1. 如图，一张等边三角形形状的纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中$∠α + ∠β$的度数是（）。

A.$180°$
B.$220°$
C.$240°$
D.$300°$

1. C

【分析】
解题时首先回忆等边三角形的内角特点，以及多边形内角和公式：n边形内角和为(n-2)×180°。原图形是等边三角形，它的三个内角均为60°，剪去一个角后得到四边形，四边形的四个内角中，除了∠α和∠β，剩下的两个内角就是原等边三角形的两个底角，度数均为60°，因此只需用四边形内角和减去这两个角的度数和，即可求出∠α+∠β的度数。
【解析】
解：
∵原三角形是等边三角形，
∴等边三角形的每个内角均为60°，
则剪去一个角后得到的四边形中，除∠α、∠β外的两个内角之和为60°+60°=120°，
又
∵四边形的内角和为(4-2)×180°=360°，
∴∠α+∠β=360°-120°=240°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；多边形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确剪去角后得到的四边形的两个底角的度数，结合多边形内角和公式即可快速求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8

2. 已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，下列结论：
①若$AB=BC$，则$△ ABC$是等边三角形；
②若$∠ A=60°$，则$△ ABC$是等边三角形；
③若$∠ B=60°$，则$△ ABC$是等边三角形.
其中正确的有().

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

2. D

【分析】
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，接下来结合等边三角形的判定定理逐一验证3个结论：①若AB=BC，结合已知AB=AC可推出三边相等，符合等边三角形定义；②若顶角∠A=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断；③若底角∠B=60°，结合等腰三角形两底角相等的性质可推出三个内角都是60°，也符合等边三角形判定，最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。
①若AB=BC，结合AB=AC可得：AB=AC=BC，三边相等的三角形是等边三角形，故①正确；
②若∠A=60°，根据“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△ABC是等边三角形，故②正确；
③若∠B=60°，因为AB=AC，等腰三角形两底角相等，即∠B=∠C=60°，则∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°，三个内角均为60°，因此△ABC是等边三角形，故③正确。
综上，①②③均正确，共3个正确结论。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题考查等边三角形的判定，解题的关键是牢记等腰三角形的性质以及等边三角形的判定定理，逐条分析结论即可，属于基础题。
【难度系数】
0.9

3. 如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE=2，则DF=。

3. 2

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，根据等边三角形“三线合一”的性质，可推出AD是∠BAC的角平分线；再观察DE⊥AB、DF⊥AC，可知DE、DF是角平分线AD上的点D到∠BAC两边的垂线段，结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可直接得出DF和DE相等，也可通过证明△BDE与△CDF全等来推导线段相等。
【解析】
方法一：利用角平分线性质求解
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC（等边三角形三线合一），
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DF=DE，
又
∵DE=2，
∴DF=2。
方法二：利用全等三角形求解
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在△BDE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠DEB=∠DFC \\∠B=∠C \\BD=CD\end{array} $
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DF=DE=2。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查等边三角形的特殊性质和角平分线性质的应用，解题时优先运用“三线合一”和角平分线性质可简化运算，也可通过全等三角形的思路解决，是三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.9

4. 如图，六边形ABCDEF的六个角都是$120°$，AB=1 cm，BC=3 cm，CD=3 cm，DE=2 cm，则这个六边形的周长是 cm.

4. 15 解析 如图，分别作直线AB，CD，EF，使它们分别交于点G，H，P。
∵六边形 ABCDEF 的六个角都是$120°$，
∴它的每一个外角都是$60°$，
∴$△APF,△BGC,△EDH,△PGH$都是等边三角形，
∴$GB = GC = BC = 3\ \mathrm{cm}, EH = DH=DE=2\ \mathrm{cm},$
∴$GH=3+3+2=8(\mathrm{cm}),$
∴$FA=PA=PF=8-3-1=4(\mathrm{cm}),$
∴$EF=8-4-2=2(\mathrm{cm}),$
∴六边形 ABCDEF 的周长为$1+4+2+2+3+3=15(\mathrm{cm}).$

【分析】
遇到所有内角均为120°的六边形时，无法直接计算未知边的长度，我们可以利用120°角的外角为60°的特点，通过延长六边形的三组对边，构造出等边三角形，借助等边三角形三边相等的性质，先求出构造出的大等边三角形的边长，再依次推算出未知边AF、EF的长度，最后将六边形所有边长相加即可得到周长。
【解析】
如图，分别作直线AB，CD，EF，使它们分别交于点G，H，P。
∵六边形ABCDEF的六个角都是$120°$，
∴它的每一个外角的度数为$180°-120°=60°$，
∴$△APF、△BGC、△EDH、△PGH$都是等边三角形。
∴$GB = GC = BC = 3\ \mathrm{cm}$，$EH = DH=DE=2\ \mathrm{cm}$，
∴$GH=GC+CD+DH=3+3+2=8(\mathrm{cm})$。
∵$△PGH$是等边三角形，
∴$PG=GH=8\ \mathrm{cm}$，
又
∵$PG=GB+AB+PA$，
∴$PA=PG-GB-AB=8-3-1=4(\mathrm{cm})$，
∵$△APF$是等边三角形，
∴$FA=PA=4\ \mathrm{cm}$，$PF=PA=4\ \mathrm{cm}$。
∵$PH=GH=8\ \mathrm{cm}$，$PH=PF+EF+EH$，
∴$EF=PH-PF-EH=8-4-2=2(\mathrm{cm})$。
∴六边形ABCDEF的周长为$AB+BC+CD+DE+EF+FA=1+3+3+2+2+4=15(\mathrm{cm})$。
【答案】
15
【知识点】
多边形内外角关系，等边三角形的性质，周长计算
【点评】
本题是多边形角度相关的典型拓展题，解题的关键是掌握内角为120°的多边形的常用辅助线做法，通过构造等边三角形将不规则图形的问题转化为熟悉的等边三角形边长计算问题，很好地考查了学生的转化思维和特殊图形性质的应用能力。
【难度系数】
0.6

5. 如图，在$△ ECB$中，$∠ CEB = ∠ B$，延长BE至点A，过点A作$AD // CE$，$∠ A = 60°$，连接CD。求证：$△ ECB$是等边三角形。

5. 证明
∵AD//CE，
∴∠A=∠CEB=60°.
∵∠CEB=∠B，
∴CE=CB，
∴△CEB是等腰三角形.
又∠CEB=60°，
∴△CEB是等边三角形.

【分析】
要证明△ECB是等边三角形，可通过“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理推导。首先结合已知AD//CE，利用平行线的性质可求出∠CEB的度数；再根据已知∠CEB=∠B，先判定△ECB为等腰三角形，最后结合∠CEB为60°，即可完成等边三角形的证明。
【解析】
证明：
∵AD//CE，
∴∠A=∠CEB=60°，
∵∠CEB=∠B，
∴CE=CB，
∴△ECB是等腰三角形，
又
∵∠CEB=60°，
∴△ECB是等边三角形。
【答案】
证明过程如上所示，△ECB是等边三角形成立。
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形判定，等边三角形判定
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考察平行线性质与特殊三角形判定定理的结合应用，梳理清楚已知条件和对应定理的关联即可快速推导结论，能有效巩固基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8

6. 如图，$△ ABC$为等边三角形，$M$是线段$BC$上的任意一点，$N$是线段$CA$上的任意一点，且$BM=CN$，$BN$与$AM$交于点$Q$.

(1)求证$△ BAN≌△ ACM$；
(2)求$∠ BQM$的大小.

6. (1)证明
∵△ABC 为等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠BAC=∠BCA=60°.
∵BM=CN，
∴CM=AN.
∵在△BAN 和△ACM 中，
$\begin{cases} BA=AC, \\ ∠BAN=∠ACM, \\ AN=CM, \end{cases}$
∴△BAN≌△ACM(SAS).
(2)解
∵由(1)知∠CAM=∠ABN，
∴∠BQM = ∠ABN + ∠BAQ = ∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.

【分析】
（1）要证明△BAN≌△ACM，首先结合等边三角形的性质可得AB=AC、∠BAN=∠ACM=60°，再根据已知BM=CN，结合等边三角形边长相等推出AN=CM，即可用SAS判定定理证明全等；
（2）求∠BQM的度数时，可利用三角形外角的性质，将∠BQM转化为△ABQ的两个不相邻内角和，再结合第一问全等得到的对应角相等，将角替换为等边三角形的内角∠BAC，即可求出角度。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC 为等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠BAC=∠BCA=60°.
∵BM=CN，
∴BC-BM=AC-CN，即CM=AN.
在△BAN 和△ACM 中，
$\begin{cases} BA=AC, \\ ∠BAN=∠ACM, \\ AN=CM, \end{cases}$
∴△BAN≌△ACM(SAS).
(2)解：
由(1)中全等可得∠CAM=∠ABN，
∵∠BQM是△ABQ的外角，
∴∠BQM = ∠ABN + ∠BAQ = ∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.
【答案】
(1)△BAN≌△ACM得证；(2)∠BQM=60°
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形全等与等边三角形结合的基础题型，解题的核心是熟练运用等边三角形的边、角特征找到全等的判定条件，再利用全等的性质实现角的等量代换，结合外角性质求解角度，这类题型是三角形章节的常考基础题，需牢固掌握。
【难度系数】
0.7

7.如图,在等边三角形ABC中,点E在边AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由.

7. 解 AE=DB，理由：
过点 E 作 EF//BC 交 AC 于点 F。
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC.
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°,∠FEC=∠ECD，
∴△AEF 是等边三角形，
∴∠DBE=∠EFC=120°.
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠EDB=∠CEF.
∵在△EDB 和△CEF 中，
$\begin{cases} ∠EBD=∠CFE, \\ ∠EDB=∠CEF, \\ ED=CE, \end{cases}$
∴△EDB≌△CEF(AAS)，
∴DB=EF.
∵△AEF 是等边三角形，
∴EF=AE，
∴AE=DB.

【分析】
要确定AE与DB的大小关系，直接证明两条线段相等条件不足，需通过构造辅助线转化线段关系。首先结合等边三角形的性质，过点E作EF平行于BC，可得到等边△AEF，从而将AE转化为EF，接下来只需证明DB=EF即可。结合已知ED=EC，可通过证明△EDB和△CEF全等来得到对应边相等，再利用等边三角形的角的性质、平行线的性质推导全等所需的角相等条件，最终完成证明。
【解析】
过点 E 作 EF//BC 交 AC 于点 F。
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC.
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°,∠FEC=∠ECD，
∴△AEF 是等边三角形，
∴∠DBE=∠EFC=120°.
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠EDB=∠CEF.
∵在△EDB 和△CEF 中，
$\begin{cases} ∠EBD=∠CFE, \\ ∠EDB=∠CEF, \\ ED=CE, \end{cases}$
∴△EDB≌△CEF(AAS)，
∴DB=EF.
∵△AEF 是等边三角形，
∴EF=AE，
∴AE=DB.
【答案】
$AE=DB$
【知识点】
等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合应用题，解题核心是通过作平行线构造等边三角形和全等三角形，将待证相等的两条线段转化为全等三角形的对应边，体现了转化的数学思想，掌握此类常见辅助线的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7