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7.在$(\sqrt{27}+\sqrt{\frac{1}{3}})□\sqrt{3}$的$□$中添加一个运算符，使其结果最大，则$□$中应添加（
A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$
C
）A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$
答案
C
解析
【分析】
要确定添加哪个运算符后结果最大，可先将括号内的二次根式化简为最简二次根式，再分别计算填入加、减、乘、除四种运算符后的结果，最后比较四个结果的大小，数值最大的对应的运算符即为所求。
【解析】
首先化简括号内的二次根式：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此括号内的和为$3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。
分别计算四种运算的结果：
A. 填“$+$”时：$\frac{10\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{3}=\frac{13\sqrt{3}}{3}\approx7.51$；
B. 填“$-$”时：$\frac{10\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}-\frac{3\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\approx4.04$；
C. 填“$×$”时：$\frac{10\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}=\frac{10×(\sqrt{3}×\sqrt{3})}{3}=\frac{10×3}{3}=10$；
D. 填“$÷$”时：$\frac{10\sqrt{3}}{3}÷\sqrt{3}=\frac{10}{3}\approx3.33$。
比较四个结果可得$10＞\frac{13\sqrt{3}}{3}＞\frac{7\sqrt{3}}{3}＞\frac{10}{3}$，因此填“$×$”时结果最大。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的混合运算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题核心是熟练掌握二次根式化简和四则运算的规则，通过分类计算对比结果即可得出答案，易错点在于二次根式化简错误或运算时出现计算失误。
【难度系数】
0.8
要确定添加哪个运算符后结果最大，可先将括号内的二次根式化简为最简二次根式，再分别计算填入加、减、乘、除四种运算符后的结果，最后比较四个结果的大小，数值最大的对应的运算符即为所求。
【解析】
首先化简括号内的二次根式：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此括号内的和为$3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。
分别计算四种运算的结果：
A. 填“$+$”时：$\frac{10\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{3}=\frac{13\sqrt{3}}{3}\approx7.51$；
B. 填“$-$”时：$\frac{10\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}-\frac{3\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\approx4.04$；
C. 填“$×$”时：$\frac{10\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}=\frac{10×(\sqrt{3}×\sqrt{3})}{3}=\frac{10×3}{3}=10$；
D. 填“$÷$”时：$\frac{10\sqrt{3}}{3}÷\sqrt{3}=\frac{10}{3}\approx3.33$。
比较四个结果可得$10＞\frac{13\sqrt{3}}{3}＞\frac{7\sqrt{3}}{3}＞\frac{10}{3}$，因此填“$×$”时结果最大。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的混合运算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题核心是熟练掌握二次根式化简和四则运算的规则，通过分类计算对比结果即可得出答案，易错点在于二次根式化简错误或运算时出现计算失误。
【难度系数】
0.8
8. 对实数$a,b$作新定义:$a@b=ab,a※b=a^b$.在此定义下,计算:$( \sqrt{\frac{4}{3}} - \sqrt{\frac{3}{2}} )@\sqrt{12} - ( \sqrt{75} - 4\sqrt{3} )※2=$
$1-3\sqrt{2}$
.答案
$1-3\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先明确题目给出的两个新定义运算规则：$a@b$表示$a$与$b$相乘，$a※b$表示$a$的$b$次方。解题时先将原式按新定义转化为常规的二次根式运算，再分两部分计算：第一部分计算带@的乘法运算，用乘法分配律展开后化简二次根式；第二部分计算带※的乘方运算，先化简括号内的二次根式再计算乘方，最后将两部分结果相减即可得到答案。
【解析】
解：根据新定义$a@b=ab$，$a※b=a^b$，原式可转化为：
$( \sqrt{\frac{4}{3}} - \sqrt{\frac{3}{2}} ) × \sqrt{12} - ( \sqrt{75} - 4\sqrt{3} )^2$
1. 计算第一部分乘法：
$\begin{aligned}( \sqrt{\frac{4}{3}} - \sqrt{\frac{3}{2}} ) × \sqrt{12} &= \sqrt{\frac{4}{3}} × \sqrt{12} - \sqrt{\frac{3}{2}} × \sqrt{12} \\&= \sqrt{\frac{4}{3} × 12} - \sqrt{\frac{3}{2} × 12} \\&= \sqrt{16} - \sqrt{18} \\&= 4 - 3\sqrt{2}\end{aligned}$
2. 计算第二部分乘方：
先化简括号内的二次根式：$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，则
$\begin{aligned}( 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} )^2 &= (\sqrt{3})^2 \\&= 3\end{aligned}$
3. 计算最终结果：
$(4 - 3\sqrt{2}) - 3 = 1 - 3\sqrt{2}$
【答案】
$1-3\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，二次根式混合运算
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的相关运算，解题核心是正确理解新定义的运算规则，将陌生运算转化为熟悉的二次根式运算，计算过程中要注意二次根式化简的准确性和运算顺序，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先明确题目给出的两个新定义运算规则：$a@b$表示$a$与$b$相乘，$a※b$表示$a$的$b$次方。解题时先将原式按新定义转化为常规的二次根式运算，再分两部分计算：第一部分计算带@的乘法运算，用乘法分配律展开后化简二次根式；第二部分计算带※的乘方运算，先化简括号内的二次根式再计算乘方，最后将两部分结果相减即可得到答案。
【解析】
解：根据新定义$a@b=ab$，$a※b=a^b$，原式可转化为：
$( \sqrt{\frac{4}{3}} - \sqrt{\frac{3}{2}} ) × \sqrt{12} - ( \sqrt{75} - 4\sqrt{3} )^2$
1. 计算第一部分乘法：
$\begin{aligned}( \sqrt{\frac{4}{3}} - \sqrt{\frac{3}{2}} ) × \sqrt{12} &= \sqrt{\frac{4}{3}} × \sqrt{12} - \sqrt{\frac{3}{2}} × \sqrt{12} \\&= \sqrt{\frac{4}{3} × 12} - \sqrt{\frac{3}{2} × 12} \\&= \sqrt{16} - \sqrt{18} \\&= 4 - 3\sqrt{2}\end{aligned}$
2. 计算第二部分乘方：
先化简括号内的二次根式：$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，则
$\begin{aligned}( 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} )^2 &= (\sqrt{3})^2 \\&= 3\end{aligned}$
3. 计算最终结果：
$(4 - 3\sqrt{2}) - 3 = 1 - 3\sqrt{2}$
【答案】
$1-3\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，二次根式混合运算
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的相关运算，解题核心是正确理解新定义的运算规则，将陌生运算转化为熟悉的二次根式运算，计算过程中要注意二次根式化简的准确性和运算顺序，避免出错。
【难度系数】
0.7
9. 计算：
(2) $(3\sqrt{12} - 2\sqrt{\dfrac{1}{3}} + \sqrt{48}) ÷ 2\sqrt{3}$
(3) $(\sqrt{2} - 6\sqrt{\dfrac{1}{12}}) - (4\sqrt{\dfrac{1}{8}} - \dfrac{1}{2}\sqrt{75})$
(2) $(3\sqrt{12} - 2\sqrt{\dfrac{1}{3}} + \sqrt{48}) ÷ 2\sqrt{3}$
(3) $(\sqrt{2} - 6\sqrt{\dfrac{1}{12}}) - (4\sqrt{\dfrac{1}{8}} - \dfrac{1}{2}\sqrt{75})$
答案
解:(1)原式=$(3×2\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3})÷2\sqrt{3}=(6\sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}+4\sqrt{3})÷2\sqrt{3}=\frac{28\sqrt{3}}{3}÷2\sqrt{3}=\frac{14}{3}$.
(2)原式=$\sqrt{2}-6\sqrt{\frac{1}{12}}-4\sqrt{\frac{1}{8}}+\frac{1}{2}\sqrt{75}=\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\frac{3}{2}\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
(2)原式=$\sqrt{2}-6\sqrt{\frac{1}{12}}-4\sqrt{\frac{1}{8}}+\frac{1}{2}\sqrt{75}=\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\frac{3}{2}\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
这两道题属于二次根式的混合运算，解题思路如下：
1. 二次根式运算的核心是先将所有二次根式化为最简二次根式，再进行后续运算；
2. 第(2)题是带括号的二次根式除法运算，可先合并括号内的同类二次根式，再除以除式，计算更简便；
3. 第(3)题是带括号的二次根式加减运算，先去括号（注意括号前为负号时，括号内各项要变号），再合并同类二次根式即可。
【解析】
(2) 先化简括号内的各二次根式，再合并同类二次根式，最后计算除法：
$\begin{aligned}原式&=(3×2\sqrt{3} - 2×\frac{\sqrt{3}}{3} + 4\sqrt{3}) ÷ 2\sqrt{3} \\&=(6\sqrt{3} - \frac{2}{3}\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) ÷ 2\sqrt{3} \\&=\frac{28\sqrt{3}}{3} ÷ 2\sqrt{3} \\&=\frac{14}{3}\end{aligned}$
(3) 先去括号，再化简各二次根式，最后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{2} - 6\sqrt{\frac{1}{12}} - 4\sqrt{\frac{1}{8}} + \frac{1}{2}\sqrt{75} \\&=\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2} + \frac{5}{2}\sqrt{3} \\&=\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(2) $\boxed{\dfrac{14}{3}}$；(3) $\boxed{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}$
【知识点】
最简二次根式化简；二次根式混合运算；同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的化简能力和运算规则的应用，计算时需注意去括号的符号变化，以及同类二次根式合并时的系数运算，熟练掌握化简规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
这两道题属于二次根式的混合运算，解题思路如下：
1. 二次根式运算的核心是先将所有二次根式化为最简二次根式，再进行后续运算；
2. 第(2)题是带括号的二次根式除法运算，可先合并括号内的同类二次根式，再除以除式，计算更简便；
3. 第(3)题是带括号的二次根式加减运算，先去括号（注意括号前为负号时，括号内各项要变号），再合并同类二次根式即可。
【解析】
(2) 先化简括号内的各二次根式，再合并同类二次根式，最后计算除法：
$\begin{aligned}原式&=(3×2\sqrt{3} - 2×\frac{\sqrt{3}}{3} + 4\sqrt{3}) ÷ 2\sqrt{3} \\&=(6\sqrt{3} - \frac{2}{3}\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) ÷ 2\sqrt{3} \\&=\frac{28\sqrt{3}}{3} ÷ 2\sqrt{3} \\&=\frac{14}{3}\end{aligned}$
(3) 先去括号，再化简各二次根式，最后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{2} - 6\sqrt{\frac{1}{12}} - 4\sqrt{\frac{1}{8}} + \frac{1}{2}\sqrt{75} \\&=\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2} + \frac{5}{2}\sqrt{3} \\&=\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(2) $\boxed{\dfrac{14}{3}}$；(3) $\boxed{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}$
【知识点】
最简二次根式化简；二次根式混合运算；同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的化简能力和运算规则的应用，计算时需注意去括号的符号变化，以及同类二次根式合并时的系数运算，熟练掌握化简规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
10.(教材P48习题T7变式)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点A,B,C恰好在格点(网格线的交点)上.
(1)求△ABC的周长.
(2)求△ABC的面积.
(1)求△ABC的周长.
(2)求△ABC的面积.
答案
解:(1)根据题意,得 $AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5},AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5},BC=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$,$\therefore △ ABC$ 的周长为 $AB+AC+BC=2\sqrt{5}+\sqrt{5}+5=5+3\sqrt{5}$.
(2)$\because AB=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{5}$,$BC=5$, $\therefore BC^2=25$,$AB^2+AC^2=20+5=25$. $\therefore BC^2=AB^2+AC^2$. $\therefore △ ABC$ 是直角三角形,$∠ BAC=90°$. $\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· AB=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$.
(2)$\because AB=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{5}$,$BC=5$, $\therefore BC^2=25$,$AB^2+AC^2=20+5=25$. $\therefore BC^2=AB^2+AC^2$. $\therefore △ ABC$ 是直角三角形,$∠ BAC=90°$. $\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· AB=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$.
解析
【分析】
(1) 求三角形周长需要先求出三条边的长度，网格中每个小正方形边长为1，可利用勾股定理，分别找出AB、AC、BC三边对应的横向、纵向格数差，计算出三边长度后相加即可得到周长。
(2) 求三角形面积时，先观察(1)中算出的三边长度，验证是否满足勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，直接用两条直角边乘积的一半计算面积，计算更简便。
【解析】
(1) 已知每个小正方形边长为1，根据勾股定理计算各边长：
$AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$，
因此$△ ABC$的周长为$AB+AC+BC=2\sqrt{5}+\sqrt{5}+5=5+3\sqrt{5}$。
(2) 由(1)得$AB=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{5}$，$BC=5$，
计算得$BC^2=5^2=25$，$AB^2+AC^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=20+5=25$，
因此$BC^2=AB^2+AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$，
所以$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$。
【答案】
(1) $△ ABC$的周长为$5+3\sqrt{5}$；
(2) $△ ABC$的面积为$5$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合网格背景考查勾股定理及其逆定理的应用，解题核心是借助网格边长为1的特征，准确计算三角形各边长度，再通过逆定理判断三角形形状后快速求解面积，属于几何基础类常考题。
【难度系数】
0.8
(1) 求三角形周长需要先求出三条边的长度，网格中每个小正方形边长为1，可利用勾股定理，分别找出AB、AC、BC三边对应的横向、纵向格数差，计算出三边长度后相加即可得到周长。
(2) 求三角形面积时，先观察(1)中算出的三边长度，验证是否满足勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，直接用两条直角边乘积的一半计算面积，计算更简便。
【解析】
(1) 已知每个小正方形边长为1，根据勾股定理计算各边长：
$AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$，
因此$△ ABC$的周长为$AB+AC+BC=2\sqrt{5}+\sqrt{5}+5=5+3\sqrt{5}$。
(2) 由(1)得$AB=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{5}$，$BC=5$，
计算得$BC^2=5^2=25$，$AB^2+AC^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=20+5=25$，
因此$BC^2=AB^2+AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$，
所以$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$。
【答案】
(1) $△ ABC$的周长为$5+3\sqrt{5}$；
(2) $△ ABC$的面积为$5$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合网格背景考查勾股定理及其逆定理的应用，解题核心是借助网格边长为1的特征，准确计算三角形各边长度，再通过逆定理判断三角形形状后快速求解面积，属于几何基础类常考题。
【难度系数】
0.8
11. 新考向·阅读理解 阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的任务.
斐波那契(约1175－1250年)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果.在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的花瓣数恰好是斐波那契数列中的数,斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.
斐波那契数列中的第$n$个数可以用$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$表示(其中$n≥1$),这是用无理数表示有理数的一个范例.
任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.
斐波那契(约1175－1250年)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果.在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的花瓣数恰好是斐波那契数列中的数,斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.
斐波那契数列中的第$n$个数可以用$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$表示(其中$n≥1$),这是用无理数表示有理数的一个范例.
任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.
答案
解:第1个数:当 $n=1$ 时,$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]=\frac{1}{\sqrt{5}}×(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2})=\frac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}=1$.
第 2 个数:当 $n=2$ 时,$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]=\frac{1}{\sqrt{5}}×[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2]=\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{1+2\sqrt{5}+5-1+2\sqrt{5}-5}{4}=\frac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}=1$.
第 2 个数:当 $n=2$ 时,$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]=\frac{1}{\sqrt{5}}×[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2]=\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{1+2\sqrt{5}+5-1+2\sqrt{5}-5}{4}=\frac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}=1$.
解析
【分析】
要计算斐波那契数列的第1个数和第2个数，首先利用题目给出的第$n$个数的通用公式，分别将$n=1$、$n=2$代入公式，再按照二次根式的混合运算法则逐步化简即可。计算$n=2$对应的项时，可先用完全平方公式展开平方项，再合并同类二次根式完成化简。
【解析】
第1个数：当$n=1$时，
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]&=\frac{1}{\sqrt{5}}×(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2})\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{2\sqrt{5}}{2}\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}\\&=1\end{aligned}$
第2个数：当$n=2$时，
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]&=\frac{1}{\sqrt{5}}×[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2]\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}×(\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}-\frac{1-2\sqrt{5}+5}{4})\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{4\sqrt{5}}{4}\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
第1个数为1，第2个数为1。
【知识点】
代数式求值，二次根式的混合运算，完全平方公式
【点评】
本题结合数学文化背景出题，核心考查二次根式的运算能力，解题关键是读懂新定义的公式，准确代入$n$的值后按运算法则计算，注意计算过程中符号的处理，避免化简出错。
【难度系数】
0.8
要计算斐波那契数列的第1个数和第2个数，首先利用题目给出的第$n$个数的通用公式，分别将$n=1$、$n=2$代入公式，再按照二次根式的混合运算法则逐步化简即可。计算$n=2$对应的项时，可先用完全平方公式展开平方项，再合并同类二次根式完成化简。
【解析】
第1个数：当$n=1$时，
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]&=\frac{1}{\sqrt{5}}×(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2})\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{2\sqrt{5}}{2}\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}\\&=1\end{aligned}$
第2个数：当$n=2$时，
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]&=\frac{1}{\sqrt{5}}×[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2]\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}×(\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}-\frac{1-2\sqrt{5}+5}{4})\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{4\sqrt{5}}{4}\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
第1个数为1，第2个数为1。
【知识点】
代数式求值，二次根式的混合运算，完全平方公式
【点评】
本题结合数学文化背景出题，核心考查二次根式的运算能力，解题关键是读懂新定义的公式，准确代入$n$的值后按运算法则计算，注意计算过程中符号的处理，避免化简出错。
【难度系数】
0.8
