解小于0，同时要排除使原分式方程分母为0的增根对应的m值；
(2) 若分式方程无解，分两种情况讨论：一是转化后的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算对应m的值即可。
【解析】
方程两边同乘$(x+3)(x-3)$，去分母得：
$2(x+3) + mx = 5(x-3)$
整理得：
$(m-3)x = -21$
(1) 当$m≠3$时，可得$x=\frac{21}{3-m}$。
由方程的解是负数，得$\frac{21}{3-m}＜0$，解得$m＞3$。
分式方程的分母不能为0，即$x≠\pm3$：
当$x=-3$时，$\frac{21}{3-m}=-3$，解得$m=10$，该值在$m＞3$范围内，需排除；
当$x=3$时，解得$m=-4$，不在$m＞3$范围内，无需额外排除。
因此$m$的取值范围是$m＞3$且$m≠10$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$m-3=0$，即$m=3$时，整式方程$0· x=-21$无解，原分式方程无解；
② 当整式方程的解为分式方程的增根时，原方程无解。
分式方程的增根为$x=3$或$x=-3$：
将$x=3$代入$(m-3)x=-21$，得$3(m-3)=-21$，解得$m=-4$；
将$x=-3$代入$(m-3)x=-21$，得$-3(m-3)=-21$，解得$m=10$。
综上，$m$的值为$3$或$-4$或$10$。
【答案】
(1) $m＞3$且$m≠10$；
(2) $m=3$或$m=-4$或$m=10$。
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；解一元一次不等式
【点评】
本题属于分式方程的典型应用题型，解题时需注意分式方程分母不为0的隐含条件，求解无解问题时要分别考虑整式方程本身无解、解为增根两种情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6

15. 阅读材料,并完成下列问题:
不难求得方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解是$x_1=2$,
$x_2=\frac{1}{2}$;
$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解是$x_1=3,x_2=\frac{1}{3}$;
$x+\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$的解是$x_1=4,x_2=\frac{1}{4}$.
(1)观察上述方程及其解,可猜想关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=a+\frac{1}{a}(a≠0)$的解是.
(2)试用“求出关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=a+\frac{1}{a}(a≠0)$的解”的方法证明你的猜想.
(3)利用你猜想的结论,解关于$x$的方程:
$\frac{x^2 - x + 1}{x - 1}=a+\frac{1}{a - 1}$.

解：
(1) $x_1=a$，$x_2=\frac{1}{a}$
(2) 证明：
方程两边同乘$x$，去分母得：
$x^2 + 1 = (a+\frac{1}{a})x$
整理得：$x^2 - (a+\frac{1}{a})x + 1 = 0$
因式分解得：$(x - a)(x - \frac{1}{a}) = 0$
解得：$x_1=a$，$x_2=\frac{1}{a}$
检验：将$x=a$代入原方程，左边$=a+\frac{1}{a}=$右边；将$x=\frac{1}{a}$代入原方程，左边$=\frac{1}{a}+a=a+\frac{1}{a}=$右边，且$x=a≠0$，$x=\frac{1}{a}≠0$，均为原方程的解。
(3) 对原方程左边变形：
$\frac{x^2 - x + 1}{x-1} = \frac{x(x-1) + 1}{x-1} = x + \frac{1}{x-1}$
原方程可化为：
$x + \frac{1}{x-1} = a + \frac{1}{a-1}$
两边同时减1，整理得：
$(x-1) + \frac{1}{x-1} = (a-1) + \frac{1}{a-1}$
根据猜想的结论可得：
$x-1 = a-1$ 或 $x-1 = \frac{1}{a-1}$
分别解得：
$x_1=a$，$x_2 = \frac{1}{a-1} + 1 = \frac{a}{a-1}$
检验：将$x_1=a$代入原方程，各分母均不为0，等式成立；将$x_2=\frac{a}{a-1}$代入原方程，各分母均不为0，等式成立。
所以原方程的解为$x_1=a$，$x_2=\frac{a}{a-1}$。

【分析】
(1) 观察给出的3个方程及其解的特征：方程右边均为“一个数+该数的倒数”的形式，解恰好是这个数和它的倒数，据此可直接猜想对应方程的解。
(2) 证明猜想时，遵循分式方程的求解步骤：先去分母将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后将所得的根代入原方程检验是否为增根，即可验证猜想是否成立。
(3) 求解第三个方程时，先对左边的分式进行拆分变形，通过拆分分子的方式将其转化为符合猜想结论的结构，再套用已证的结论得到关于x的简易方程，求解后检验根是否使原方程分母不为0即可。
【解析】
(1) 根据给出的方程和解的规律，可猜想方程的解为$x_1=a$，$x_2=\frac{1}{a}$。
(2) 证明：
方程两边同乘$x$（$x≠0$）去分母得：
$x^2 + 1 = (a+\frac{1}{a})x$
整理得：$x^2 - (a+\frac{1}{a})x + 1 = 0$
因式分解得：$(x - a)(x - \frac{1}{a}) = 0$
解得：$x_1=a$，$x_2=\frac{1}{a}$
检验：将$x=a$代入原方程，左边$=a+\frac{1}{a}=$右边，且$x=a≠0$；将$x=\frac{1}{a}$代入原方程，左边$=\frac{1}{a}+a=a+\frac{1}{a}=$右边，且$x=\frac{1}{a}≠0$，均为原方程的解，故猜想成立。
(3) 先对原方程左边的分式变形：
$\frac{x^2 - x + 1}{x-1} = \frac{x(x-1) + 1}{x-1} = x + \frac{1}{x-1}$
原方程可化为：
$x + \frac{1}{x-1} = a + \frac{1}{a-1}$
两边同时减1，整理得：
$(x-1) + \frac{1}{x-1} = (a-1) + \frac{1}{a-1}$
根据已证的结论可得：
$x-1 = a-1$ 或 $x-1 = \frac{1}{a-1}$
分别解得：
$x_1=a$，$x_2 = \frac{1}{a-1} + 1 = \frac{a}{a-1}$
检验：将$x_1=a$代入原方程，分母$x-1=a-1≠0$，等式成立；将$x_2=\frac{a}{a-1}$代入原方程，分母$x-1=\frac{a}{a-1}-1=\frac{1}{a-1}≠0$，等式成立，均为原方程的解。
【答案】
(1) $x_1=a$，$x_2=\frac{1}{a}$
(2) 猜想成立，证明如上。
(3) 原方程的解为$x_1=a$，$x_2=\frac{a}{a-1}$
【知识点】
1. 分式方程求解
2. 规律探究归纳
3. 分式化简变形
【点评】
本题融合了规律探究与分式方程的相关知识，既考查了从特殊事例归纳一般规律的能力，又考查了分式的变形技巧和分式方程的求解方法，解题核心是将待解的复杂分式方程转化为符合已知规律的形式，求解后需注意检验分式方程的根是否有效。
【难度系数】
0.6