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9. 如图,用长为18m的篱笆靠墙(墙无限长)围成一块长方形的空地用于绿化,且平行于墙的一边为长。
(1)若长方形的长比宽多1.5m,此时长方形的长、宽各是多少?
(2)若在长方形与墙平行的一边开一个宽为1m的门(用其他材料),使长方形的长比宽多4m,此时所围成的长方形的面积是多少?
(1)若长方形的长比宽多1.5m,此时长方形的长、宽各是多少?
(2)若在长方形与墙平行的一边开一个宽为1m的门(用其他材料),使长方形的长比宽多4m,此时所围成的长方形的面积是多少?
答案
9. (1)设长方形的宽为$x$m,则长为$(x+1.5)$m。根据题意,得$(x+1.5)+2x=18$,解得$x=5.5$。所以$x+1.5=5.5+1.5=7$。答:此时长方形的长为7m,宽为5.5m。
(2)设长方形的宽为$y$m,则长为$(y+4)$m。根据题意,得$(y+4)+2y=18+1$,解得$y=5$。所以$y+4=5+4=9$,$5×9=45(\mathrm{m}^2)$。答:此时所围成的长方形的面积是$45\mathrm{m}^2$。
(2)设长方形的宽为$y$m,则长为$(y+4)$m。根据题意,得$(y+4)+2y=18+1$,解得$y=5$。所以$y+4=5+4=9$,$5×9=45(\mathrm{m}^2)$。答:此时所围成的长方形的面积是$45\mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
本题是利用一元一次方程解决实际生活中的围篱笆问题，解题的核心是先明确篱笆的组成：因为靠墙一侧为长方形的长，所以篱笆仅需围1条长和2条宽。(1)问中已知长和宽的数量关系，设宽为未知数，根据“长+2×宽=篱笆总长18m”列方程求解即可；(2)问中长侧有1m宽的门，门不需要用篱笆，因此等效于可用的总长度增加了1m，即等量关系变为“长+2×宽=篱笆总长+门宽1m”，先求出长宽后再计算面积即可。
【解析】
(1) 设长方形的宽为$x$ m，则长为$(x+1.5)$ m。
根据题意列方程：
$x+1.5 + 2x = 18$
合并同类项得：$3x + 1.5 = 18$
移项计算得：$3x = 16.5$，解得$x = 5.5$
则长为 $x + 1.5 = 5.5 + 1.5 = 7$（m）
(2) 设长方形的宽为$y$ m，则长为$(y+4)$ m。
因为长侧有1m宽的门不需要篱笆，因此列方程：
$y + 4 + 2y = 18 + 1$
合并同类项得：$3y + 4 = 19$
移项计算得：$3y = 15$，解得$y = 5$
则长为 $y + 4 = 5 + 4 = 9$（m）
长方形面积为 $5 × 9 = 45$（$\mathrm{m}^2$）
【答案】
(1) 长为7m，宽为5.5m；(2) 所围成的长方形的面积是$45\mathrm{m}^2$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 长方形周长计算
3. 长方形面积计算
【点评】
本题是生活中常见的围建类应用题，解题核心是准确分析篱笆所围的边数，找到长度的等量关系，第二问要特别注意门的存在会减少长所需的篱笆长度，审题时要留意这类隐含条件，正确列方程是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是利用一元一次方程解决实际生活中的围篱笆问题，解题的核心是先明确篱笆的组成：因为靠墙一侧为长方形的长，所以篱笆仅需围1条长和2条宽。(1)问中已知长和宽的数量关系，设宽为未知数，根据“长+2×宽=篱笆总长18m”列方程求解即可；(2)问中长侧有1m宽的门，门不需要用篱笆，因此等效于可用的总长度增加了1m，即等量关系变为“长+2×宽=篱笆总长+门宽1m”，先求出长宽后再计算面积即可。
【解析】
(1) 设长方形的宽为$x$ m，则长为$(x+1.5)$ m。
根据题意列方程：
$x+1.5 + 2x = 18$
合并同类项得：$3x + 1.5 = 18$
移项计算得：$3x = 16.5$，解得$x = 5.5$
则长为 $x + 1.5 = 5.5 + 1.5 = 7$（m）
(2) 设长方形的宽为$y$ m，则长为$(y+4)$ m。
因为长侧有1m宽的门不需要篱笆，因此列方程：
$y + 4 + 2y = 18 + 1$
合并同类项得：$3y + 4 = 19$
移项计算得：$3y = 15$，解得$y = 5$
则长为 $y + 4 = 5 + 4 = 9$（m）
长方形面积为 $5 × 9 = 45$（$\mathrm{m}^2$）
【答案】
(1) 长为7m，宽为5.5m；(2) 所围成的长方形的面积是$45\mathrm{m}^2$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 长方形周长计算
3. 长方形面积计算
【点评】
本题是生活中常见的围建类应用题，解题核心是准确分析篱笆所围的边数，找到长度的等量关系，第二问要特别注意门的存在会减少长所需的篱笆长度，审题时要留意这类隐含条件，正确列方程是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 图1为一正面白色、反面灰色的长方形纸片。今沿虚线剪下分成甲、乙两长方形纸片，并将甲纸片反面朝上粘贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图2所示。若图2中白色与灰色区域的面积比为$3:1$，图2纸片的面积为36，则图1纸片的面积为
45
。答案
10. 45
解析
【分析】
解题时先梳理各面积的对应关系：首先甲纸片反面朝上粘贴后，灰色区域的面积等于甲的面积；其次甲粘贴在乙上未超出乙的范围，因此图2的总面积等于乙纸片的面积。我们可以先根据图2的总面积和白灰面积比，通过设未知数列方程求出甲的面积，再将甲、乙面积相加得到图1的总面积。
【解析】
解：设灰色区域（即甲纸片）的面积为$x$，
因为图2中白色与灰色区域的面积比为$3:1$，所以白色区域面积为$3x$。
根据图2总面积为36，可列方程：
$x + 3x = 36$
合并同类项得：$4x = 36$
解得：$x = 9$，即甲纸片的面积为9。
由题意可知乙纸片的面积等于图2的面积，即$S_乙=36$。
因此图1纸片的面积为甲、乙面积之和：$9 + 36 = 45$。
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程的应用，比的应用，面积计算
【点评】
本题侧重考查对图形面积关系的理解，解题核心是找准灰色面积与甲面积、图2面积与乙面积的对应关系，结合比例或一元一次方程即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理各面积的对应关系：首先甲纸片反面朝上粘贴后，灰色区域的面积等于甲的面积；其次甲粘贴在乙上未超出乙的范围，因此图2的总面积等于乙纸片的面积。我们可以先根据图2的总面积和白灰面积比，通过设未知数列方程求出甲的面积，再将甲、乙面积相加得到图1的总面积。
【解析】
解：设灰色区域（即甲纸片）的面积为$x$，
因为图2中白色与灰色区域的面积比为$3:1$，所以白色区域面积为$3x$。
根据图2总面积为36，可列方程：
$x + 3x = 36$
合并同类项得：$4x = 36$
解得：$x = 9$，即甲纸片的面积为9。
由题意可知乙纸片的面积等于图2的面积，即$S_乙=36$。
因此图1纸片的面积为甲、乙面积之和：$9 + 36 = 45$。
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程的应用，比的应用，面积计算
【点评】
本题侧重考查对图形面积关系的理解，解题核心是找准灰色面积与甲面积、图2面积与乙面积的对应关系，结合比例或一元一次方程即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
11. 校园进行改造，决定将一块长方形场地ABCD设计成学生农场，AB为15m，AD为17m。根据农作物的种植需要，场地中设计一条垂直于AB且宽度为am的道路（此时AE=BF），场地右侧再设计一条垂直于BC且宽度为2m的道路，将场地分割出可用于农场实践的甲、乙、丙三个长方形区域。
(1)用关于a的代数式表示甲区域的边AE的长。
(2)用关于a的代数式表示用于农场实践的三个区域的总面积。
(3)设乙区域的边BH的长度为bm，要求满足以下所有条件：
①用于农场实践总面积为整个场地的80%；
②甲、乙区域的面积之和恰好是丙区域的3倍。
请直接写出符合条件的a,b的值。
(1)用关于a的代数式表示甲区域的边AE的长。
(2)用关于a的代数式表示用于农场实践的三个区域的总面积。
(3)设乙区域的边BH的长度为bm，要求满足以下所有条件：
①用于农场实践总面积为整个场地的80%；
②甲、乙区域的面积之和恰好是丙区域的3倍。
请直接写出符合条件的a,b的值。
答案
11. (1)由题知,因为$AB=15\mathrm{m}$,$EF=a\mathrm{m}$,且$AE=BF$,所以$AE=\frac{15-a}{2}(\mathrm{m})$。
(2)由题知,三个区域的总面积可表示为$17(15-a)-2×\frac{15-a}{2}=(240-16a)\mathrm{m}^2$。
(3)由题知,$240-16a=80\%×15×17$,解得$a=\frac{9}{4}$,所以$BF=AE=\frac{15-\frac{9}{4}}{2}=\frac{51}{8}(\mathrm{m})$,所以$S_\mathrm{甲}=17×\frac{51}{8}=\frac{867}{8}(\mathrm{m}^2)$。由甲、乙区域的面积之和恰好是丙区域的3倍,得$\frac{867}{8}+\frac{51}{8}b=3×\frac{51}{8}×(15-b)$,解得$b=7$,所以$a$的值为$\frac{9}{4}$,$b$的值为7。
(2)由题知,三个区域的总面积可表示为$17(15-a)-2×\frac{15-a}{2}=(240-16a)\mathrm{m}^2$。
(3)由题知,$240-16a=80\%×15×17$,解得$a=\frac{9}{4}$,所以$BF=AE=\frac{15-\frac{9}{4}}{2}=\frac{51}{8}(\mathrm{m})$,所以$S_\mathrm{甲}=17×\frac{51}{8}=\frac{867}{8}(\mathrm{m}^2)$。由甲、乙区域的面积之和恰好是丙区域的3倍,得$\frac{867}{8}+\frac{51}{8}b=3×\frac{51}{8}×(15-b)$,解得$b=7$,所以$a$的值为$\frac{9}{4}$,$b$的值为7。
解析
【分析】
(1) 要求AE的长度，已知AB总长为15m，中间垂直于AB的道路宽为a m，且AE=BF，因此AB长度减去道路宽度后剩余的长度就是AE与BF的和，二者相等，除以2即可得到AE的长度。
(2) 求三个农场区域的总面积，可先计算去掉中间竖直道路后剩余区域的面积，再减去右侧水平道路的面积即可，注意水平道路仅在右侧BF宽度范围内，不要多减左侧甲区域对应的部分。
(3) 先根据“农场实践总面积为整个场地的80%”列一元一次方程求出a的值，再计算出BF的长度，最后结合“甲、乙区域面积之和是丙区域的3倍”列方程求解b的值即可。
【解析】
(1) 由题意可知AB=15m，中间竖直道路EF=a m，且AE=BF，
∴ $AE+BF=AB-EF=15-a$，
∴ $AE=\frac{15-a}{2}\ \mathrm{m}$。
(2) 去掉竖直道路后，剩余区域的长为17m，宽为$(15-a)\mathrm{m}$，面积为$17(15-a)\ \mathrm{m}^2$；
右侧水平道路宽2m，长为$BF=\frac{15-a}{2}\ \mathrm{m}$，面积为$2×\frac{15-a}{2}=(15-a)\ \mathrm{m}^2$；
因此三个农场区域的总面积为：
$17(15-a)-(15-a)=(240-16a)\ \mathrm{m}^2$。
(3) 整个长方形场地面积为$15×17=255\ \mathrm{m}^2$，
根据总面积为场地的80%，列方程：
$240-16a=255×80\%$
解得$a=\frac{9}{4}$。
此时$BF=AE=\frac{15-\frac{9}{4}}{2}=\frac{51}{8}\ \mathrm{m}$，
甲区域面积$S_甲=17×\frac{51}{8}=\frac{867}{8}\ \mathrm{m}^2$，
乙区域面积$S_乙=\frac{51}{8}b\ \mathrm{m}^2$，
丙区域的高为$17-b-2=15-b$，面积$S_丙=\frac{51}{8}×(15-b)\ \mathrm{m}^2$。
根据甲、乙面积和是丙的3倍，列方程：
$\frac{867}{8}+\frac{51}{8}b=3×\frac{51}{8}×(15-b)$
两边同乘8消去分母，解得$b=7$。
【答案】
(1) $AE=\frac{15-a}{2}\ \mathrm{m}$
(2) 总面积为$(240-16a)\ \mathrm{m}^2$
(3) $a=\frac{9}{4}$，$b=7$
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；长方形面积计算
【点评】
本题结合实际生活场景命题，解题的关键是准确梳理图形中各线段的长度关系，正确表示各区域的面积，计算时注意不要重复减去道路面积，列方程时要找准等量关系。
【难度系数】
0.6
(1) 要求AE的长度，已知AB总长为15m，中间垂直于AB的道路宽为a m，且AE=BF，因此AB长度减去道路宽度后剩余的长度就是AE与BF的和，二者相等，除以2即可得到AE的长度。
(2) 求三个农场区域的总面积，可先计算去掉中间竖直道路后剩余区域的面积，再减去右侧水平道路的面积即可，注意水平道路仅在右侧BF宽度范围内，不要多减左侧甲区域对应的部分。
(3) 先根据“农场实践总面积为整个场地的80%”列一元一次方程求出a的值，再计算出BF的长度，最后结合“甲、乙区域面积之和是丙区域的3倍”列方程求解b的值即可。
【解析】
(1) 由题意可知AB=15m，中间竖直道路EF=a m，且AE=BF，
∴ $AE+BF=AB-EF=15-a$，
∴ $AE=\frac{15-a}{2}\ \mathrm{m}$。
(2) 去掉竖直道路后，剩余区域的长为17m，宽为$(15-a)\mathrm{m}$，面积为$17(15-a)\ \mathrm{m}^2$；
右侧水平道路宽2m，长为$BF=\frac{15-a}{2}\ \mathrm{m}$，面积为$2×\frac{15-a}{2}=(15-a)\ \mathrm{m}^2$；
因此三个农场区域的总面积为：
$17(15-a)-(15-a)=(240-16a)\ \mathrm{m}^2$。
(3) 整个长方形场地面积为$15×17=255\ \mathrm{m}^2$，
根据总面积为场地的80%，列方程：
$240-16a=255×80\%$
解得$a=\frac{9}{4}$。
此时$BF=AE=\frac{15-\frac{9}{4}}{2}=\frac{51}{8}\ \mathrm{m}$，
甲区域面积$S_甲=17×\frac{51}{8}=\frac{867}{8}\ \mathrm{m}^2$，
乙区域面积$S_乙=\frac{51}{8}b\ \mathrm{m}^2$，
丙区域的高为$17-b-2=15-b$，面积$S_丙=\frac{51}{8}×(15-b)\ \mathrm{m}^2$。
根据甲、乙面积和是丙的3倍，列方程：
$\frac{867}{8}+\frac{51}{8}b=3×\frac{51}{8}×(15-b)$
两边同乘8消去分母，解得$b=7$。
【答案】
(1) $AE=\frac{15-a}{2}\ \mathrm{m}$
(2) 总面积为$(240-16a)\ \mathrm{m}^2$
(3) $a=\frac{9}{4}$，$b=7$
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；长方形面积计算
【点评】
本题结合实际生活场景命题，解题的关键是准确梳理图形中各线段的长度关系，正确表示各区域的面积，计算时注意不要重复减去道路面积，列方程时要找准等量关系。
【难度系数】
0.6
