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1. 对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，下列说法中错误的是 （）
A.图象分布在一、三象限
B.$y$随$x$的增大而减小
C.图象关于原点对称
D.若点$P(m,n)$在它的图象上，则点$Q(n,m)$也在它的图象上$(mn≠0)$
A.图象分布在一、三象限
B.$y$随$x$的增大而减小
C.图象关于原点对称
D.若点$P(m,n)$在它的图象上，则点$Q(n,m)$也在它的图象上$(mn≠0)$
答案
B
解析
【分析】
本题考查反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的基本性质，解题思路如下：首先确定本题中反比例函数的$k=2＞0$，再结合反比例函数的图象分布规律、增减性、对称性、图象上点的坐标特征四个要点，逐一判断四个选项的正误，特别注意反比例函数的增减性成立的前提是“在同一象限内”，避免忽略前提直接判断出错。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，可知$k=2＞0$：
选项A：当$k＞0$时，反比例函数图象分布在第一、三象限，因此A说法正确，不符合题意；
选项B：当$k＞0$时，在同一象限内，$y$随$x$的增大而减小，若跨象限则不满足该规律（例如$x=-1$时$y=-2$，$x=1$时$y=2$，$x$增大的同时$y$也增大），因此B说法错误，符合题意；
选项C：反比例函数的图象是关于原点中心对称的双曲线，因此C说法正确，不符合题意；
选项D：若点$P(m,n)$在函数图象上，则$n=\frac{2}{m}$，即$mn=2$，将点$Q(n,m)$代入函数解析式得$m=\frac{2}{n}$，即$mn=2$，满足解析式，因此点$Q$也在函数图象上，D说法正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查反比例函数的核心性质，易错点是判断增减性时容易遗漏“在同一象限内”的前提条件，熟练掌握反比例函数的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的基本性质，解题思路如下：首先确定本题中反比例函数的$k=2＞0$，再结合反比例函数的图象分布规律、增减性、对称性、图象上点的坐标特征四个要点，逐一判断四个选项的正误，特别注意反比例函数的增减性成立的前提是“在同一象限内”，避免忽略前提直接判断出错。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，可知$k=2＞0$：
选项A：当$k＞0$时，反比例函数图象分布在第一、三象限，因此A说法正确，不符合题意；
选项B：当$k＞0$时，在同一象限内，$y$随$x$的增大而减小，若跨象限则不满足该规律（例如$x=-1$时$y=-2$，$x=1$时$y=2$，$x$增大的同时$y$也增大），因此B说法错误，符合题意；
选项C：反比例函数的图象是关于原点中心对称的双曲线，因此C说法正确，不符合题意；
选项D：若点$P(m,n)$在函数图象上，则$n=\frac{2}{m}$，即$mn=2$，将点$Q(n,m)$代入函数解析式得$m=\frac{2}{n}$，即$mn=2$，满足解析式，因此点$Q$也在函数图象上，D说法正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查反比例函数的核心性质，易错点是判断增减性时容易遗漏“在同一象限内”的前提条件，熟练掌握反比例函数的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 设$k＜0$，那么函数$y=-\frac{x}{k}$与$y=\frac{k}{x}$在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（
）
）答案
解：
已知$k＜0$：
1. 对正比例函数$y=-\frac{x}{k}$，由$k＜0$可得$-\frac{1}{k}＞0$，因此该函数图象经过第一、三象限，据此排除图象中直线过第二、四象限的选项B、C。
2. 对反比例函数$y=\frac{k}{x}$，由$k＜0$可得该函数的图象分布在第二、四象限，据此排除反比例函数图象在第一、三象限的选项A。
综上，答案为$\boldsymbol{D}$。
已知$k＜0$：
1. 对正比例函数$y=-\frac{x}{k}$，由$k＜0$可得$-\frac{1}{k}＞0$，因此该函数图象经过第一、三象限，据此排除图象中直线过第二、四象限的选项B、C。
2. 对反比例函数$y=\frac{k}{x}$，由$k＜0$可得该函数的图象分布在第二、四象限，据此排除反比例函数图象在第一、三象限的选项A。
综上，答案为$\boldsymbol{D}$。
解析
【分析】
这是同一坐标系下两类函数图象的判断类题型，已知参数$k＜0$，我们采用分步排除法解题即可：第一步先分析正比例函数$y=-\frac{x}{k}$的比例系数符号，确定它的图象经过的象限，排除不符合特征的选项；第二步再分析反比例函数$y=\frac{k}{x}$的系数符号，确定它的图象分布的象限，排除剩余选项中不符合特征的，就能得到正确答案。
【解析】
已知$k＜0$：
1. 对于正比例函数$y=-\frac{x}{k}$，可变形为$y=(-\frac{1}{k})x$，由$k＜0$可得$-\frac{1}{k}＞0$，根据正比例函数的性质，比例系数大于0时，图象经过第一、三象限，因此排除直线经过第二、四象限的选项B、C。
2. 对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＜0$时，根据反比例函数的性质，图象分布在第二、四象限，因此排除反比例函数图象在第一、三象限的选项A。
综上，只有选项D符合两个函数的图象特征。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
正比例函数图象与性质；反比例函数图象与性质；函数图象判断
【点评】
本题是函数图象类的基础题型，解题核心是根据参数的符号判断对应函数的图象特征，采用排除法可快速锁定答案，做题时要注意系数的符号变形，避免因符号判断错误选错选项。
【难度系数】
0.8
这是同一坐标系下两类函数图象的判断类题型，已知参数$k＜0$，我们采用分步排除法解题即可：第一步先分析正比例函数$y=-\frac{x}{k}$的比例系数符号，确定它的图象经过的象限，排除不符合特征的选项；第二步再分析反比例函数$y=\frac{k}{x}$的系数符号，确定它的图象分布的象限，排除剩余选项中不符合特征的，就能得到正确答案。
【解析】
已知$k＜0$：
1. 对于正比例函数$y=-\frac{x}{k}$，可变形为$y=(-\frac{1}{k})x$，由$k＜0$可得$-\frac{1}{k}＞0$，根据正比例函数的性质，比例系数大于0时，图象经过第一、三象限，因此排除直线经过第二、四象限的选项B、C。
2. 对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＜0$时，根据反比例函数的性质，图象分布在第二、四象限，因此排除反比例函数图象在第一、三象限的选项A。
综上，只有选项D符合两个函数的图象特征。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
正比例函数图象与性质；反比例函数图象与性质；函数图象判断
【点评】
本题是函数图象类的基础题型，解题核心是根据参数的符号判断对应函数的图象特征，采用排除法可快速锁定答案，做题时要注意系数的符号变形，避免因符号判断错误选错选项。
【难度系数】
0.8
3. 设反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）. 已知当$-6≤x≤-2$时，$y$的最大值为$-1$，则当$2≤x≤3$时，$y$的最大值为（）
A.3
B.2
C.1
D.$\frac{2}{3}$
A.3
B.2
C.1
D.$\frac{2}{3}$
答案
A
解析
【分析】
解题需先确定反比例函数中常数$k$的值，再求指定区间的$y$最大值。步骤如下：①先根据给定的$x$取值范围和$y$的最大值判断$k$的符号：$x$取负值时$y$的最大值为负，说明函数图象在第三象限，因此$k＞0$；②结合反比例函数增减性（$k＞0$时，同一象限内$y$随$x$增大而减小），找到$y$取最大值对应的$x$值，代入求出$k$；③再利用第一象限内的增减性，计算$2≤x≤3$时的$y$最大值。
【解析】
解：第一步：求$k$的值
已知当$-6≤x≤-2$时，$y$的最大值为$-1$，此时$x$、$y$均为负数，说明反比例函数图象位于第三象限，因此$k＞0$。
当$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此在$-6≤x≤-2$区间内，$x$越小$y$值越大，$y$最大值出现在$x=-6$处。
将$x=-6$，$y=-1$代入$y=\frac{k}{x}$得：
$-1=\frac{k}{-6}$，解得$k=6$，即反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
第二步：求$2≤x≤3$时$y$的最大值
当$2≤x≤3$时，函数图象位于第一象限，$k=6＞0$，$y$随$x$的增大而减小，因此$y$最大值出现在$x=2$处。
将$x=2$代入$y=\frac{6}{x}$得：$y=\frac{6}{2}=3$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质、待定系数法求解析式、函数最值计算
【点评】
本题核心是对反比例函数增减性的应用，解题关键是要明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需根据$x$的取值范围所在象限判断最值对应的$x$取值，易错点为混淆不同$k$值对应的增减性规律。
【难度系数】
0.7
解题需先确定反比例函数中常数$k$的值，再求指定区间的$y$最大值。步骤如下：①先根据给定的$x$取值范围和$y$的最大值判断$k$的符号：$x$取负值时$y$的最大值为负，说明函数图象在第三象限，因此$k＞0$；②结合反比例函数增减性（$k＞0$时，同一象限内$y$随$x$增大而减小），找到$y$取最大值对应的$x$值，代入求出$k$；③再利用第一象限内的增减性，计算$2≤x≤3$时的$y$最大值。
【解析】
解：第一步：求$k$的值
已知当$-6≤x≤-2$时，$y$的最大值为$-1$，此时$x$、$y$均为负数，说明反比例函数图象位于第三象限，因此$k＞0$。
当$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此在$-6≤x≤-2$区间内，$x$越小$y$值越大，$y$最大值出现在$x=-6$处。
将$x=-6$，$y=-1$代入$y=\frac{k}{x}$得：
$-1=\frac{k}{-6}$，解得$k=6$，即反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
第二步：求$2≤x≤3$时$y$的最大值
当$2≤x≤3$时，函数图象位于第一象限，$k=6＞0$，$y$随$x$的增大而减小，因此$y$最大值出现在$x=2$处。
将$x=2$代入$y=\frac{6}{x}$得：$y=\frac{6}{2}=3$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质、待定系数法求解析式、函数最值计算
【点评】
本题核心是对反比例函数增减性的应用，解题关键是要明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需根据$x$的取值范围所在象限判断最值对应的$x$取值，易错点为混淆不同$k$值对应的增减性规律。
【难度系数】
0.7
4. 若反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是.
答案
$\boldsymbol{k＜1}$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m\ne0$）的图象所在象限由比例系数$m$的符号决定，当$m＜0$时，图象位于第二、四象限；当$m＞0$时，图象位于第一、三象限。接下来找到本题中反比例函数的比例系数为$k-1$，结合图象经过第二、四象限的条件，列出关于$k$的不等式，最后解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象经过第二、四象限，根据反比例函数的图象性质可得：
比例系数$k-1＜0$
对不等式移项求解：
$k＜1$
【答案】
$k＜1$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数图象性质的直接应用，解题核心是牢记反比例函数图象所在象限和比例系数符号的对应关系，计算难度低，不易出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m\ne0$）的图象所在象限由比例系数$m$的符号决定，当$m＜0$时，图象位于第二、四象限；当$m＞0$时，图象位于第一、三象限。接下来找到本题中反比例函数的比例系数为$k-1$，结合图象经过第二、四象限的条件，列出关于$k$的不等式，最后解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象经过第二、四象限，根据反比例函数的图象性质可得：
比例系数$k-1＜0$
对不等式移项求解：
$k＜1$
【答案】
$k＜1$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数图象性质的直接应用，解题核心是牢记反比例函数图象所在象限和比例系数符号的对应关系，计算难度低，不易出错。
【难度系数】
0.9
5. 已知反比例函数 $y=-\dfrac{1-2k}{x}$，在其图象的每条曲线上，$y$ 都随 $x$ 的增大而增大，则 $k$ 的取值范围是。
答案
解：
对于反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$），当$m＜0$时，在其图象的每条曲线上，$y$都随$x$的增大而增大。
将给定函数整理可得：$y=\dfrac{2k-1}{x}$，
结合题意列不等式：
$2k-1＜0$
解得：
$k＜\dfrac{1}{2}$
故$k$的取值范围是$\boldsymbol{k＜\dfrac{1}{2}}$。
对于反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$），当$m＜0$时，在其图象的每条曲线上，$y$都随$x$的增大而增大。
将给定函数整理可得：$y=\dfrac{2k-1}{x}$，
结合题意列不等式：
$2k-1＜0$
解得：
$k＜\dfrac{1}{2}$
故$k$的取值范围是$\boldsymbol{k＜\dfrac{1}{2}}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$），当$m＜0$时，图象每条曲线上$y$随$x$的增大而增大；当$m＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题已知函数满足$y$随$x$增大而增大的性质，因此先将给定函数整理为反比例函数标准形式，找到对应的比例系数，令其小于0，解不等式即可求出$k$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$），当$m＜0$时，在其图象的每条曲线上，$y$都随$x$的增大而增大。
将给定函数整理可得：$y=\dfrac{2k-1}{x}$，
结合题意列不等式：
$2k-1＜0$
移项得$2k＜1$，
解得：
$k＜\dfrac{1}{2}$
【答案】
$k＜\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质 2.解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题关键是熟记反比例函数比例系数的符号与增减性的对应关系，化简函数解析式时注意符号处理，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$），当$m＜0$时，图象每条曲线上$y$随$x$的增大而增大；当$m＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题已知函数满足$y$随$x$增大而增大的性质，因此先将给定函数整理为反比例函数标准形式，找到对应的比例系数，令其小于0，解不等式即可求出$k$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$），当$m＜0$时，在其图象的每条曲线上，$y$都随$x$的增大而增大。
将给定函数整理可得：$y=\dfrac{2k-1}{x}$，
结合题意列不等式：
$2k-1＜0$
移项得$2k＜1$，
解得：
$k＜\dfrac{1}{2}$
【答案】
$k＜\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质 2.解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题关键是熟记反比例函数比例系数的符号与增减性的对应关系，化简函数解析式时注意符号处理，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
6. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象经过点$P_1(1,y_1),P_2(3,y_2)$两点，则 $y_1$ $y_2$.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
$\boldsymbol{＞}$
解析
【分析】
拿到这道题我们可以从两种思路入手思考：第一种是直接代入法，将两点的横坐标分别代入反比例函数解析式，算出对应的y值后直接比较大小；第二种是利用反比例函数的增减性判断，首先看反比例函数的k值正负，确定函数的增减规律，再判断两个点是否在同一象限，最后结合横坐标的大小关系推导y值的大小关系。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=1$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得$y_1=\dfrac{3}{1}=3$；
将$x=3$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得$y_2=\dfrac{3}{3}=1$；
因为$3＞1$，所以$y_1＞y_2$。
方法二：利用反比例函数性质求解
反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$中$k=3＞0$，因此该函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
点$P_1(1,y_1)$、$P_2(3,y_2)$的横坐标均为正数，两点都在第一象限，且$1＜3$，根据增减性可得$y_1＞y_2$。
【答案】
$\boldsymbol{＞}$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，两种解题方法都很常用，解题时要注意：若要使用增减性比较函数值大小，必须保证两个点在同一个象限内。
【难度系数】
0.9
拿到这道题我们可以从两种思路入手思考：第一种是直接代入法，将两点的横坐标分别代入反比例函数解析式，算出对应的y值后直接比较大小；第二种是利用反比例函数的增减性判断，首先看反比例函数的k值正负，确定函数的增减规律，再判断两个点是否在同一象限，最后结合横坐标的大小关系推导y值的大小关系。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=1$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得$y_1=\dfrac{3}{1}=3$；
将$x=3$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得$y_2=\dfrac{3}{3}=1$；
因为$3＞1$，所以$y_1＞y_2$。
方法二：利用反比例函数性质求解
反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$中$k=3＞0$，因此该函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
点$P_1(1,y_1)$、$P_2(3,y_2)$的横坐标均为正数，两点都在第一象限，且$1＜3$，根据增减性可得$y_1＞y_2$。
【答案】
$\boldsymbol{＞}$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，两种解题方法都很常用，解题时要注意：若要使用增减性比较函数值大小，必须保证两个点在同一个象限内。
【难度系数】
0.9
