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1.如图，已知四边形ABCD内接于$\odot O$，且$∠ A=135°$，则$∠ C=$。
答案
$\boldsymbol{45°}$
解析
解：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ A + ∠ C = 180°$。
又∵ $∠ A=135°$，
∴ $∠ C = 180° - 135° = 45°$。
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ A + ∠ C = 180°$。
又∵ $∠ A=135°$，
∴ $∠ C = 180° - 135° = 45°$。
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O.若∠A=116°,则∠BOD=.
答案
$\boldsymbol{128°}$
解析
解：
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠A + ∠C = 180°。
∵ ∠A = 116°，
∴ ∠C = 180° - 116° = 64°。
由圆周角定理得∠BOD = 2∠C，
∴ ∠BOD = 2×64° = 128°。
最终
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠A + ∠C = 180°。
∵ ∠A = 116°，
∴ ∠C = 180° - 116° = 64°。
由圆周角定理得∠BOD = 2∠C，
∴ ∠BOD = 2×64° = 128°。
最终
3.如图,在$\odot O$的内接五边形ABCDE中,若$∠ CAD=35°$,则$∠ B+∠ E=$.
答案
$\boldsymbol{215°}$
解析
解：
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠B + ∠ADC = 180°。
∵ 四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴ ∠E + ∠ACD = 180°。
∴ ∠B + ∠E + ∠ADC + ∠ACD = 360°。
在△ACD中，∠CAD = 35°，
∴ ∠ADC + ∠ACD = 180° - ∠CAD = 145°。
∴ ∠B + ∠E = 360° - (∠ADC + ∠ACD) = 360° - 145° = 215°。
最终
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠B + ∠ADC = 180°。
∵ 四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴ ∠E + ∠ACD = 180°。
∴ ∠B + ∠E + ∠ADC + ∠ACD = 360°。
在△ACD中，∠CAD = 35°，
∴ ∠ADC + ∠ACD = 180° - ∠CAD = 145°。
∴ ∠B + ∠E = 360° - (∠ADC + ∠ACD) = 360° - 145° = 215°。
最终
4. 提升题如图，$\odot O$的半径为2，四边形ABCD内接于$\odot O$，圆心O到AC的距离等于$\sqrt{3}$.有下列说法：①AC的长为2；②$∠ ADC=150°$；③若劣弧$\overset{\frown}{AC}$被点D分为$1:2$的两部分，则$∠ DBC=20°$；④若E是线段AC上一动点，连接OE，过点C作$CF⊥ OE$于点F，则AF的最小值是$\sqrt{3}$.其中正确的是（填序号）
答案
①②③
解析
解：
过点O作OH⊥AC于H，由垂径定理得AH=CH。
在Rt△AOH中，OA=2，OH=√3，因此AH=√(OA²-OH²)=√(4-3)=1，故AC=2AH=2，①正确。
∵OA=OC=AC=2，∴△OAC为等边三角形，∠AOC=60°，
优弧AC的度数为360°-60°=300°，∠ADC是优弧AC所对的圆周角，因此∠ADC=1/2×300°=150°，②正确。
劣弧AC的度数为60°，点D将其分为1:2的两部分，两段弧的度数分别为20°和40°，结合四边形ABCD的顶点顺序，得弧DC的度数为40°，
∠DBC是弧DC所对的圆周角，因此∠DBC=1/2×40°=20°，③正确。
∵CF⊥OE，即∠OFC=90°，∴点F的轨迹是以OC为直径的圆，设该圆圆心为M，则M是OC中点，半径r=1/2OC=1。
计算得点A到M的距离AM=√3，因此AF的最小值为AM - r=√3 - 1≠√3，④错误。
综上，正确的是①②③。
过点O作OH⊥AC于H，由垂径定理得AH=CH。
在Rt△AOH中，OA=2，OH=√3，因此AH=√(OA²-OH²)=√(4-3)=1，故AC=2AH=2，①正确。
∵OA=OC=AC=2，∴△OAC为等边三角形，∠AOC=60°，
优弧AC的度数为360°-60°=300°，∠ADC是优弧AC所对的圆周角，因此∠ADC=1/2×300°=150°，②正确。
劣弧AC的度数为60°，点D将其分为1:2的两部分，两段弧的度数分别为20°和40°，结合四边形ABCD的顶点顺序，得弧DC的度数为40°，
∠DBC是弧DC所对的圆周角，因此∠DBC=1/2×40°=20°，③正确。
∵CF⊥OE，即∠OFC=90°，∴点F的轨迹是以OC为直径的圆，设该圆圆心为M，则M是OC中点，半径r=1/2OC=1。
计算得点A到M的距离AM=√3，因此AF的最小值为AM - r=√3 - 1≠√3，④错误。
综上，正确的是①②③。
5. 提升题 解答下列问题.
(1)如图①，AB，CD是$\odot O$的两条平行弦.若$OE⊥ CD$，交$\odot O$于点E，则$\overset{\frown}{AC}$ （填“＞”“＜”或“＝”）$\overset{\frown}{BD}$.
(2)如图②，$△ PAB$是$\odot O$的内接三角形.若$OE⊥ AB$，交$\odot O$于点E，则$∠ APE$ （填“＞”“＜”或“＝”）$∠ BPE$.
(3)如图③，$AB// CD$，$△ PAB$是$\odot O$的内接三角形，$∠ QPA$是它的外角.在$\overset{\frown}{AP}$上有一点G，满足PG平分$∠ QPA$，请用无刻度的直尺，作出线段PG（不要求证明）.
(1)如图①，AB，CD是$\odot O$的两条平行弦.若$OE⊥ CD$，交$\odot O$于点E，则$\overset{\frown}{AC}$ （填“＞”“＜”或“＝”）$\overset{\frown}{BD}$.
(2)如图②，$△ PAB$是$\odot O$的内接三角形.若$OE⊥ AB$，交$\odot O$于点E，则$∠ APE$ （填“＞”“＜”或“＝”）$∠ BPE$.
(3)如图③，$AB// CD$，$△ PAB$是$\odot O$的内接三角形，$∠ QPA$是它的外角.在$\overset{\frown}{AP}$上有一点G，满足PG平分$∠ QPA$，请用无刻度的直尺，作出线段PG（不要求证明）.
答案
解：
(1) 连接OE，
∵ $AB// CD$，$OE⊥ CD$，
∴ $OE⊥ AB$，
由垂径定理得：$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DE}$，$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ $\overset{\frown}{AE}-\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BE}-\overset{\frown}{DE}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
答案：$\boldsymbol{=}$
(2) ∵ $OE⊥ AB$，
由垂径定理得：$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，
根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠ APE=∠ BPE$。
答案：$\boldsymbol{=}$
(3) 作图步骤：
1. 连接$AD$、$BC$，两线交于点$M$；
2. 作直线$OM$，交$\odot O$于点$E$（点$E$为弦$AB$上方、弧$APB$上的弧$AB$中点）；
3. 连接$PE$，交$\overset{\frown}{AP}$于点$G$，线段$PG$即为所求。
(1) 连接OE，
∵ $AB// CD$，$OE⊥ CD$，
∴ $OE⊥ AB$，
由垂径定理得：$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DE}$，$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ $\overset{\frown}{AE}-\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BE}-\overset{\frown}{DE}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
答案：$\boldsymbol{=}$
(2) ∵ $OE⊥ AB$，
由垂径定理得：$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，
根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠ APE=∠ BPE$。
答案：$\boldsymbol{=}$
(3) 作图步骤：
1. 连接$AD$、$BC$，两线交于点$M$；
2. 作直线$OM$，交$\odot O$于点$E$（点$E$为弦$AB$上方、弧$APB$上的弧$AB$中点）；
3. 连接$PE$，交$\overset{\frown}{AP}$于点$G$，线段$PG$即为所求。
