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8. 现从小欣作业中摘抄了下面两题的解题过程：
计算：(1) $24 ÷ ( \frac{1}{3} - \frac{1}{8} - \frac{1}{6} )$； (2) $(-2) ÷ ( -\frac{1}{4} ) ÷ ( -\frac{1}{4} )$.
解：(1) 原式$=24 ÷ \frac{1}{3} -24 ÷ \frac{1}{8} -24 ÷ \frac{1}{6}=72 -192 -144=-264$.
(2) 原式$=(-2) ÷1=-2$.
以上解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答.
计算：(1) $24 ÷ ( \frac{1}{3} - \frac{1}{8} - \frac{1}{6} )$； (2) $(-2) ÷ ( -\frac{1}{4} ) ÷ ( -\frac{1}{4} )$.
解：(1) 原式$=24 ÷ \frac{1}{3} -24 ÷ \frac{1}{8} -24 ÷ \frac{1}{6}=72 -192 -144=-264$.
(2) 原式$=(-2) ÷1=-2$.
以上解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答.
答案
均不正确 （1）应为：$24÷\dfrac{1}{24}=576$ （2）应为：$8÷(-\dfrac{1}{4})=-32$
解析
【分析】
首先判断两处解题的错误点：第(1)题误用运算律，除法没有分配律，不能将被除数分别除以括号内的每一项，正确思路是先计算括号内的分数减法，再计算括号外的除法；第(2)题运算顺序错误，乘除是同级运算，需从左到右依次计算，不能先算后两个数的除法，正确思路是按从左到右顺序，将除法转化为乘法逐步计算。
【解析】
两道题的解答过程均不正确，正确解答如下：
(1) 先通分计算括号内的运算：
$\frac{1}{3}-\frac{1}{8}-\frac{1}{6}=\frac{8}{24}-\frac{3}{24}-\frac{4}{24}=\frac{1}{24}$
再计算除法：
$24÷\frac{1}{24}=24×24=576$
(2) 按从左到右的顺序依次计算：
$(-2)÷(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})$
$=(-2)×(-4)÷(-\frac{1}{4})$
$=8÷(-\frac{1}{4})$
$=8×(-4)=-32$
【答案】
均不正确 （1）应为：$24÷\dfrac{1}{24}=576$ （2）应为：$8÷(-\dfrac{1}{4})=-32$
【知识点】
有理数除法法则、四则混合运算顺序、运算律适用范围
【点评】
本题是有理数除法的常见易错题，需注意除法没有分配律，不要随意将乘法分配律套用在除法运算中；同时同级运算要严格遵循从左到右的规则计算，避免因运算顺序错误出错。
【难度系数】
0.7
首先判断两处解题的错误点：第(1)题误用运算律，除法没有分配律，不能将被除数分别除以括号内的每一项，正确思路是先计算括号内的分数减法，再计算括号外的除法；第(2)题运算顺序错误，乘除是同级运算，需从左到右依次计算，不能先算后两个数的除法，正确思路是按从左到右顺序，将除法转化为乘法逐步计算。
【解析】
两道题的解答过程均不正确，正确解答如下：
(1) 先通分计算括号内的运算：
$\frac{1}{3}-\frac{1}{8}-\frac{1}{6}=\frac{8}{24}-\frac{3}{24}-\frac{4}{24}=\frac{1}{24}$
再计算除法：
$24÷\frac{1}{24}=24×24=576$
(2) 按从左到右的顺序依次计算：
$(-2)÷(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})$
$=(-2)×(-4)÷(-\frac{1}{4})$
$=8÷(-\frac{1}{4})$
$=8×(-4)=-32$
【答案】
均不正确 （1）应为：$24÷\dfrac{1}{24}=576$ （2）应为：$8÷(-\dfrac{1}{4})=-32$
【知识点】
有理数除法法则、四则混合运算顺序、运算律适用范围
【点评】
本题是有理数除法的常见易错题，需注意除法没有分配律，不要随意将乘法分配律套用在除法运算中；同时同级运算要严格遵循从左到右的规则计算，避免因运算顺序错误出错。
【难度系数】
0.7
9. 用常规方法计算$\frac{1}{60}÷(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3})$时比较麻烦. 聪聪想了一个办法: 先将该式的除式与被除式颠倒位置, 算出$(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3})÷\frac{1}{60}=(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3})×60=23$后, 再利用倒数关系求出原式的值$\frac{1}{60}÷(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3})=\frac{1}{23}$. 你认为聪聪的解法正确吗? 若正确, 请用这种方法计算: $(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})$.
答案
聪聪的解法正确 $-\dfrac{1}{10}$
解析
【分析】
聪聪解法的依据是倒数的性质：当被除数、除数均不为0时，两个数的商与将被除数、除数颠倒位置后的商互为倒数，因此该解法是正确的。计算目标式子时，我们可以仿照这个方法，先颠倒被除式和除式的位置，把除法转化为乘法后利用乘法分配律简化计算，再对所得结果取倒数，即可得到原式的值，能避免直接通分计算的繁琐。
【解析】
解：聪聪的解法正确，理由是：非零的两个数相除，交换被除数与除数的位置后，所得的商与原商互为倒数。
计算$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})$：
1. 先交换被除式和除式的位置，计算新的算式：
$\begin{aligned}&(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})\\=&(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)\\=&\frac{2}{3}×(-30) - \frac{1}{10}×(-30) + \frac{1}{6}×(-30) - \frac{2}{5}×(-30)\\=&-20 + 3 - 5 + 12\\=&-10\end{aligned}$
2. 根据倒数关系，原式的值为上述结果的倒数：
$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})=\frac{1}{-10}=-\frac{1}{10}$
【答案】
聪聪的解法正确，计算结果为$-\dfrac{1}{10}$
【知识点】
倒数的性质，有理数除法，乘法分配律
【点评】
“倒数法”是有理数简便运算的常用技巧，适合除式为多个有理数和差形式的除法运算，可大幅降低通分计算的复杂度。使用时要注意：交换除式和被除式得到的结果需取倒数才是原式的结果，运算过程中要格外注意符号的处理。
【难度系数】
0.7
聪聪解法的依据是倒数的性质：当被除数、除数均不为0时，两个数的商与将被除数、除数颠倒位置后的商互为倒数，因此该解法是正确的。计算目标式子时，我们可以仿照这个方法，先颠倒被除式和除式的位置，把除法转化为乘法后利用乘法分配律简化计算，再对所得结果取倒数，即可得到原式的值，能避免直接通分计算的繁琐。
【解析】
解：聪聪的解法正确，理由是：非零的两个数相除，交换被除数与除数的位置后，所得的商与原商互为倒数。
计算$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})$：
1. 先交换被除式和除式的位置，计算新的算式：
$\begin{aligned}&(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})\\=&(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)\\=&\frac{2}{3}×(-30) - \frac{1}{10}×(-30) + \frac{1}{6}×(-30) - \frac{2}{5}×(-30)\\=&-20 + 3 - 5 + 12\\=&-10\end{aligned}$
2. 根据倒数关系，原式的值为上述结果的倒数：
$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})=\frac{1}{-10}=-\frac{1}{10}$
【答案】
聪聪的解法正确，计算结果为$-\dfrac{1}{10}$
【知识点】
倒数的性质，有理数除法，乘法分配律
【点评】
“倒数法”是有理数简便运算的常用技巧，适合除式为多个有理数和差形式的除法运算，可大幅降低通分计算的复杂度。使用时要注意：交换除式和被除式得到的结果需取倒数才是原式的结果，运算过程中要格外注意符号的处理。
【难度系数】
0.7
