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1. 下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是（
A.只需观察就可以得出
B.只需依靠经验获得
C.通过亲自试验得出
D.必须进行有根据的推理
D
）A.只需观察就可以得出
B.只需依靠经验获得
C.通过亲自试验得出
D.必须进行有根据的推理
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查判断数学结论正确性的相关知识，解题思路如下：首先回忆“为什么要证明”章节中提到的观察、经验、试验的局限性，明确要确定数学结论的普适正确性，仅靠非严谨的验证方式是不够的，再逐一辨析每个选项的正误，最终选出符合要求的答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 观察容易受视觉误差、表象迷惑等影响，存在明显局限性，比如视觉错觉会导致观察结果和实际情况不符，因此仅靠观察无法保证数学结论正确，A错误。
B. 经验往往来自有限的案例，具有偶然性，存在大量不符合常规经验的反例，仅依靠经验无法判断数学结论的普适正确性，B错误。
C. 亲自试验只能验证有限个具体情况，而数学结论通常需要对所有符合条件的情况都成立，无法通过试验穷尽所有案例，因此仅靠试验不能确定数学结论正确，C错误。
D. 数学结论的正确性必须经过严密、有根据的推理论证，才能保证其在所有适用范围内都成立，D正确。
【答案】
D
【知识点】
证明的必要性、数学结论的判断
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是理解观察、经验、试验在验证数学结论时的局限性，明确推理证明对确定数学结论正确性的重要作用，掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查判断数学结论正确性的相关知识，解题思路如下：首先回忆“为什么要证明”章节中提到的观察、经验、试验的局限性，明确要确定数学结论的普适正确性，仅靠非严谨的验证方式是不够的，再逐一辨析每个选项的正误，最终选出符合要求的答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 观察容易受视觉误差、表象迷惑等影响，存在明显局限性，比如视觉错觉会导致观察结果和实际情况不符，因此仅靠观察无法保证数学结论正确，A错误。
B. 经验往往来自有限的案例，具有偶然性，存在大量不符合常规经验的反例，仅依靠经验无法判断数学结论的普适正确性，B错误。
C. 亲自试验只能验证有限个具体情况，而数学结论通常需要对所有符合条件的情况都成立，无法通过试验穷尽所有案例，因此仅靠试验不能确定数学结论正确，C错误。
D. 数学结论的正确性必须经过严密、有根据的推理论证，才能保证其在所有适用范围内都成立，D正确。
【答案】
D
【知识点】
证明的必要性、数学结论的判断
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是理解观察、经验、试验在验证数学结论时的局限性，明确推理证明对确定数学结论正确性的重要作用，掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.如图，比较线段a，b的长短，再用刻度尺量一下，看看你的观察结果是否正确.
答案
解:(1)$a=b$. (2)$a=b$.
解析
【分析】
这道题需要我们先通过视觉直观判断线段a、b的长短，再用刻度尺实际测量验证观察结果。解题思路：首先先观察两幅图中两条线段的视觉感受，初步判断长短；其次使用刻度尺按照正确测量方法，将零刻度对齐线段一端，读取另一端对应刻度，分别得到每条线段的长度；最后对比测量结果，验证观察是否准确，体会直观观察存在误差，需要实际验证的道理。
【解析】
（1）观察图(1)，竖直方向的线段a和水平方向的线段b，直观上容易觉得a更长；将刻度尺的零刻度线分别与线段a、b的一端对齐，读取线段另一端对应的刻度值，得到两条线段的长度，经测量可知二者长度相等，即$a=b$。
（2）观察图(2)，上方图形的顶边a和右侧小图形的顶边b，直观上容易觉得a更长；使用刻度尺分别测量线段a、b的长度，对比测量结果可知二者长度相等，即$a=b$。
【答案】
(1)$a=b$；(2)$a=b$
【知识点】
线段长短比较、长度测量、证明的必要性
【点评】
本题通过直观观察和实际测量结果的反差，让我们认识到仅凭观察、猜想得到的结论不一定可靠，要得到准确的结论需要通过严谨的测量或者推理验证，有助于建立严谨的数学学习习惯。
【难度系数】
0.9
这道题需要我们先通过视觉直观判断线段a、b的长短，再用刻度尺实际测量验证观察结果。解题思路：首先先观察两幅图中两条线段的视觉感受，初步判断长短；其次使用刻度尺按照正确测量方法，将零刻度对齐线段一端，读取另一端对应刻度，分别得到每条线段的长度；最后对比测量结果，验证观察是否准确，体会直观观察存在误差，需要实际验证的道理。
【解析】
（1）观察图(1)，竖直方向的线段a和水平方向的线段b，直观上容易觉得a更长；将刻度尺的零刻度线分别与线段a、b的一端对齐，读取线段另一端对应的刻度值，得到两条线段的长度，经测量可知二者长度相等，即$a=b$。
（2）观察图(2)，上方图形的顶边a和右侧小图形的顶边b，直观上容易觉得a更长；使用刻度尺分别测量线段a、b的长度，对比测量结果可知二者长度相等，即$a=b$。
【答案】
(1)$a=b$；(2)$a=b$
【知识点】
线段长短比较、长度测量、证明的必要性
【点评】
本题通过直观观察和实际测量结果的反差，让我们认识到仅凭观察、猜想得到的结论不一定可靠，要得到准确的结论需要通过严谨的测量或者推理验证，有助于建立严谨的数学学习习惯。
【难度系数】
0.9
3. 下列结论推理合理的是 （
A.王强和小明的体重看起来不相等，那么他们的体重一定不相等
B.因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题
C.因为小强的妈妈是老师，所以小强的学习成绩一定很好
D.因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多
D
）A.王强和小明的体重看起来不相等，那么他们的体重一定不相等
B.因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题
C.因为小强的妈妈是老师，所以小强的学习成绩一定很好
D.因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多
答案
3.D
解析
【分析】
这道题考查推理合理性的判断，解题时要注意区分“绝对化的必然结论”和“符合逻辑的或然结论”：首先逐个分析每个选项的前提能不能推出对应的结论，凡是出现“一定”这类绝对表述的，要判断是否存在反例，如果存在反例，推理就不合理；如果是“可能”这类表述，只要结论符合前提的逻辑指向，推理就是合理的。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 视觉判断体重存在误差，看起来不相等的体重实际有可能相等，“一定不相等”的结论过于绝对，推理不合理；
B. 数学老师也可能出现出题失误，“出的数学题一定没有问题”的结论过于绝对，推理不合理；
C. 妈妈是老师不代表孩子成绩必然优秀，“学习成绩一定很好”的结论过于绝对，推理不合理；
D. 热情、开朗、爱交际的性格有利于结交朋友，因此“小强的朋友可能很多”是符合逻辑的可能性结论，推理合理。
【答案】
D
【知识点】
推理合理性判断；证明的必要性；或然性结论
【点评】
本题侧重考查逻辑推理的基本判断能力，解题的核心是避免绝对化的推理误区，明确只有经过严谨证明的结论才是必然成立的，否则只能得出可能性的结论。
【难度系数】
0.9
这道题考查推理合理性的判断，解题时要注意区分“绝对化的必然结论”和“符合逻辑的或然结论”：首先逐个分析每个选项的前提能不能推出对应的结论，凡是出现“一定”这类绝对表述的，要判断是否存在反例，如果存在反例，推理就不合理；如果是“可能”这类表述，只要结论符合前提的逻辑指向，推理就是合理的。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 视觉判断体重存在误差，看起来不相等的体重实际有可能相等，“一定不相等”的结论过于绝对，推理不合理；
B. 数学老师也可能出现出题失误，“出的数学题一定没有问题”的结论过于绝对，推理不合理；
C. 妈妈是老师不代表孩子成绩必然优秀，“学习成绩一定很好”的结论过于绝对，推理不合理；
D. 热情、开朗、爱交际的性格有利于结交朋友，因此“小强的朋友可能很多”是符合逻辑的可能性结论，推理合理。
【答案】
D
【知识点】
推理合理性判断；证明的必要性；或然性结论
【点评】
本题侧重考查逻辑推理的基本判断能力，解题的核心是避免绝对化的推理误区，明确只有经过严谨证明的结论才是必然成立的，否则只能得出可能性的结论。
【难度系数】
0.9
4. 下列推理正确的是
①弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为明年弟弟长大了1岁；
②如果$a=b,b=c$，那么$a=c$；
③全等三角形的对应角相等；
④$∠ A$与$∠ B$相等，原因是它们看起来大小差不多；
⑤因为对顶角必然相等，所以相等的角也必定是对顶角.
②③
（填序号）.①弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为明年弟弟长大了1岁；
②如果$a=b,b=c$，那么$a=c$；
③全等三角形的对应角相等；
④$∠ A$与$∠ B$相等，原因是它们看起来大小差不多；
⑤因为对顶角必然相等，所以相等的角也必定是对顶角.
答案
4.②③
解析
【分析】
要判断各推理是否正确，需逐个结合对应的数学性质、事实依据分析：先明确每个说法涉及的知识点，再验证推理是否符合逻辑、是否符合定理性质，排除错误推理，最终选出正确的序号。
【解析】
我们逐个分析5个推理：
① 年龄差是固定不变的，今年哥哥比弟弟大6岁，明年两人各长1岁，哥哥仍比弟弟大6岁，因此该推理错误；
② 这是等式的传递性，若$a=b$，$b=c$，必然有$a=c$，该推理正确；
③ 由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等、对应角相等，该推理正确；
④ 角相等需要通过严格的度量或者逻辑证明来判定，不能仅凭“看起来大小差不多”判断，该推理错误；
⑤ “对顶角相等”是真命题，但其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，比如两直线平行时的同位角也相等，但不是对顶角，因此该推理错误。
综上，推理正确的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
等式的传递性，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题考查逻辑推理的严谨性，解题时需要结合已学的数学定理、性质判断推理是否成立，尤其要注意原命题成立时，其逆命题不一定成立，避免走入逻辑误区。
【难度系数】
0.8
要判断各推理是否正确，需逐个结合对应的数学性质、事实依据分析：先明确每个说法涉及的知识点，再验证推理是否符合逻辑、是否符合定理性质，排除错误推理，最终选出正确的序号。
【解析】
我们逐个分析5个推理：
① 年龄差是固定不变的，今年哥哥比弟弟大6岁，明年两人各长1岁，哥哥仍比弟弟大6岁，因此该推理错误；
② 这是等式的传递性，若$a=b$，$b=c$，必然有$a=c$，该推理正确；
③ 由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等、对应角相等，该推理正确；
④ 角相等需要通过严格的度量或者逻辑证明来判定，不能仅凭“看起来大小差不多”判断，该推理错误；
⑤ “对顶角相等”是真命题，但其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，比如两直线平行时的同位角也相等，但不是对顶角，因此该推理错误。
综上，推理正确的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
等式的传递性，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题考查逻辑推理的严谨性，解题时需要结合已学的数学定理、性质判断推理是否成立，尤其要注意原命题成立时，其逆命题不一定成立，避免走入逻辑误区。
【难度系数】
0.8
5.某公园计划砌一个形状如图1所示的喷水池，后来有人建议改为图2的形状（图中三个小圆的圆心在一条直线上），且外圆直径相同，喷水池边缘的高度、宽度相同，你认为砌喷水池的边缘（
A.图1需要的材料多
B.图2需要的材料多
C.图1、图2需要的材料一样多
D.无法确定
C
）A.图1需要的材料多
B.图2需要的材料多
C.图1、图2需要的材料一样多
D.无法确定
答案
5.C
解析
【分析】
要判断砌喷水池边缘需要的材料多少，本质是比较两个图形边缘的总周长（边缘高度、宽度相同的前提下，总周长相等则耗材相同）。我们可以先设外圆的直径为D，分别计算图1、图2的边缘总周长，再比较二者大小即可得到结论。
【解析】
解：设外圆的直径为D。
1. 计算图1的边缘总周长：
图1由2个直径为D的等圆组成，圆的周长公式为$C=π d$（d为直径），因此图1总周长为：
$C_1=2×π D=2π D$
2. 计算图2的边缘总周长：
图2的外边缘是1个直径为D的圆，外边缘周长为$C_{\mathrm{外}}=π D$；
设内部三个小圆的直径分别为$d_1$、$d_2$、$d_3$，由三个小圆的圆心在同一直线上且均与外圆内切可知，$d_1+d_2+d_3=D$。
三个小圆的周长和为：
$C_{\mathrm{小和}}=π d_1+π d_2+π d_3=π(d_1+d_2+d_3)=π D$
因此图2的总周长为：
$C_2=C_{\mathrm{外}}+C_{\mathrm{小和}}=π D+π D=2π D$
对比可得$C_1=C_2$，因此图1、图2需要的材料一样多。
【答案】
C
【知识点】
圆的周长计算；代数式化简
【点评】
本题结合生活实际考查周长的应用，解题时无需计算具体数值，通过设未知量、整体推导的方法即可比较总周长大小，不要被图2的复杂结构干扰，抓住“总周长决定耗材”的核心即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要判断砌喷水池边缘需要的材料多少，本质是比较两个图形边缘的总周长（边缘高度、宽度相同的前提下，总周长相等则耗材相同）。我们可以先设外圆的直径为D，分别计算图1、图2的边缘总周长，再比较二者大小即可得到结论。
【解析】
解：设外圆的直径为D。
1. 计算图1的边缘总周长：
图1由2个直径为D的等圆组成，圆的周长公式为$C=π d$（d为直径），因此图1总周长为：
$C_1=2×π D=2π D$
2. 计算图2的边缘总周长：
图2的外边缘是1个直径为D的圆，外边缘周长为$C_{\mathrm{外}}=π D$；
设内部三个小圆的直径分别为$d_1$、$d_2$、$d_3$，由三个小圆的圆心在同一直线上且均与外圆内切可知，$d_1+d_2+d_3=D$。
三个小圆的周长和为：
$C_{\mathrm{小和}}=π d_1+π d_2+π d_3=π(d_1+d_2+d_3)=π D$
因此图2的总周长为：
$C_2=C_{\mathrm{外}}+C_{\mathrm{小和}}=π D+π D=2π D$
对比可得$C_1=C_2$，因此图1、图2需要的材料一样多。
【答案】
C
【知识点】
圆的周长计算；代数式化简
【点评】
本题结合生活实际考查周长的应用，解题时无需计算具体数值，通过设未知量、整体推导的方法即可比较总周长大小，不要被图2的复杂结构干扰，抓住“总周长决定耗材”的核心即可快速解题。
【难度系数】
0.7
6. (教材P181随堂练习T2变式)当n为正整数时，$n^2 + n + 41$的值一定是质数吗？请说明理由。
答案
解:$n^2 + n + 41$的值不一定是质数.理由:当$n=40$时,$n^2 + n + 41=40^2 + 40 + 41=41^2$,不是质数.$\therefore$当$n$为正整数时,$n^2 + n + 41$的值不一定是质数.
解析
【分析】
要判断“n为正整数时，$n^2 + n + 41$的值一定是质数”是否成立，只需判断该命题是否为假命题即可。根据所学知识，判定一个命题是假命题只需举出一个反例：即找到一个正整数n，使得代入代数式计算后的结果是合数（除1和自身外还有其他正因数）。观察代数式可变形为$n(n+1)+41$，若取n使得$n(n+1)$是41的倍数，则整个式子可提取公因数41，结果为41乘大于1的整数，即为合数。我们可以取n=40，此时n+1=41，代入计算即可验证。
【解析】
解：$n^2 + n + 41$的值不一定是质数，理由如下：
当$n=40$时，
$\begin{aligned}n^2 + n + 41&=40^2 + 40 + 41\\&=1600+40+41\\&=1681\\&=41^2\end{aligned}$
$41^2$除了1和它本身外还有因数41，属于合数，不符合质数的定义。
因此当n为正整数时，$n^2 + n + 41$的值不一定是质数。
【答案】
当n为正整数时，$n^2 + n + 41$的值不一定是质数，理由：当$n=40$时，$n^2 + n + 41=40^2 + 40 + 41=41^2$，不是质数。
【知识点】
1. 质数与合数的定义
2. 假命题的判定方法
3. 代数式求值
【点评】
本题主要考查逻辑推理的严谨性，解题关键是理解“有限个特例不能证明普遍命题成立，但一个反例即可推翻普遍命题”的逻辑规则，举反例是判断假命题的常用方法，这类题目有助于培养严谨的数学思维习惯。
【难度系数】
0.7
要判断“n为正整数时，$n^2 + n + 41$的值一定是质数”是否成立，只需判断该命题是否为假命题即可。根据所学知识，判定一个命题是假命题只需举出一个反例：即找到一个正整数n，使得代入代数式计算后的结果是合数（除1和自身外还有其他正因数）。观察代数式可变形为$n(n+1)+41$，若取n使得$n(n+1)$是41的倍数，则整个式子可提取公因数41，结果为41乘大于1的整数，即为合数。我们可以取n=40，此时n+1=41，代入计算即可验证。
【解析】
解：$n^2 + n + 41$的值不一定是质数，理由如下：
当$n=40$时，
$\begin{aligned}n^2 + n + 41&=40^2 + 40 + 41\\&=1600+40+41\\&=1681\\&=41^2\end{aligned}$
$41^2$除了1和它本身外还有因数41，属于合数，不符合质数的定义。
因此当n为正整数时，$n^2 + n + 41$的值不一定是质数。
【答案】
当n为正整数时，$n^2 + n + 41$的值不一定是质数，理由：当$n=40$时，$n^2 + n + 41=40^2 + 40 + 41=41^2$，不是质数。
【知识点】
1. 质数与合数的定义
2. 假命题的判定方法
3. 代数式求值
【点评】
本题主要考查逻辑推理的严谨性，解题关键是理解“有限个特例不能证明普遍命题成立，但一个反例即可推翻普遍命题”的逻辑规则，举反例是判断假命题的常用方法，这类题目有助于培养严谨的数学思维习惯。
【难度系数】
0.7
7. 将标有1~25号的25个座位按如图所示的方式摆放.甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏,甲选2个座位,乙选3个座位,丙选4个座位,丁选5个座位.游戏规则如下:
①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位;
②每人使自己所选的座位号数字之和最小;
③座位不能重复选择.
(1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位,那么3,4,5号座位会被
(2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位,那么四人所选的座位号数字之和为
①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位;
②每人使自己所选的座位号数字之和最小;
③座位不能重复选择.
(1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位,那么3,4,5号座位会被
乙
选择.(2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位,那么四人所选的座位号数字之和为
110
.答案
7.(1)乙 (2)110
解析
【分析】
(1) 解题时先按选座顺序，优先找对应数量下和最小的同横行或竖列座位：甲选2个座位时，最小的两个数1、2在同一横行，和最小，甲先选走1、2；接下来乙选3个座位，剩余最小的3个数3、4、5在同一横行，和为12最小，符合乙的选座要求，即可确定归属。
(2) 按丁、丙、乙、甲顺序分析：①丁选5个座位，只能选整行或整列，计算得第三行的和最小，丁优先选第三行；②丙选4个座位，找剩余座位中4个同横行/竖列的最小和，第四行去掉最大值后剩余4个数的和最小；③乙选3个座位，剩余数中第二行的7、8、9和最小；④甲选2个剩余的最小数，最后将四人所选座位和相加即可。
【解析】
(1) 甲选2个和最小的同排座位：1和2，和为$1+2=3$，是所有2个同排/同列座位中和最小的，甲选走1、2。剩余座位中，3、4、5在同一横行，和为$3+4+5=12$，是可选的3个同排/同列座位中和最小的，符合乙的选座要求，因此3、4、5被乙选择。
(2) ①丁选5个座位：需选整行或整列，计算各行和：第一行$21+22+23+24+25=115$，第二行$20+7+8+9+10=54$，第三行$19+6+1+2+11=39$，第四行$18+5+4+3+12=42$，第五行$17+16+15+14+13=75$，第三行和最小，丁选第三行，和为39；
②丙选4个座位：剩余座位中，第四行去掉最大的18后，3、4、5、12的和为$3+4+5+12=24$，是4个同排座位中和最小的，丙选这4个，和为24；
③乙选3个座位：剩余座位中，第二行的7、8、9在同一横行，和为$7+8+9=24$，是3个同排座位中和最小的，乙选这3个，和为24；
④甲选2个座位：剩余最小的两个符合要求的座位是10和13，和为$10+13=23$；
四人所选座位号总和为$39+24+24+23=110$。
【答案】
(1) 乙 (2) 110
【知识点】
有理数加法，逻辑推理，最优策略
【点评】
本题需要结合选座规则按顺序推导，每一步都优先选择当前可选范围内和最小的符合要求的座位，注意遵守座位不可重复、必须同横行/竖列的限制，逐步计算即可得到结果。
【难度系数】
0.65
(1) 解题时先按选座顺序，优先找对应数量下和最小的同横行或竖列座位：甲选2个座位时，最小的两个数1、2在同一横行，和最小，甲先选走1、2；接下来乙选3个座位，剩余最小的3个数3、4、5在同一横行，和为12最小，符合乙的选座要求，即可确定归属。
(2) 按丁、丙、乙、甲顺序分析：①丁选5个座位，只能选整行或整列，计算得第三行的和最小，丁优先选第三行；②丙选4个座位，找剩余座位中4个同横行/竖列的最小和，第四行去掉最大值后剩余4个数的和最小；③乙选3个座位，剩余数中第二行的7、8、9和最小；④甲选2个剩余的最小数，最后将四人所选座位和相加即可。
【解析】
(1) 甲选2个和最小的同排座位：1和2，和为$1+2=3$，是所有2个同排/同列座位中和最小的，甲选走1、2。剩余座位中，3、4、5在同一横行，和为$3+4+5=12$，是可选的3个同排/同列座位中和最小的，符合乙的选座要求，因此3、4、5被乙选择。
(2) ①丁选5个座位：需选整行或整列，计算各行和：第一行$21+22+23+24+25=115$，第二行$20+7+8+9+10=54$，第三行$19+6+1+2+11=39$，第四行$18+5+4+3+12=42$，第五行$17+16+15+14+13=75$，第三行和最小，丁选第三行，和为39；
②丙选4个座位：剩余座位中，第四行去掉最大的18后，3、4、5、12的和为$3+4+5+12=24$，是4个同排座位中和最小的，丙选这4个，和为24；
③乙选3个座位：剩余座位中，第二行的7、8、9在同一横行，和为$7+8+9=24$，是3个同排座位中和最小的，乙选这3个，和为24；
④甲选2个座位：剩余最小的两个符合要求的座位是10和13，和为$10+13=23$；
四人所选座位号总和为$39+24+24+23=110$。
【答案】
(1) 乙 (2) 110
【知识点】
有理数加法，逻辑推理，最优策略
【点评】
本题需要结合选座规则按顺序推导，每一步都优先选择当前可选范围内和最小的符合要求的座位，注意遵守座位不可重复、必须同横行/竖列的限制，逐步计算即可得到结果。
【难度系数】
0.65
