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9. 如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D。若OB=3，AB=2，则阴影部分的面积之和为
6
。答案
9.6
解析
【分析】
解题时先回忆中心对称的性质：关于中心对称的两个图形全等，对应部分面积相等。观察图形可知，阴影部分是两个不规则图形，直接计算面积较困难，因此考虑用割补法转化：由于曲线C关于点O中心对称，点A和A'是对称点，可将左下方的阴影部分绕点O旋转180°，刚好能和右上方的阴影拼接成一个规则的矩形，矩形的邻边长度分别为已知的OB和AB，直接计算矩形面积即可得到阴影总面积。
【解析】
∵ 直线a、b互相垂直，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，
∴ 根据中心对称的性质，左下方的阴影部分绕点O旋转180°后，可与右上方的阴影部分拼接成一个邻边长分别为OB、AB的矩形。
已知OB=3，AB=2，
∴ 阴影部分的面积之和 = 矩形面积 = OB×AB = 3×2 = 6。
【答案】
6
【知识点】
中心对称的性质，割补法求面积，矩形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是利用中心对称的性质对图形进行割补，将不规则的阴影面积转化为规则的矩形面积，体现了数学中的转化思想，解题时要注意观察图形的对称特征，找准对应相等的面积部分。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆中心对称的性质：关于中心对称的两个图形全等，对应部分面积相等。观察图形可知，阴影部分是两个不规则图形，直接计算面积较困难，因此考虑用割补法转化：由于曲线C关于点O中心对称，点A和A'是对称点，可将左下方的阴影部分绕点O旋转180°，刚好能和右上方的阴影拼接成一个规则的矩形，矩形的邻边长度分别为已知的OB和AB，直接计算矩形面积即可得到阴影总面积。
【解析】
∵ 直线a、b互相垂直，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，
∴ 根据中心对称的性质，左下方的阴影部分绕点O旋转180°后，可与右上方的阴影部分拼接成一个邻边长分别为OB、AB的矩形。
已知OB=3，AB=2，
∴ 阴影部分的面积之和 = 矩形面积 = OB×AB = 3×2 = 6。
【答案】
6
【知识点】
中心对称的性质，割补法求面积，矩形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是利用中心对称的性质对图形进行割补，将不规则的阴影面积转化为规则的矩形面积，体现了数学中的转化思想，解题时要注意观察图形的对称特征，找准对应相等的面积部分。
【难度系数】
0.7
10.如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,0),点B(0,1).若将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC,则点C的坐标为
$(2,2)$
.答案
10.$(2,2)$
解析
【分析】
解决本题首先要明确旋转180°的性质：线段绕某点旋转180°后，旋转中心是原线段端点和旋转后对应线段端点连线的中点，即点B是线段AC的中点。接下来我们可以设出点C的坐标，利用平面直角坐标系的中点坐标公式列方程，求解即可得到点C的坐标。
【解析】
∵ 线段BA绕点B旋转180°得到线段BC
∴ 点B是线段AC的中点
设点C的坐标为$(x,y)$，已知$A(-2,0)$，$B(0,1)$
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，可得：
$\begin{cases}\frac{-2+x}{2}=0 \\\frac{0+y}{2}=1\end{cases}$
解第一个方程：$-2+x=0$，得$x=2$
解第二个方程：$y=2$
∴ 点C的坐标为$(2,2)$
【答案】
$(2,2)$
【知识点】
中心对称的性质，中点坐标公式，坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题是基础题型，解题关键是理解旋转180°即中心对称的特点，明确旋转中心是对应点连线的中点，再结合中点坐标公式计算即可，解题思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确旋转180°的性质：线段绕某点旋转180°后，旋转中心是原线段端点和旋转后对应线段端点连线的中点，即点B是线段AC的中点。接下来我们可以设出点C的坐标，利用平面直角坐标系的中点坐标公式列方程，求解即可得到点C的坐标。
【解析】
∵ 线段BA绕点B旋转180°得到线段BC
∴ 点B是线段AC的中点
设点C的坐标为$(x,y)$，已知$A(-2,0)$，$B(0,1)$
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，可得：
$\begin{cases}\frac{-2+x}{2}=0 \\\frac{0+y}{2}=1\end{cases}$
解第一个方程：$-2+x=0$，得$x=2$
解第二个方程：$y=2$
∴ 点C的坐标为$(2,2)$
【答案】
$(2,2)$
【知识点】
中心对称的性质，中点坐标公式，坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题是基础题型，解题关键是理解旋转180°即中心对称的特点，明确旋转中心是对应点连线的中点，再结合中点坐标公式计算即可，解题思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.8
变式训练
旋转中心在y轴上→旋转中心在x轴上
如图，在平面直角坐标系中，
线段AB与线段CD关于点
P成中心对称。若点A(a，
b)，B(5，1)，D(-3，-1)，
则点C的坐标为
(用含a，b的式子表示)
y
O
x
A
B
D
C
旋转中心在y轴上→旋转中心在x轴上
如图，在平面直角坐标系中，
线段AB与线段CD关于点
P成中心对称。若点A(a，
b)，B(5，1)，D(-3，-1)，
则点C的坐标为
$(2-a,-b)$
。(用含a，b的式子表示)
y
O
x
A
B
D
C
答案
$(2-a,-b)$
解析
【分析】
解题时我们结合中心对称的性质思考：成中心对称的两个图形中，对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，即对称中心是任意一对对应点连线的中点。首先我们可以通过已知的对应点B、D求出对称中心P的坐标，再利用P是A、C的中点，反过来推导点C的坐标即可。
【解析】
∵线段AB与线段CD关于点P成中心对称
∴点P是线段BD的中点，也是线段AC的中点
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
已知$B(5,1)$，$D(-3,-1)$，代入得点P的坐标为：
横坐标：$\frac{5+(-3)}{2}=1$，纵坐标：$\frac{1+(-1)}{2}=0$，即$P(1,0)$
设点C的坐标为$(x,y)$，已知$A(a,b)$，且P是AC中点：
$\begin{cases}\frac{a+x}{2}=1\\\frac{b+y}{2}=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=2-a\\y=-b\end{cases}$
【答案】
$(2-a,-b)$
【知识点】
中心对称的性质；中点坐标公式
【点评】
本题是中心对称性质的基础应用，解题核心是先通过已知对应点确定对称中心坐标，再利用中点坐标公式求解未知对应点，掌握相关性质和公式就能快速解答。
【难度系数】
0.7
解题时我们结合中心对称的性质思考：成中心对称的两个图形中，对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，即对称中心是任意一对对应点连线的中点。首先我们可以通过已知的对应点B、D求出对称中心P的坐标，再利用P是A、C的中点，反过来推导点C的坐标即可。
【解析】
∵线段AB与线段CD关于点P成中心对称
∴点P是线段BD的中点，也是线段AC的中点
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
已知$B(5,1)$，$D(-3,-1)$，代入得点P的坐标为：
横坐标：$\frac{5+(-3)}{2}=1$，纵坐标：$\frac{1+(-1)}{2}=0$，即$P(1,0)$
设点C的坐标为$(x,y)$，已知$A(a,b)$，且P是AC中点：
$\begin{cases}\frac{a+x}{2}=1\\\frac{b+y}{2}=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=2-a\\y=-b\end{cases}$
【答案】
$(2-a,-b)$
【知识点】
中心对称的性质；中点坐标公式
【点评】
本题是中心对称性质的基础应用，解题核心是先通过已知对应点确定对称中心坐标，再利用中点坐标公式求解未知对应点，掌握相关性质和公式就能快速解答。
【难度系数】
0.7
11. 如图为公园中成中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知$OA＝OB＝2\ \mathrm{m}$. 求阴影部分的面积.
答案
11.$8π\ \mathrm{m^2}$
解析
【分析】
首先观察到阴影部分为不规则图形，直接拆分计算难度大，结合题目给出的图形是中心对称图形的特征，考虑用割补法转化图形：利用中心对称可旋转重合的性质，将阴影部分突出的小半圆填补到相邻凹陷的空白小半圆处，最终可把所有阴影部分拼接为规则的圆形，再结合已知OA=OB=2m的条件计算面积即可。
【解析】
解：
∵ 该观赏鱼池是中心对称图形，通过割补、旋转拼接阴影部分可得：阴影部分的总面积等于2个半径为2m的圆的面积之和。
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入$r=2\ \mathrm{m}$得：
$S_{\mathrm{阴影}}=2× π × 2^2=8π\ (\mathrm{m^2})$
【答案】
$8π\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
中心对称的性质；割补法求面积；圆的面积计算
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解技巧，解题核心是借助图形的中心对称性将不规则阴影转化为熟悉的规则图形，大大简化计算过程，避免了拆分计算各部分面积的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
首先观察到阴影部分为不规则图形，直接拆分计算难度大，结合题目给出的图形是中心对称图形的特征，考虑用割补法转化图形：利用中心对称可旋转重合的性质，将阴影部分突出的小半圆填补到相邻凹陷的空白小半圆处，最终可把所有阴影部分拼接为规则的圆形，再结合已知OA=OB=2m的条件计算面积即可。
【解析】
解：
∵ 该观赏鱼池是中心对称图形，通过割补、旋转拼接阴影部分可得：阴影部分的总面积等于2个半径为2m的圆的面积之和。
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入$r=2\ \mathrm{m}$得：
$S_{\mathrm{阴影}}=2× π × 2^2=8π\ (\mathrm{m^2})$
【答案】
$8π\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
中心对称的性质；割补法求面积；圆的面积计算
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解技巧，解题核心是借助图形的中心对称性将不规则阴影转化为熟悉的规则图形，大大简化计算过程，避免了拆分计算各部分面积的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
12. [教材P10习题24.1第8题改编]在平面直角坐标系中，已知抛物线$y=x^2 -2x$.
(1)抛物线的顶点坐标为
(2)将抛物线绕原点旋转$180°$,求旋转后的抛物线对应的函数表达式.
(1)抛物线的顶点坐标为
$(1,-1)$
；(2)将抛物线绕原点旋转$180°$,求旋转后的抛物线对应的函数表达式.
答案
12.(1)$(1,-1)$ (2)$y=-x^2-2x$
解析
【分析】
(1) 求抛物线顶点坐标可采用两种思路：一是用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标；二是利用顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$、$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$代入计算即可。
(2) 抛物线绕原点旋转$180°$的本质是抛物线上所有点关于原点作中心对称变换，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，可通过坐标替换推导新解析式，也可先求原顶点旋转后的坐标，结合旋转后开口方向相反（二次项系数变为原数的相反数），用顶点式写出解析式后整理即可。
【解析】
(1) 用配方法求解：
对$y=x^2-2x$配方得：
$y=x^2-2x+1-1=(x-1)^2-1$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得抛物线顶点坐标为$(1,-1)$。
(2) 用坐标替换法求解：
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点旋转$180°$后对应点的坐标为$(-x,-y)$，将原抛物线解析式中的$x$替换为$-x$，$y$替换为$-y$，得：
$-y=(-x)^2-2×(-x)$
整理得：$-y=x^2+2x$，即$y=-x^2-2x$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,-1)}$
(2) $\boldsymbol{y=-x^2-2x}$
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标求解
2. 关于原点对称的坐标特征
3. 二次函数图象旋转变换
【点评】
本题属于二次函数基础题型，既考查了二次函数的基本性质，也结合了中心对称的坐标变换规律，解题时抓住旋转前后顶点的变化和开口方向的变化是关键，熟练掌握相关基础知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求抛物线顶点坐标可采用两种思路：一是用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标；二是利用顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$、$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$代入计算即可。
(2) 抛物线绕原点旋转$180°$的本质是抛物线上所有点关于原点作中心对称变换，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，可通过坐标替换推导新解析式，也可先求原顶点旋转后的坐标，结合旋转后开口方向相反（二次项系数变为原数的相反数），用顶点式写出解析式后整理即可。
【解析】
(1) 用配方法求解：
对$y=x^2-2x$配方得：
$y=x^2-2x+1-1=(x-1)^2-1$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得抛物线顶点坐标为$(1,-1)$。
(2) 用坐标替换法求解：
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点旋转$180°$后对应点的坐标为$(-x,-y)$，将原抛物线解析式中的$x$替换为$-x$，$y$替换为$-y$，得：
$-y=(-x)^2-2×(-x)$
整理得：$-y=x^2+2x$，即$y=-x^2-2x$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,-1)}$
(2) $\boldsymbol{y=-x^2-2x}$
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标求解
2. 关于原点对称的坐标特征
3. 二次函数图象旋转变换
【点评】
本题属于二次函数基础题型，既考查了二次函数的基本性质，也结合了中心对称的坐标变换规律，解题时抓住旋转前后顶点的变化和开口方向的变化是关键，熟练掌握相关基础知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
13.知识背景:过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分.
(1)如图1,直线EF经过$□ ABCD$对角线的交点O,则$S_{四边形AEFB}$
(2)两个正方形如图2所示摆放,O为小正方形对角线的交点,求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分;
(3)八个大小相同的正方形如图3所示摆放,求作直线将整个图形分成面积相等的两部分.(用三种方法分割)
(1)如图1,直线EF经过$□ ABCD$对角线的交点O,则$S_{四边形AEFB}$
$=$
$S_{四边形DEFC}$;(填“＞”“＜”或“=”)(2)两个正方形如图2所示摆放,O为小正方形对角线的交点,求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分;
(3)八个大小相同的正方形如图3所示摆放,求作直线将整个图形分成面积相等的两部分.(用三种方法分割)
答案
13.(1)$=$
(2)如图1所示.
(3)如图2所示.(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
(1) 结合中心对称图形的性质思考：平行四边形属于中心对称图形，其对角线交点就是对称中心，过对称中心的直线会把图形分成全等的两部分，两部分面积自然相等，据此可判断两个四边形的面积关系。
(2) 整个图形由两个正方形组成，两个正方形都是中心对称图形。要平分整个图形的面积，只需所作直线同时平分两个正方形的面积即可，先找到大正方形的对称中心（对角线交点），再过小正方形的对称中心O和大正方形的对称中心作直线，就满足要求。
(3) 八个正方形组成的组合图形，可将其拆分为两个中心对称的子图形，分别找到两个子图形的对称中心，过这两个对称中心作直线就能平分整个图形的面积，通过不同的拆分方式即可得到三种不同的分割方法。
【解析】
(1)
∵平行四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心，直线EF经过对称中心O，
∴直线EF将平行四边形ABCD分成全等的两部分，
∴$S_{四边形AEFB}=S_{四边形DEFC}$。
(2) 首先确定大正方形的对称中心为其两条对角线的交点，过该点和小正方形的对称中心O作直线，这条直线即可将整个图形分成面积相等的两部分，作图参考参考答案图1。
(3) 可通过三种不同的拆分方式作图：①将图形拆分为下方2行3列的矩形和上方2个正方形组成的矩形，分别取两个矩形的对称中心，过两点作直线；②将图形拆分为左列2个正方形组成的矩形和右侧2行2列的正方形组合，分别取两个图形的对称中心，过两点作直线；③将图形拆分为右列2个正方形组成的矩形和左侧2行2列的正方形组合，分别取对称中心连线，三种分割方法参考参考答案图2。
【答案】
(1)$=$
(2)如图1所示.
(3)如图2所示.(答案不唯一,合理即可)
【知识点】
1.中心对称图形的性质
2.面积等分作图
3.正方形的性质
【点评】
本题重点考查中心对称图形性质的实际应用，解题核心是掌握“过中心对称图形对称中心的直线可平分该图形的面积”这一规律，对于组合图形，通过拆分出多个中心对称子图形，过各个子图形的对称中心作直线即可平分整个组合图形的面积，题型灵活度较高，能很好地锻炼图形拆分与应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 结合中心对称图形的性质思考：平行四边形属于中心对称图形，其对角线交点就是对称中心，过对称中心的直线会把图形分成全等的两部分，两部分面积自然相等，据此可判断两个四边形的面积关系。
(2) 整个图形由两个正方形组成，两个正方形都是中心对称图形。要平分整个图形的面积，只需所作直线同时平分两个正方形的面积即可，先找到大正方形的对称中心（对角线交点），再过小正方形的对称中心O和大正方形的对称中心作直线，就满足要求。
(3) 八个正方形组成的组合图形，可将其拆分为两个中心对称的子图形，分别找到两个子图形的对称中心，过这两个对称中心作直线就能平分整个图形的面积，通过不同的拆分方式即可得到三种不同的分割方法。
【解析】
(1)
∵平行四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心，直线EF经过对称中心O，
∴直线EF将平行四边形ABCD分成全等的两部分，
∴$S_{四边形AEFB}=S_{四边形DEFC}$。
(2) 首先确定大正方形的对称中心为其两条对角线的交点，过该点和小正方形的对称中心O作直线，这条直线即可将整个图形分成面积相等的两部分，作图参考参考答案图1。
(3) 可通过三种不同的拆分方式作图：①将图形拆分为下方2行3列的矩形和上方2个正方形组成的矩形，分别取两个矩形的对称中心，过两点作直线；②将图形拆分为左列2个正方形组成的矩形和右侧2行2列的正方形组合，分别取两个图形的对称中心，过两点作直线；③将图形拆分为右列2个正方形组成的矩形和左侧2行2列的正方形组合，分别取对称中心连线，三种分割方法参考参考答案图2。
【答案】
(1)$=$
(2)如图1所示.
(3)如图2所示.(答案不唯一,合理即可)
【知识点】
1.中心对称图形的性质
2.面积等分作图
3.正方形的性质
【点评】
本题重点考查中心对称图形性质的实际应用，解题核心是掌握“过中心对称图形对称中心的直线可平分该图形的面积”这一规律，对于组合图形，通过拆分出多个中心对称子图形，过各个子图形的对称中心作直线即可平分整个组合图形的面积，题型灵活度较高，能很好地锻炼图形拆分与应用能力。
【难度系数】
0.65
