登录
1.[2025·安庆二模]如图是由小正方形组成的10×10网格图,每个小正方形的顶点叫作格点,点O,A,B,C均在格点上.
(1)以点O为对称中心,作出△ABC关于点O的对称图形△A'B'C';
(2)用无刻度的直尺作OH⊥AB,其中点H在线段AB上.
(1)以点O为对称中心,作出△ABC关于点O的对称图形△A'B'C';
(2)用无刻度的直尺作OH⊥AB,其中点H在线段AB上.
答案
解：
(1) 分别作点A、B、C关于点O的对称点：
连接AO并延长，在延长线上截取OA' = OA，得到点A的对称点A'；
同理，连接BO并延长截取OB' = OB得点B'，连接CO并延长截取OC' = OC得点C'；
顺次连接A'、B'、C'，所得△A'B'C'即为△ABC关于点O的中心对称图形。
(2) 由网格可得线段AB的方向对应水平跨度为1、竖直跨度为5，取方向对应水平跨度为5、竖直跨度为1的过点O的格点连线，该连线与线段AB交于点H，此时OH⊥AB，所得线段OH即为所求垂线。
（按上述步骤在网格中完成对应作图即可）
(1) 分别作点A、B、C关于点O的对称点：
连接AO并延长，在延长线上截取OA' = OA，得到点A的对称点A'；
同理，连接BO并延长截取OB' = OB得点B'，连接CO并延长截取OC' = OC得点C'；
顺次连接A'、B'、C'，所得△A'B'C'即为△ABC关于点O的中心对称图形。
(2) 由网格可得线段AB的方向对应水平跨度为1、竖直跨度为5，取方向对应水平跨度为5、竖直跨度为1的过点O的格点连线，该连线与线段AB交于点H，此时OH⊥AB，所得线段OH即为所求垂线。
（按上述步骤在网格中完成对应作图即可）
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 对于中心对称作图，根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。因此只需分别找到△ABC三个顶点关于点O的对称点，再顺次连接对称点即可得到所求的对称三角形。
(2) 对于无刻度直尺作垂线，利用网格的特征：若两条斜线互相垂直，则一条线的水平变化量、竖直变化量与另一条线的水平变化量、竖直变化量满足交叉乘积和为0的关系。本题中AB的水平跨度为1、竖直跨度为5，因此只要构造过O点、水平跨度为5、竖直跨度为1的格点直线，该直线与AB的交点就是垂足H，即可得到OH⊥AB。
【解析】
(1) 作△ABC关于点O的对称图形△A'B'C'步骤：
① 连接AO并延长AO，在AO的延长线上截取线段OA'，使得OA' = OA，得到点A的对称点A'；
② 按照同样的方法，连接BO并延长，截取OB' = OB得到点B的对称点B'；连接CO并延长，截取OC' = OC得到点C的对称点C'；
③ 顺次连接A'、B'、C'三点，所得的△A'B'C'即为△ABC关于点O的中心对称图形。
(2) 作OH⊥AB的步骤：
观察网格中线段AB的倾斜规律：AB每水平移动1格，竖直方向移动5格。根据两直线垂直的特征，找到过点O、水平移动5格对应竖直移动1格的格点连线，该直线与线段AB的交点即为点H，连接OH，此时OH⊥AB，即为所求垂线。
（按上述步骤在网格中完成对应作图即可）
【答案】
(1) 顺次连接A、B、C关于O的对称点A'、B'、C'所得的△A'B'C'即为所求；
(2) 过点O作水平跨度为5、竖直跨度为1的格点连线，与AB交于H，所得OH即为所求。
【知识点】
中心对称的性质；垂线的判定；网格作图
【点评】
本题属于网格作图类题型，既考查中心对称的基础作图能力，也考查利用网格特征进行无刻度直尺作图的技巧，需要结合几何性质和网格特征寻找作图思路，能较好地考查几何直观素养。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 对于中心对称作图，根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。因此只需分别找到△ABC三个顶点关于点O的对称点，再顺次连接对称点即可得到所求的对称三角形。
(2) 对于无刻度直尺作垂线，利用网格的特征：若两条斜线互相垂直，则一条线的水平变化量、竖直变化量与另一条线的水平变化量、竖直变化量满足交叉乘积和为0的关系。本题中AB的水平跨度为1、竖直跨度为5，因此只要构造过O点、水平跨度为5、竖直跨度为1的格点直线，该直线与AB的交点就是垂足H，即可得到OH⊥AB。
【解析】
(1) 作△ABC关于点O的对称图形△A'B'C'步骤：
① 连接AO并延长AO，在AO的延长线上截取线段OA'，使得OA' = OA，得到点A的对称点A'；
② 按照同样的方法，连接BO并延长，截取OB' = OB得到点B的对称点B'；连接CO并延长，截取OC' = OC得到点C的对称点C'；
③ 顺次连接A'、B'、C'三点，所得的△A'B'C'即为△ABC关于点O的中心对称图形。
(2) 作OH⊥AB的步骤：
观察网格中线段AB的倾斜规律：AB每水平移动1格，竖直方向移动5格。根据两直线垂直的特征，找到过点O、水平移动5格对应竖直移动1格的格点连线，该直线与线段AB的交点即为点H，连接OH，此时OH⊥AB，即为所求垂线。
（按上述步骤在网格中完成对应作图即可）
【答案】
(1) 顺次连接A、B、C关于O的对称点A'、B'、C'所得的△A'B'C'即为所求；
(2) 过点O作水平跨度为5、竖直跨度为1的格点连线，与AB交于H，所得OH即为所求。
【知识点】
中心对称的性质；垂线的判定；网格作图
【点评】
本题属于网格作图类题型，既考查中心对称的基础作图能力，也考查利用网格特征进行无刻度直尺作图的技巧，需要结合几何性质和网格特征寻找作图思路，能较好地考查几何直观素养。
【难度系数】
0.7
2. [2025·蚌埠模拟]如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,格点(网格线的交点)A,B,C的坐标分别为$(-1,1),(-5,1),(-2,5)$.
(1)以$y$轴为对称轴,将$△ ABC$作对称变换得到$△ A_1B_1C_1$,再以$x$轴为对称轴,将$△ A_1B_1C_1$作对称变换得到$△ A_2B_2C_2$,画出$△ A_2B_2C_2$;
(2)$△ ABC$和$△ A_2B_2C_2$的对称中心的坐标为
(3)在所给的网格图中确定一个格点$D$,使得射线$BD$平分$∠ ABC$,直接写出点$D$的坐标:
(1)以$y$轴为对称轴,将$△ ABC$作对称变换得到$△ A_1B_1C_1$,再以$x$轴为对称轴,将$△ A_1B_1C_1$作对称变换得到$△ A_2B_2C_2$,画出$△ A_2B_2C_2$;
(2)$△ ABC$和$△ A_2B_2C_2$的对称中心的坐标为
(0,0)
;(3)在所给的网格图中确定一个格点$D$,使得射线$BD$平分$∠ ABC$,直接写出点$D$的坐标:
(-3,2)(答案不唯一,合理即可)
.答案
2.(1)图略.
(2)(0,0)
(3)(-3,2)(答案不唯一,合理即可)
(2)(0,0)
(3)(-3,2)(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
(1) 作轴对称变换的图形，先根据轴对称的坐标变化规律求出对应点坐标：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，得到△A₂B₂C₂各顶点坐标后描点连线即可。
(2) 中心对称的对称中心是对应点连线的公共中点，观察△ABC和△A₂B₂C₂对应点的坐标特征，即可得到对称中心坐标。
(3) 根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，在网格中找到满足到BA、BC距离相等的格点D即可。
【解析】
(1) ①先求△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁的顶点坐标：A(-1,1)关于y轴对称点A₁(1,1)，B(-5,1)对称点B₁(5,1)，C(-2,5)对称点C₁(2,5)；
②再求△A₁B₁C₁关于x轴对称的△A₂B₂C₂的顶点坐标：A₁(1,1)关于x轴对称点A₂(1,-1)，B₁(5,1)对称点B₂(5,-1)，C₁(2,5)对称点C₂(2,-5)；
③在坐标系中描出A₂、B₂、C₂三点，依次连接三点即可得到△A₂B₂C₂。
(2) 观察对应点坐标：A(-1,1)与A₂(1,-1)、B(-5,1)与B₂(5,-1)、C(-2,5)与C₂(2,-5)，每组对应点的横、纵坐标都互为相反数，说明对应点连线都经过原点，且被原点平分，因此对称中心为(0,0)。
(3) 边BA在直线y=1上，求出BC的直线方程为4x-3y+23=0，取点D(-3,2)，计算得D到BA的距离为1，到BC的距离也为1，满足角平分线的判定，因此D(-3,2)符合要求（答案不唯一）。
【答案】
(1) 图略；
(2) (0,0)；
(3) (-3,2)（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
轴对称的坐标特征，中心对称的性质，角平分线的判定
【点评】
本题结合网格考查了平面直角坐标系中的对称作图和角平分线的应用，需要熟练掌握对称变换的坐标变化规律，灵活运用几何性质解决格点问题，是典型的网格类几何考题。
【难度系数】
0.7
(1) 作轴对称变换的图形，先根据轴对称的坐标变化规律求出对应点坐标：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，得到△A₂B₂C₂各顶点坐标后描点连线即可。
(2) 中心对称的对称中心是对应点连线的公共中点，观察△ABC和△A₂B₂C₂对应点的坐标特征，即可得到对称中心坐标。
(3) 根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，在网格中找到满足到BA、BC距离相等的格点D即可。
【解析】
(1) ①先求△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁的顶点坐标：A(-1,1)关于y轴对称点A₁(1,1)，B(-5,1)对称点B₁(5,1)，C(-2,5)对称点C₁(2,5)；
②再求△A₁B₁C₁关于x轴对称的△A₂B₂C₂的顶点坐标：A₁(1,1)关于x轴对称点A₂(1,-1)，B₁(5,1)对称点B₂(5,-1)，C₁(2,5)对称点C₂(2,-5)；
③在坐标系中描出A₂、B₂、C₂三点，依次连接三点即可得到△A₂B₂C₂。
(2) 观察对应点坐标：A(-1,1)与A₂(1,-1)、B(-5,1)与B₂(5,-1)、C(-2,5)与C₂(2,-5)，每组对应点的横、纵坐标都互为相反数，说明对应点连线都经过原点，且被原点平分，因此对称中心为(0,0)。
(3) 边BA在直线y=1上，求出BC的直线方程为4x-3y+23=0，取点D(-3,2)，计算得D到BA的距离为1，到BC的距离也为1，满足角平分线的判定，因此D(-3,2)符合要求（答案不唯一）。
【答案】
(1) 图略；
(2) (0,0)；
(3) (-3,2)（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
轴对称的坐标特征，中心对称的性质，角平分线的判定
【点评】
本题结合网格考查了平面直角坐标系中的对称作图和角平分线的应用，需要熟练掌握对称变换的坐标变化规律，灵活运用几何性质解决格点问题，是典型的网格类几何考题。
【难度系数】
0.7
3. [2025·滁州全椒二模]如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,格点(网格线的交点)A,B,C的坐标分别为$(0,4),(2,2),(1,1)$.
(1)将$△ ABC$向下平移3个单位长度,得到$△ A_1B_1C_1$(点A,B,C的对应点分别为点$A_1,B_1,C_1$),画出$△ A_1B_1C_1$;
(2)以点A为旋转中心,将$△ ABC$绕点A顺时针旋转$90°$,得到$△ AB_2C_2$(点B,C的对应点分别为点$B_2,C_2$),画出$△ AB_2C_2$;
(3)求以$A,B_2,A_1,C$为顶点的四边形的面积.
(1)将$△ ABC$向下平移3个单位长度,得到$△ A_1B_1C_1$(点A,B,C的对应点分别为点$A_1,B_1,C_1$),画出$△ A_1B_1C_1$;
(2)以点A为旋转中心,将$△ ABC$绕点A顺时针旋转$90°$,得到$△ AB_2C_2$(点B,C的对应点分别为点$B_2,C_2$),画出$△ AB_2C_2$;
(3)求以$A,B_2,A_1,C$为顶点的四边形的面积.
答案
3.(1)(2)图略.
(3)以$A,B_2,A_1,C$为顶点的四边形的面积为$\frac{9}{2}$.
(3)以$A,B_2,A_1,C$为顶点的四边形的面积为$\frac{9}{2}$.
解析
【分析】
(1) 平移作图思路：向下平移3个单位时，各点横坐标保持不变，纵坐标减3，先求出A、B、C对应点A₁、B₁、C₁的坐标，再描点连线即可得到△A₁B₁C₁；
(2) 旋转作图思路：绕点A顺时针旋转90°时，根据旋转性质，对应线段长度不变、夹角为90°，先求出B、C绕A旋转后的对应点B₂、C₂的坐标，再描点连线得到△AB₂C₂；
(3) 面积计算思路：先确定A、B₂、A₁、C四个点的坐标，可将四边形分割为两个共底的三角形，分别计算两个三角形的面积后求和即可，也可选用割补法计算。
【解析】
(1) 由平移性质得：A₁(0,4-3)=(0,1)，B₁(2,2-3)=(2,-1)，C₁(1,1-3)=(1,-2)，在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，依次连接三点即可得到△A₁B₁C₁；
(2) 点B(2,2)相对A(0,4)的坐标为(2,-2)，顺时针旋转90°后相对坐标变为(-2,-2)，故B₂坐标为(0-2,4-2)=(-2,2)；点C(1,1)相对A(0,4)的坐标为(1,-3)，顺时针旋转90°后相对坐标变为(-3,-1)，故C₂坐标为(0-3,4-1)=(-3,3)，描出B₂、C₂，依次连接A、B₂、C₂即可得到△AB₂C₂；
(3) 四边形四个顶点坐标为A(0,4)、B₂(-2,2)、A₁(0,1)、C(1,1)：
线段AA₁在y轴上，长度为4-1=3；
△AA₁B₂的高为点B₂到y轴的水平距离2，面积为$\frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$；
△AA₁C的高为点C到y轴的水平距离1，面积为$\frac{1}{2} × 3 × 1 = \frac{3}{2}$；
四边形总面积为$3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$。
【答案】
(1)(2)作图略；(3)以$A,B_2,A_1,C$为顶点的四边形的面积为$\frac{9}{2}$。
【知识点】
平移作图，旋转作图，网格图形面积计算
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的图形变换和面积计算，解题时需熟练掌握平移、旋转的坐标变化规律，计算不规则图形面积时可灵活选用分割法或割补法简化计算，是网格类几何的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 平移作图思路：向下平移3个单位时，各点横坐标保持不变，纵坐标减3，先求出A、B、C对应点A₁、B₁、C₁的坐标，再描点连线即可得到△A₁B₁C₁；
(2) 旋转作图思路：绕点A顺时针旋转90°时，根据旋转性质，对应线段长度不变、夹角为90°，先求出B、C绕A旋转后的对应点B₂、C₂的坐标，再描点连线得到△AB₂C₂；
(3) 面积计算思路：先确定A、B₂、A₁、C四个点的坐标，可将四边形分割为两个共底的三角形，分别计算两个三角形的面积后求和即可，也可选用割补法计算。
【解析】
(1) 由平移性质得：A₁(0,4-3)=(0,1)，B₁(2,2-3)=(2,-1)，C₁(1,1-3)=(1,-2)，在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，依次连接三点即可得到△A₁B₁C₁；
(2) 点B(2,2)相对A(0,4)的坐标为(2,-2)，顺时针旋转90°后相对坐标变为(-2,-2)，故B₂坐标为(0-2,4-2)=(-2,2)；点C(1,1)相对A(0,4)的坐标为(1,-3)，顺时针旋转90°后相对坐标变为(-3,-1)，故C₂坐标为(0-3,4-1)=(-3,3)，描出B₂、C₂，依次连接A、B₂、C₂即可得到△AB₂C₂；
(3) 四边形四个顶点坐标为A(0,4)、B₂(-2,2)、A₁(0,1)、C(1,1)：
线段AA₁在y轴上，长度为4-1=3；
△AA₁B₂的高为点B₂到y轴的水平距离2，面积为$\frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$；
△AA₁C的高为点C到y轴的水平距离1，面积为$\frac{1}{2} × 3 × 1 = \frac{3}{2}$；
四边形总面积为$3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$。
【答案】
(1)(2)作图略；(3)以$A,B_2,A_1,C$为顶点的四边形的面积为$\frac{9}{2}$。
【知识点】
平移作图，旋转作图，网格图形面积计算
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的图形变换和面积计算，解题时需熟练掌握平移、旋转的坐标变化规律，计算不规则图形面积时可灵活选用分割法或割补法简化计算，是网格类几何的常考题型。
【难度系数】
0.7
