四、解决问题。
1. (1)一根绳子长30米,剪去了$\frac{3}{5}$,还剩多少米?
(2)一根绳子长30米,剪去了一些后还剩$\frac{3}{5}$,还剩多少米?

1. (1) $30 × (1 - \frac{3}{5}) = 12(米)$
(2) $30 × \frac{3}{5} = 18(米)$

【分析】
这两道题均为分数乘法基础应用题，解题时首先确定单位“1”，本题两小问的单位“1”都是绳子的总长度30米，再根据题意找到所求量对应的分率即可计算：
(1) 题中$\frac{3}{5}$是剪去部分占总长度的分率，因此剩下的长度占总长度的分率为$1-\frac{3}{5}$，求剩下的长度就是求30米的$(1-\frac{3}{5})$是多少，用乘法计算。
(2) 题中$\frac{3}{5}$是剩下部分占总长度的分率，求剩下的长度就是直接求30米的$\frac{3}{5}$是多少，用乘法计算。
【解析】
(1) 先计算剩下长度占总长度的分率：$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$
再计算剩下的长度：$30 × (1 - \frac{3}{5}) = 30×\frac{2}{5}=12$（米）
(2) 已知剩下长度占总长度的$\frac{3}{5}$，直接计算剩下的长度：
$30 × \frac{3}{5} = 18$（米）
【答案】
(1) 12米；(2) 18米
【知识点】
1. 分数乘法应用
2. 单位“1”识别
3. 求一个数的几分之几
【点评】
本题是分数乘法的典型基础题，核心是区分题目中两个$\frac{3}{5}$对应的量的属性，避免混淆剪去的分率和剩下的分率，熟练掌握“求一个数的几分之几用乘法计算”的规则即可正确作答。
【难度系数】
0.8

2. (1)某饲养场养鸡600只,鸭的只数比鸡少$\frac{1}{6}$。饲养场养了多少只鸭？
(2)某饲养场养鸡600只,鹅的只数比鸡多$\frac{1}{6}$。饲养场养了多少只鹅？

(1) $600 × (1 - \frac{1}{6}) = 500(只)$
(2) $600 × (1 + \frac{1}{6}) = 700(只)$

【分析】
这两道题均为分数乘法应用类题目，解题第一步先确定单位“1”：两题都将鸡的只数看作单位“1”，且单位“1”对应的数量600只是已知条件。
第(1)问：鸭的只数比鸡少$\frac{1}{6}$，说明鸭的只数对应分率为$1-\frac{1}{6}$，用单位“1”的量乘鸭对应的分率，即可求出鸭的只数。
第(2)问：鹅的只数比鸡多$\frac{1}{6}$，说明鹅的只数对应分率为$1+\frac{1}{6}$，用单位“1”的量乘鹅对应的分率，即可求出鹅的只数。
【解析】
(1) 把鸡的只数看作单位“1”，鸭的只数是鸡的$1-\frac{1}{6}$，代入鸡的数量计算：
$600 × (1 - \frac{1}{6})$
$=600×\frac{5}{6}$
$=500$（只）
(2) 把鸡的只数看作单位“1”，鹅的只数是鸡的$1+\frac{1}{6}$，代入鸡的数量计算：
$600 × (1 + \frac{1}{6})$
$=600×\frac{7}{6}$
$=700$（只）
【答案】
(1) $600 × (1 - \frac{1}{6}) = 500(只)$
(2) $600 × (1 + \frac{1}{6}) = 700(只)$
【知识点】
分数乘法应用、单位“1”判定、求比一个数多/少几分之几的数
【点评】
本题是分数乘法的基础典型题，解题核心是先准确找到单位“1”，再判断所求量对应的分率，当单位“1”的量已知时，直接用乘法计算即可求出对应量。
【难度系数】
0.8

3. 绿色交通，文明出行。王叔叔周末骑共享单车去3.6千米远的图书馆，已经骑了这段路程的$\frac{5}{9}$。还有多远到图书馆？

3. $3.6 × (1 - \frac{5}{9}) = 1.6(千米)$

【分析】
解题时首先确定单位“1”，本题中总路程3.6千米是单位“1”。已知已骑路程占总路程的$\frac{5}{9}$，可先算出剩余路程占总路程的分率为$1-\frac{5}{9}$，要求剩余的路程，就是求3.6千米的$(1-\frac{5}{9})$是多少，根据“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”，代入数据计算即可得到结果。
【解析】
1. 先计算剩余路程占总路程的分率：
把总路程看作单位“1”，剩余路程占比为 $1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$
2. 再计算剩余路程的长度：
剩余路程 = 总路程 × 剩余路程占比，列综合算式为：
$3.6 × (1 - \frac{5}{9}) = 3.6 × \frac{4}{9} = 1.6$（千米）
【答案】
1.6千米
【知识点】
1. 分数乘法应用题
2. 单位“1”的判定
【点评】
本题结合生活实际场景命题，主要考察分数乘法的实际应用能力，解题核心是找准单位“1”、明确所求量对应的分率，属于基础类应用题型，熟练掌握分数乘法计算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8

4. 有80名同学参加学校组织的科技知识竞赛，他们分别获得了一、二、三等奖，其中获得一、二等奖的人数占总人数的$\frac{1}{2}$，获得二、三等奖的人数占总人数的$\frac{4}{5}$。获得二等奖的有多少人？

$80 × (\frac{1}{2} + \frac{4}{5} - 1) = 24(人)$

【分析】
解题时先把参赛总人数看作单位“1”。已知获得一、二等奖的人数占总人数的$\frac{1}{2}$，获得二、三等奖的人数占总人数的$\frac{4}{5}$，将这两个占比相加时，二等奖的占比会被重复计算1次，相加的结果等于总人数的占比（即单位“1”）加上二等奖人数的占比。因此用两个占比的和减去单位“1”，就能求出二等奖人数占总人数的分率，最后用总人数乘这个分率即可得到二等奖的人数。
【解析】
首先计算二等奖人数占总人数的分率：
$\frac{1}{2} + \frac{4}{5} - 1$
$=\frac{5}{10} + \frac{8}{10} - \frac{10}{10}$
$=\frac{3}{10}$
再计算获得二等奖的人数：
$80 × \frac{3}{10} = 24$（人）
可列综合算式：$80 × (\frac{1}{2} + \frac{4}{5} - 1) = 24$（人）
【答案】
24人
【知识点】
1. 分数复合应用题
2. 单位“1”的运用
3. 重叠问题计算
【点评】
本题是分数应用的常见题型，解题核心是明确两个占比相加时二等奖占比被重复统计，减去单位“1”即可得到二等奖的对应分率，再结合总人数求解即可，解题时要注意找准单位“1”，正确计算分数的加减运算。
【难度系数】
0.7

五、我国古代用宫、商、角、徵、羽表示音名，通过“三分损（减少）益（增加）法”来确定不同音的管/弦长度。规则如下：宫音三分损一（长度减少原长的$\frac{1}{3}$），得到徵音的长度；徵音三分益一（长度增加原长的$\frac{1}{3}$），得到商音的长度；商音三分损一，得到羽音的长度；羽音三分益一，得到角音的长度。如果宫音管长为81个单位，请依次算出徵、商、羽、角这四个音的管长分别是多少个单位？

徵:$81 × (1 - \frac{1}{3}) = 54(个)$
商:$54 × (1 + \frac{1}{3}) = 72(个)$
羽:$72 × (1 - \frac{1}{3}) = 48(个)$
角:$48 × (1 + \frac{1}{3}) = 64(个)$

【分析】
解题时首先要明确规则含义：“三分损一”指当前音的长度是原长的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，“三分益一”指当前音的长度是原长的$1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$。我们以宫音的81单位长度为初始基数，按徵、商、羽、角的顺序，每一步都把前一个音的管长当作本次计算的原长，依次对应规则计算即可。
【解析】
已知宫音管长为81个单位：
1. 徵音由宫音三分损一得到：$81 × (1 - \frac{1}{3}) = 81×\frac{2}{3}= 54$（个）
2. 商音由徵音三分益一得到：$54 × (1 + \frac{1}{3}) = 54×\frac{4}{3}= 72$（个）
3. 羽音由商音三分损一得到：$72 × (1 - \frac{1}{3}) = 72×\frac{2}{3}= 48$（个）
4. 角音由羽音三分益一得到：$48 × (1 + \frac{1}{3}) = 48×\frac{4}{3}= 64$（个）
【答案】
徵：54个；商：72个；羽：48个；角：64个
【知识点】
分数乘法应用；求比一个数多（少）几分之几的数
【点评】
本题结合我国古代传统音律知识出题，既考查了分数乘法的实际运算能力，也能体现数学在传统文化中的应用价值，解题核心是找准每一步的单位“1”，按给定规则逐步计算即可。
【难度系数】
0.8