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一、选择题
1. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是 40 m/min，小红用 15 min 到家，小颖 20 min 到家，小红和小颖家的直线距离为(
A.600 m
B.800 m
C.1 000 m
D.不能确定
1. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是 40 m/min，小红用 15 min 到家，小颖 20 min 到家，小红和小颖家的直线距离为(
C
)。A.600 m
B.800 m
C.1 000 m
D.不能确定
答案
1. C
解析
小红行走的路程：$40×15 = 600\ \mathrm{m}$
小颖行走的路程：$40×20 = 800\ \mathrm{m}$
东南方向和西南方向夹角为$90°$，由勾股定理得，两家直线距离：$\sqrt{600^{2}+800^{2}}=\sqrt{360000 + 640000}=\sqrt{1000000}=1000\ \mathrm{m}$
C
小颖行走的路程：$40×20 = 800\ \mathrm{m}$
东南方向和西南方向夹角为$90°$，由勾股定理得，两家直线距离：$\sqrt{600^{2}+800^{2}}=\sqrt{360000 + 640000}=\sqrt{1000000}=1000\ \mathrm{m}$
C
2. 一直角三角形的三边长分别为 2，3，x，那么以 x 为边长的正方形的面积为(
A.13
B.5
C.13 或 5
D.4
C
)。A.13
B.5
C.13 或 5
D.4
答案
2. C
解析
当$x$为斜边时，$x^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$；当$x$为直角边时，$x^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$。以$x$为边长的正方形的面积为$13$或$5$。
C
C
3. 在山坡上种树，树的株距(相邻两棵树之间的水平距离)是 4 m 时，测出斜坡上相邻两棵树之间的距离是 5 m，则这两棵树上升了(
A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m
B
)。A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m
答案
3. B
解析
设这两棵树上升了$h$米，由勾股定理得$h = \sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3$。
B
B
二、填空题
4. 如图所示，在数轴上，点 A，B 表示的数分别为 0，2，BC⊥AB 于点 B，且 BC=1，连接 AC，在 AC 上截取 CD=BC，以 A 为圆心，AD 的长为半径画弧，交线段 AB 于点 E，则点 E 表示的实数是
4. 如图所示，在数轴上，点 A，B 表示的数分别为 0，2，BC⊥AB 于点 B，且 BC=1，连接 AC，在 AC 上截取 CD=BC，以 A 为圆心，AD 的长为半径画弧，交线段 AB 于点 E，则点 E 表示的实数是
$\sqrt{5}-1$
。答案
4. $\sqrt{5}-1$
解析
解：
∵点A，B表示的数分别为0，2，
∴AB=2。
∵BC⊥AB，BC=1，
∴在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
∵CD=BC=1，
∴AD=AC-CD=$\sqrt{5}-1$。
∵以A为圆心，AD为半径画弧交AB于点E，
∴AE=AD=$\sqrt{5}-1$。
∵点A表示的数为0，
∴点E表示的实数是$\sqrt{5}-1$。
$\sqrt{5}-1$
∵点A，B表示的数分别为0，2，
∴AB=2。
∵BC⊥AB，BC=1，
∴在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
∵CD=BC=1，
∴AD=AC-CD=$\sqrt{5}-1$。
∵以A为圆心，AD为半径画弧交AB于点E，
∴AE=AD=$\sqrt{5}-1$。
∵点A表示的数为0，
∴点E表示的实数是$\sqrt{5}-1$。
$\sqrt{5}-1$
5. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何。”用数学语言表述是：在△ABC 中，∠ACB = 90°，AC + AB = 10，BC = 3，求 AC 的长。若设 AC = x，则可列方程为
$x^{2}+3^{2}=(10-x)^{2}$
。答案
5. $x^{2}+3^{2}=(10-x)^{2}$
解析
【分析】
首先，题目中的△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，因此AC、BC为直角边，AB为斜边。设AC=x，根据已知条件AC+AB=10，可推导出AB的长度为10-x。接下来，依据勾股定理（直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方），将各边的表达式代入勾股定理公式，就能列出对应的方程。
【解析】
设AC = x，
因为AC + AB = 10，所以AB = 10 - x。
又因为在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
已知BC = 3，将AC=x、AB=10-x、BC=3代入公式，可得：
$x^{2}+3^{2}=(10-x)^{2}$
【答案】
$x^{2}+3^{2}=(10-x)^{2}$
【知识点】
勾股定理，列一元二次方程
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查勾股定理的实际应用，关键是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，通过设未知数表示各边长度，利用勾股定理建立等量关系列方程，题型基础，能帮助学生提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
首先，题目中的△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，因此AC、BC为直角边，AB为斜边。设AC=x，根据已知条件AC+AB=10，可推导出AB的长度为10-x。接下来，依据勾股定理（直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方），将各边的表达式代入勾股定理公式，就能列出对应的方程。
【解析】
设AC = x，
因为AC + AB = 10，所以AB = 10 - x。
又因为在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
已知BC = 3，将AC=x、AB=10-x、BC=3代入公式，可得：
$x^{2}+3^{2}=(10-x)^{2}$
【答案】
$x^{2}+3^{2}=(10-x)^{2}$
【知识点】
勾股定理，列一元二次方程
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查勾股定理的实际应用，关键是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，通过设未知数表示各边长度，利用勾股定理建立等量关系列方程，题型基础，能帮助学生提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
6. 在 Rt△ABC 中，斜边 AB = 1，则 AB² + BC² + CA² 的值为
2
。答案
6. 2
解析
解：在Rt△ABC中，斜边AB=1，根据勾股定理得BC²+CA²=AB²=1²=1，所以AB²+BC²+CA²=1+1=2。
三、解答题
7. 如图所示，等腰三角形 ABC 的腰长为 10，底边上的高为 8。
(1) 求底边 BC 的长；
(2) 求△ABC 的面积。
7. 如图所示，等腰三角形 ABC 的腰长为 10，底边上的高为 8。
(1) 求底边 BC 的长；
(2) 求△ABC 的面积。
答案
7. (1) 12 (2) 48
解析
(1) 解：因为等腰三角形 $ABC$ 中，$AB = AC = 10$，$AD$ 是底边上的高，所以 $AD ⊥ BC$，$BD = DC$。
在 $Rt△ ABD$ 中，$AB = 10$，$AD = 8$，由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$。
所以 $BC = 2BD = 2×6 = 12$。
(2) 解：$△ ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 12 × 8 = 48$。
在 $Rt△ ABD$ 中，$AB = 10$，$AD = 8$，由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$。
所以 $BC = 2BD = 2×6 = 12$。
(2) 解：$△ ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 12 × 8 = 48$。
