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1. 一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm，可成为一个正方形，设长方形的长为$x$cm，则可列方程为（
A.$x-2=(30-x)+3$
B.$x-2=(15-x)+3$
C.$x+2=(30-x)-3$
D.$x+2=(15-x)-3$
B
）A.$x-2=(30-x)+3$
B.$x-2=(15-x)+3$
C.$x+2=(30-x)-3$
D.$x+2=(15-x)-3$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要明确本题的等量关系：长方形的长减少2cm后的长度 = 长方形的宽增加3cm后的长度（正方形边长相等）。第一步先根据长方形周长公式，用含x的式子表示出长方形的宽；第二步将改造后的长和宽用含x的式子表示，结合等量关系列出方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，周长为$30\ \mathrm{cm}$。
根据长方形周长公式$C=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，可得长与宽的和为：$30÷2=15\ \mathrm{cm}$，因此长方形的宽为$(15 - x)\ \mathrm{cm}$。
长减少2cm后长度为$(x - 2)\ \mathrm{cm}$，宽增加3cm后长度为$(15 - x + 3)\ \mathrm{cm}$。
因为改造后为正方形，正方形边长相等，所以可列方程：
$x - 2 = (15 - x) + 3$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
长方形周长计算，正方形的性质，列一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程与几何图形结合的基础题型，解题的核心是先利用周长公式表示出未知的宽，再结合正方形边长相等的性质找到等量关系，只要熟练掌握常见几何图形的基本性质和列方程的基本步骤，就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确本题的等量关系：长方形的长减少2cm后的长度 = 长方形的宽增加3cm后的长度（正方形边长相等）。第一步先根据长方形周长公式，用含x的式子表示出长方形的宽；第二步将改造后的长和宽用含x的式子表示，结合等量关系列出方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，周长为$30\ \mathrm{cm}$。
根据长方形周长公式$C=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，可得长与宽的和为：$30÷2=15\ \mathrm{cm}$，因此长方形的宽为$(15 - x)\ \mathrm{cm}$。
长减少2cm后长度为$(x - 2)\ \mathrm{cm}$，宽增加3cm后长度为$(15 - x + 3)\ \mathrm{cm}$。
因为改造后为正方形，正方形边长相等，所以可列方程：
$x - 2 = (15 - x) + 3$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
长方形周长计算，正方形的性质，列一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程与几何图形结合的基础题型，解题的核心是先利用周长公式表示出未知的宽，再结合正方形边长相等的性质找到等量关系，只要熟练掌握常见几何图形的基本性质和列方程的基本步骤，就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在数轴上,点A,B分别表示数a,b,且$a+b=2$。若$AB=4$,则点A表示的数为 (
A.-1
B.-2
C.2
D.1
A
)A.-1
B.-2
C.2
D.1
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先结合数轴的特征：数轴上右侧的点表示的数大于左侧的点表示的数，因此点B表示的数b比点A表示的数a大，两点间的距离AB就等于b-a。已知AB=4，可得b和a的数量关系，再结合题目给出的a+b=2，建立方程即可求出点A表示的数a。
【解析】
解：
∵数轴上点B在点A的右侧，
∴b ＞ a，
∴两点间的距离$ AB = b - a $，
已知$ AB=4 $，因此可得：$ b - a = 4 $，变形得$ b = a + 4 $，
将$ b = a + 4 $代入$ a + b = 2 $得：
$ a + (a + 4) = 2 $
$ 2a + 4 = 2 $
$ 2a = -2 $
解得$ a = -1 $，即点A表示的数为-1。
【答案】
A
【知识点】
数轴上两点距离计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题为数轴与方程结合的基础题型，解题关键是根据点的位置关系正确表示出两点间的距离，再代入已知条件列方程求解，需要熟练掌握数形结合的解题思路。
【难度系数】
0.8
解题时先结合数轴的特征：数轴上右侧的点表示的数大于左侧的点表示的数，因此点B表示的数b比点A表示的数a大，两点间的距离AB就等于b-a。已知AB=4，可得b和a的数量关系，再结合题目给出的a+b=2，建立方程即可求出点A表示的数a。
【解析】
解：
∵数轴上点B在点A的右侧，
∴b ＞ a，
∴两点间的距离$ AB = b - a $，
已知$ AB=4 $，因此可得：$ b - a = 4 $，变形得$ b = a + 4 $，
将$ b = a + 4 $代入$ a + b = 2 $得：
$ a + (a + 4) = 2 $
$ 2a + 4 = 2 $
$ 2a = -2 $
解得$ a = -1 $，即点A表示的数为-1。
【答案】
A
【知识点】
数轴上两点距离计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题为数轴与方程结合的基础题型，解题关键是根据点的位置关系正确表示出两点间的距离，再代入已知条件列方程求解，需要熟练掌握数形结合的解题思路。
【难度系数】
0.8
3. 用直径为4cm的圆钢，铸造3个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，那么需要截取圆钢（
A.12cm
B.15cm
C.18cm
D.21cm
A
）A.12cm
B.15cm
C.18cm
D.21cm
答案
3.A
解析
【分析】
这是一道等积变形类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住铸造前后钢材的总体积不变这一等量关系。首先回忆圆柱体积公式$V=π r^2h$（$r$为底面半径，$h$为高），我们可以先设需要截取的圆钢长度为$x$cm，分别表示出截取的圆钢体积和3个圆柱形零件的总体积，再根据体积相等列方程求解即可，计算时要注意把直径换算成半径代入公式。
【解析】
解：设需要截取圆钢的长度为$x$ cm。
根据圆柱体积公式，圆钢的体积为：$π × (\frac{4}{2})^2 × x = 4π x$（$\mathrm{cm}^3$）
1个圆柱形零件的体积为：$π × (\frac{2}{2})^2 × 16 = 16π$（$\mathrm{cm}^3$）
3个零件的总体积为：$3 × 16π = 48π$（$\mathrm{cm}^3$）
由铸造前后体积相等，可得方程：
$4π x = 48π$
两边同时除以$π$，得：$4x=48$
解得：$x=12$
即需要截取圆钢12cm，故选A。
【答案】A
【知识点】
一元一次方程的应用、圆柱体积计算、等积变形问题
【点评】
本题是典型的等积变形应用题，解题的关键是明确形变体积不变的核心等量关系，代入公式计算时要注意区分直径和半径，避免代入错误。
【难度系数】
0.8
这是一道等积变形类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住铸造前后钢材的总体积不变这一等量关系。首先回忆圆柱体积公式$V=π r^2h$（$r$为底面半径，$h$为高），我们可以先设需要截取的圆钢长度为$x$cm，分别表示出截取的圆钢体积和3个圆柱形零件的总体积，再根据体积相等列方程求解即可，计算时要注意把直径换算成半径代入公式。
【解析】
解：设需要截取圆钢的长度为$x$ cm。
根据圆柱体积公式，圆钢的体积为：$π × (\frac{4}{2})^2 × x = 4π x$（$\mathrm{cm}^3$）
1个圆柱形零件的体积为：$π × (\frac{2}{2})^2 × 16 = 16π$（$\mathrm{cm}^3$）
3个零件的总体积为：$3 × 16π = 48π$（$\mathrm{cm}^3$）
由铸造前后体积相等，可得方程：
$4π x = 48π$
两边同时除以$π$，得：$4x=48$
解得：$x=12$
即需要截取圆钢12cm，故选A。
【答案】A
【知识点】
一元一次方程的应用、圆柱体积计算、等积变形问题
【点评】
本题是典型的等积变形应用题，解题的关键是明确形变体积不变的核心等量关系，代入公式计算时要注意区分直径和半径，避免代入错误。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在一个周长为10m的长方形窗户上钉上一块宽为1m的长方形遮阳布，使透光部分正好是一个正方形，则钉好后透光部分的面积为（
A.$25m^2$
B.$16m^2$
C.$9m^2$
D.$4m^2$
D
）A.$25m^2$
B.$16m^2$
C.$9m^2$
D.$4m^2$
答案
4.D
解析
【分析】
解题的核心是抓住“原长方形窗户周长为10m”这个等量关系，我们可以先设透光正方形的边长为x m，结合图形可知：原长方形窗户的水平边长和正方形边长相等，为x m；原长方形的竖直边长等于正方形边长加遮阳布的宽度，即(x+1)m。再把原长方形的长和宽代入周长公式列方程，求出正方形边长后就能计算透光面积。
【解析】
设透光部分正方形的边长为$ x \, \mathrm{m} $，根据题意可知原长方形窗户的长为$ x \, \mathrm{m} $，宽为$ (x+1) \, \mathrm{m} $。
根据长方形周长公式$ C=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽}) $，可列方程：
$ 2[x + (x+1)] = 10 $
化简得：$ 2(2x+1)=10 $
两边同时除以2：$ 2x+1=5 $
移项计算：$ 2x=4 $，解得$ x=2 $
则透光正方形的面积为$ x^2 = 2^2 = 4 \, (\mathrm{m}^2) $
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形周长计算；正方形面积计算
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，解题关键是准确梳理出原长方形长宽与正方形边长的数量关系，再结合几何公式列方程求解，能够考查学生的逻辑分析能力和基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住“原长方形窗户周长为10m”这个等量关系，我们可以先设透光正方形的边长为x m，结合图形可知：原长方形窗户的水平边长和正方形边长相等，为x m；原长方形的竖直边长等于正方形边长加遮阳布的宽度，即(x+1)m。再把原长方形的长和宽代入周长公式列方程，求出正方形边长后就能计算透光面积。
【解析】
设透光部分正方形的边长为$ x \, \mathrm{m} $，根据题意可知原长方形窗户的长为$ x \, \mathrm{m} $，宽为$ (x+1) \, \mathrm{m} $。
根据长方形周长公式$ C=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽}) $，可列方程：
$ 2[x + (x+1)] = 10 $
化简得：$ 2(2x+1)=10 $
两边同时除以2：$ 2x+1=5 $
移项计算：$ 2x=4 $，解得$ x=2 $
则透光正方形的面积为$ x^2 = 2^2 = 4 \, (\mathrm{m}^2) $
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形周长计算；正方形面积计算
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，解题关键是准确梳理出原长方形长宽与正方形边长的数量关系，再结合几何公式列方程求解，能够考查学生的逻辑分析能力和基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 用60m长的铁丝围成一个长方形，如果长比宽多10m，那么长应是
20
m。答案
5. 20
解析
【分析】
本题是利用一元一次方程解决实际几何周长问题，解题思路如下：首先明确题中等量关系：长方形的周长等于铁丝总长度60m；其次根据“长比宽多10m”的数量关系，设长为未知数，用含未知数的式子表示宽；最后代入长方形周长公式列方程，求解即可得到长的数值。
【解析】
解：设长方形的长为$ x \, \mathrm{m} $，则宽为$ (x-10) \, \mathrm{m} $。
根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，已知周长为60m，列方程得：
$ 2[x + (x-10)] = 60 $
化简方程：
$ 2(2x - 10) = 60 $
两边同时除以2：
$ 2x - 10 = 30 $
移项计算得：
$ 2x = 40 $
解得：$ x = 20 $
【答案】
20
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形周长计算
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题关键是找准周长的等量关系，结合长和宽的差设未知数列方程求解，熟练掌握基础几何公式和列方程解应用题的基本步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题是利用一元一次方程解决实际几何周长问题，解题思路如下：首先明确题中等量关系：长方形的周长等于铁丝总长度60m；其次根据“长比宽多10m”的数量关系，设长为未知数，用含未知数的式子表示宽；最后代入长方形周长公式列方程，求解即可得到长的数值。
【解析】
解：设长方形的长为$ x \, \mathrm{m} $，则宽为$ (x-10) \, \mathrm{m} $。
根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，已知周长为60m，列方程得：
$ 2[x + (x-10)] = 60 $
化简方程：
$ 2(2x - 10) = 60 $
两边同时除以2：
$ 2x - 10 = 30 $
移项计算得：
$ 2x = 40 $
解得：$ x = 20 $
【答案】
20
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形周长计算
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题关键是找准周长的等量关系，结合长和宽的差设未知数列方程求解，熟练掌握基础几何公式和列方程解应用题的基本步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器,内部底面积分别为80cm²、100cm²,且甲、乙容器等高,甲容器装满水,乙容器是空的。若将甲中的水全部倒入乙中,乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm,则甲的容积为
3200
cm³。答案
6. 3200
解析
【分析】
这是一道等积变形类的应用题，解题核心是抓住水的体积始终不变这个等量关系。首先我们可以设甲容器的高度为未知数，分别表示出甲容器中水的体积，和倒入乙容器后水的高度，再根据“乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm”这一条件列出一元一次方程，求解出甲的高度后，再用圆柱体积公式计算甲的容积即可。
【解析】
设甲容器的高度为$ h $ $ \mathrm{cm} $，即甲容器装满水时的水位高度为$ h $ $ \mathrm{cm} $。
根据水的体积不变，可得：
甲容器中水的体积为$ 80h $ $ \mathrm{cm}^3 $，
将水全部倒入乙容器后，乙容器内水位高度为$ \frac{80h}{100} $ $ \mathrm{cm} $。
由题意列方程：
$ h - \frac{80h}{100} = 8 $
化简得：$ 0.2h = 8 $
解得：$ h = 40 $
则甲的容积为：$ 80 × 40 = 3200 $ $ \mathrm{cm}^3 $
【答案】
3200
【知识点】
一元一次方程应用，圆柱体积计算，等积变形
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题的关键是找到水的体积不变这一隐含的等量关系，建立方程求解即可，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
这是一道等积变形类的应用题，解题核心是抓住水的体积始终不变这个等量关系。首先我们可以设甲容器的高度为未知数，分别表示出甲容器中水的体积，和倒入乙容器后水的高度，再根据“乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm”这一条件列出一元一次方程，求解出甲的高度后，再用圆柱体积公式计算甲的容积即可。
【解析】
设甲容器的高度为$ h $ $ \mathrm{cm} $，即甲容器装满水时的水位高度为$ h $ $ \mathrm{cm} $。
根据水的体积不变，可得：
甲容器中水的体积为$ 80h $ $ \mathrm{cm}^3 $，
将水全部倒入乙容器后，乙容器内水位高度为$ \frac{80h}{100} $ $ \mathrm{cm} $。
由题意列方程：
$ h - \frac{80h}{100} = 8 $
化简得：$ 0.2h = 8 $
解得：$ h = 40 $
则甲的容积为：$ 80 × 40 = 3200 $ $ \mathrm{cm}^3 $
【答案】
3200
【知识点】
一元一次方程应用，圆柱体积计算，等积变形
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题的关键是找到水的体积不变这一隐含的等量关系，建立方程求解即可，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
7. 如图，小明将一张正方形纸片剪去一条宽为4cm的长条后，又在剩下的长方形中剪去一个宽为5cm的长方形。若两次剪下的长条面积正好相等，则最后剩下的图形的面积为
240
cm²。答案
7. 240
解析
【分析】
这是一道结合面积计算的一元一次方程应用题，解题核心是利用“两次剪下的长条面积相等”的等量关系列方程。首先设原正方形的边长为未知数，分别明确两次剪下长条的长和宽，用含未知数的式子表示两个长条的面积，解方程求出边长后，即可计算剩余图形的面积。
【解析】
设原正方形纸片的边长为$ x $ cm。
1. 表示两次长条的面积：
第一次剪下的宽为4cm的长条，长等于正方形边长，面积为$ 4x $ $ \mathrm{cm}^2 $；
第一次剪完后剩余长方形的一边长为$ x $ cm，另一边长为$ x-4 $ cm，第二次剪下的宽为5cm的长条，长为$ x-4 $ cm，面积为$ 5(x-4) $ $ \mathrm{cm}^2 $。
2. 列方程求解：
根据两次长条面积相等，列方程：
$ 4x = 5(x-4) $
解方程：
$ 4x = 5x - 20 $
移项得：$ x = 20 $
即原正方形边长为20cm。
3. 计算剩余面积：
剩余图形为长方形，长为$ 20-4=16 $ cm，宽为$ 20-5=15 $ cm，面积为$ 16 × 15 = 240 $ $ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
240
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形面积计算
【点评】
本题将几何面积问题和方程应用结合，解题的关键是准确分析两次剪下长条的边长，找准等量关系列方程，是方程在几何问题中应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
这是一道结合面积计算的一元一次方程应用题，解题核心是利用“两次剪下的长条面积相等”的等量关系列方程。首先设原正方形的边长为未知数，分别明确两次剪下长条的长和宽，用含未知数的式子表示两个长条的面积，解方程求出边长后，即可计算剩余图形的面积。
【解析】
设原正方形纸片的边长为$ x $ cm。
1. 表示两次长条的面积：
第一次剪下的宽为4cm的长条，长等于正方形边长，面积为$ 4x $ $ \mathrm{cm}^2 $；
第一次剪完后剩余长方形的一边长为$ x $ cm，另一边长为$ x-4 $ cm，第二次剪下的宽为5cm的长条，长为$ x-4 $ cm，面积为$ 5(x-4) $ $ \mathrm{cm}^2 $。
2. 列方程求解：
根据两次长条面积相等，列方程：
$ 4x = 5(x-4) $
解方程：
$ 4x = 5x - 20 $
移项得：$ x = 20 $
即原正方形边长为20cm。
3. 计算剩余面积：
剩余图形为长方形，长为$ 20-4=16 $ cm，宽为$ 20-5=15 $ cm，面积为$ 16 × 15 = 240 $ $ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
240
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形面积计算
【点评】
本题将几何面积问题和方程应用结合，解题的关键是准确分析两次剪下长条的边长，找准等量关系列方程，是方程在几何问题中应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图,一个盛有水的圆柱体玻璃容器的底面半径为10cm,容器内水面的高度为12cm,把一根足够长的半径为2cm的玻璃棒垂直插入水中后,容器内的水面将升高
0.5
cm。(圆柱的体积=底面积×高)答案
8. 0.5
解析
【分析】
这是一道等体积变形的一元一次方程应用题，解题核心是抓住“玻璃棒插入前后，容器内水的总体积不变”这一关键等量关系。首先根据圆柱体积公式计算原有水的体积，插入玻璃棒后，水的有效底面积变为容器底面积减去玻璃棒的底面积，此时水面总高度为原高度加升高的高度，根据体积相等列方程即可求解。
【解析】
设容器内的水面将升高$ x $ cm。
根据圆柱体积公式$ V=S_{\mathrm{底}} × h $，插入玻璃棒前水的体积为：$ π × 10^2 × 12 $
插入玻璃棒后，水的有效底面积为容器底面积减去玻璃棒的底面积，即$ π × 10^2 - π × 2^2 $，此时水面总高度为$ (12+x) $ cm，水的体积为：$ (π × 10^2 - π × 2^2) × (12+x) $
由前后水的体积相等，列方程：
$π × 10^2 × 12 = (π × 10^2 - π × 2^2) × (12+x)$
两边同时约去$ π $，化简得：
$1200 = 96(12+x)$
解得：$ x=0.5 $
【答案】
0.5
【知识点】
一元一次方程的应用，圆柱体积计算，等体积变形
【点评】
本题考查利用方程解决几何实际问题，解题关键是找准不变量建立等量关系，需要注意插入玻璃棒后水的底面积会发生变化，整体计算难度较低，属于常见的应用题题型。
【难度系数】
0.7
这是一道等体积变形的一元一次方程应用题，解题核心是抓住“玻璃棒插入前后，容器内水的总体积不变”这一关键等量关系。首先根据圆柱体积公式计算原有水的体积，插入玻璃棒后，水的有效底面积变为容器底面积减去玻璃棒的底面积，此时水面总高度为原高度加升高的高度，根据体积相等列方程即可求解。
【解析】
设容器内的水面将升高$ x $ cm。
根据圆柱体积公式$ V=S_{\mathrm{底}} × h $，插入玻璃棒前水的体积为：$ π × 10^2 × 12 $
插入玻璃棒后，水的有效底面积为容器底面积减去玻璃棒的底面积，即$ π × 10^2 - π × 2^2 $，此时水面总高度为$ (12+x) $ cm，水的体积为：$ (π × 10^2 - π × 2^2) × (12+x) $
由前后水的体积相等，列方程：
$π × 10^2 × 12 = (π × 10^2 - π × 2^2) × (12+x)$
两边同时约去$ π $，化简得：
$1200 = 96(12+x)$
解得：$ x=0.5 $
【答案】
0.5
【知识点】
一元一次方程的应用，圆柱体积计算，等体积变形
【点评】
本题考查利用方程解决几何实际问题，解题关键是找准不变量建立等量关系，需要注意插入玻璃棒后水的底面积会发生变化，整体计算难度较低，属于常见的应用题题型。
【难度系数】
0.7
