5. 探索部分。
(1) 在方格纸上按要求画图。

① 按$3:1$的比放大长方形，画出放大后的图形。放大后的长方形与原来长方形面积的比是()。
② 画一个梯形，面积是三角形面积的 2 倍。
③ 如果 1 个小方格表示 1 平方厘米，在方格纸上设计一个面积是 10 平方厘米的轴对称图形，并画出对称轴。

1. 对于①：
设原长方形的长为$a$，宽为$b$，则原长方形面积$S_1 = ab$。
按$3:1$的比放大后，长变为$3a$，宽变为$3b$，放大后的长方形面积$S_2=3a×3b = 9ab$。
所以$S_2:S_1=9ab:ab = 9:1$。
2. 对于②：
先求三角形面积：
假设三角形的底为$4$厘米（占$4$个小方格），高为$3$厘米（占$3$个小方格），根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，则三角形面积$S_{△}=\frac{1}{2}×4×3 = 6$平方厘米。
那么梯形面积$S_{梯}=2×6 = 12$平方厘米。
设梯形的上底为$3$厘米，下底为$5$厘米，高为$3$厘米，根据梯形面积公式$S=\frac{(上底 + 下底)×高}{2}$，$S=\frac{(3 + 5)×3}{2}=12$平方厘米（画法不唯一）。
3. 对于③：
可以画一个长为$5$厘米，宽为$2$厘米的长方形（长方形是轴对称图形），其面积$S = 5×2=10$平方厘米，对称轴为过对边中点的直线（画法不唯一）。
综上，①的答案是$9:1$；②和③按上述思路画图即可。

(1)①原长方形长和宽放大3倍，面积比为3²:1²=9:1。
②先求原三角形面积（假设底4格高3格，面积6），梯形面积需12，可画(上底2+下底4)×高4÷2=12的梯形。
③设计长5宽2的长方形（面积10），对称轴为竖直或水平中线。
(2)①图上1格500米，小红家距购物中心2格，2×500=1000米。
②1500米=3格，从购物中心北偏东30°画3格标广电大厦。
③过广电大厦画与香港路（东西向）平行的直线。
(3)①循环节为■■■●○☆☆（7个），20÷7=2余6，2×3+3=9。
②数列分子2,3,4,5,6,7，分母3，即$\frac{6}{3}$=2，$\frac{7}{3}$。