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7.(1)如图1，$△ ABC$的边$BC$上有一点$D$，连接$AD$，$△ ABD$与$△ ADC$的面积之比为$1:2$，求$BD:CD$；
(2)如图2，在一块四边形的土地上均匀地种植玉米(单位面积上的玉米产量都相同).对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，收割时$△ DOC$区域的玉米产量为$12\ \mathrm{t}$，$△ COB$区域的玉米产量为$18\ \mathrm{t}$，$△ AOB$区域的玉米产量为$21\ \mathrm{t}$.请估计出$△ AOD$区域的玉米产量.
(2)如图2，在一块四边形的土地上均匀地种植玉米(单位面积上的玉米产量都相同).对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，收割时$△ DOC$区域的玉米产量为$12\ \mathrm{t}$，$△ COB$区域的玉米产量为$18\ \mathrm{t}$，$△ AOB$区域的玉米产量为$21\ \mathrm{t}$.请估计出$△ AOD$区域的玉米产量.
答案
7.(1)因为$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{1}{2}$,
所以$BD:CD=1:2$.
(2)设$△ AOD$区域的玉米产量为$x\ \mathrm{t}$.
因为$\dfrac{S_{△ DOC}}{S_{△ COB}}=\dfrac{OD}{OB}$,$\dfrac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}}=\dfrac{OD}{OB}$,
所以$\dfrac{12}{18}=\dfrac{x}{21}$,解得$x=14$.
答:估计$△ AOD$区域的玉米产量为$14\ \mathrm{t}$.
所以$BD:CD=1:2$.
(2)设$△ AOD$区域的玉米产量为$x\ \mathrm{t}$.
因为$\dfrac{S_{△ DOC}}{S_{△ COB}}=\dfrac{OD}{OB}$,$\dfrac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}}=\dfrac{OD}{OB}$,
所以$\dfrac{12}{18}=\dfrac{x}{21}$,解得$x=14$.
答:估计$△ AOD$区域的玉米产量为$14\ \mathrm{t}$.
解析
【分析】
(1) 要计算$BD:CD$，观察$△ ABD$和$△ ADC$，两个三角形有公共的高（即点A到边BC的垂线段长度），根据三角形面积公式，高相等时面积之比等于对应底边长的比，结合已知面积比即可直接得到底的比值。
(2) 土地上玉米均匀种植，单位面积产量相同，因此各区域玉米产量之比等于对应区域的面积之比。首先$△ DOC$和$△ COB$同高（公共高为点C到BD的垂线段），面积比等于$OD:OB$；$△ AOD$和$△ AOB$也同高（公共高为点A到BD的垂线段），面积比也等于$OD:OB$，因此两个比值相等，据此列比例方程即可求出$△ AOD$区域的产量。
【解析】
(1) $△ ABD$和$△ ADC$共享点A到BC边的高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，高相等时面积比等于底的比，因此：
$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{1}{2}$，
得$BD:CD=1:2$。
(2) 设$△ AOD$区域的玉米产量为$x\ \mathrm{t}$。
单位面积玉米产量相同，因此各区域产量比等于对应面积比。
$△ DOC$和$△ COB$共享点C到BD的高，故$\dfrac{S_{△ DOC}}{S_{△ COB}}=\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{12}{18}$；
$△ AOD$和$△ AOB$共享点A到BD的高，故$\dfrac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}}=\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{x}{21}$；
联立得比例式：$\dfrac{12}{18}=\dfrac{x}{21}$，
解得$x=\dfrac{12×21}{18}=14$。
【答案】
(1) $BD:CD=1:2$；(2) $△ AOD$区域的玉米产量为$\boxed{14\ \mathrm{t}}$
【知识点】
同高三角形面积比性质，比例基本性质，面积法应用
【点评】
本题侧重考查同高三角形的面积与底的比例关系的应用，第一问是基础性质的直接应用，第二问结合实际场景，需要先将产量比转化为面积比，再利用公共比例关系建立方程求解，解题核心是准确找到共高的三角形，理清各量的比例关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要计算$BD:CD$，观察$△ ABD$和$△ ADC$，两个三角形有公共的高（即点A到边BC的垂线段长度），根据三角形面积公式，高相等时面积之比等于对应底边长的比，结合已知面积比即可直接得到底的比值。
(2) 土地上玉米均匀种植，单位面积产量相同，因此各区域玉米产量之比等于对应区域的面积之比。首先$△ DOC$和$△ COB$同高（公共高为点C到BD的垂线段），面积比等于$OD:OB$；$△ AOD$和$△ AOB$也同高（公共高为点A到BD的垂线段），面积比也等于$OD:OB$，因此两个比值相等，据此列比例方程即可求出$△ AOD$区域的产量。
【解析】
(1) $△ ABD$和$△ ADC$共享点A到BC边的高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，高相等时面积比等于底的比，因此：
$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{1}{2}$，
得$BD:CD=1:2$。
(2) 设$△ AOD$区域的玉米产量为$x\ \mathrm{t}$。
单位面积玉米产量相同，因此各区域产量比等于对应面积比。
$△ DOC$和$△ COB$共享点C到BD的高，故$\dfrac{S_{△ DOC}}{S_{△ COB}}=\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{12}{18}$；
$△ AOD$和$△ AOB$共享点A到BD的高，故$\dfrac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}}=\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{x}{21}$；
联立得比例式：$\dfrac{12}{18}=\dfrac{x}{21}$，
解得$x=\dfrac{12×21}{18}=14$。
【答案】
(1) $BD:CD=1:2$；(2) $△ AOD$区域的玉米产量为$\boxed{14\ \mathrm{t}}$
【知识点】
同高三角形面积比性质，比例基本性质，面积法应用
【点评】
本题侧重考查同高三角形的面积与底的比例关系的应用，第一问是基础性质的直接应用，第二问结合实际场景，需要先将产量比转化为面积比，再利用公共比例关系建立方程求解，解题核心是准确找到共高的三角形，理清各量的比例关系。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在△ABC中，AB=10 cm，AC=6 cm，点D在BC边上，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。若DE=2 cm，△ABC的面积为28 cm²，则DF的长为
6
cm.答案
8.6
解析
【分析】
本题可采用面积法求解，观察图形可知点D在BC上，因此△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积之和。我们可以分别写出两个小三角形的面积表达式，结合已知的总面积、AB、AC、DE的长度，建立关于DF的方程，求解即可得到DF的长度。
【解析】
连接AD，由图形可得：
$ S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ACD} $
根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2} × 底 × 高 $，代入已知条件：
$ S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE $，$ S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF $
将AB=10cm，DE=2cm，AC=6cm，$ S_{△ ABC}=28cm^2 $代入得：
$ \frac{1}{2} × 10 × 2 + \frac{1}{2} × 6 × DF = 28 $
计算得：$ 10 + 3DF = 28 $
移项解得：$ 3DF = 18 $，$ DF=6 $
【答案】
6
【知识点】
三角形面积计算，面积法应用，面积和差关系
【点评】
本题是面积法的典型应用，通过分割大三角形为两个小三角形，利用面积和建立等量关系求解线段长度，避开了复杂的几何证明，简化了解题过程，该技巧在几何计算中十分常用。
【难度系数】
0.7
本题可采用面积法求解，观察图形可知点D在BC上，因此△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积之和。我们可以分别写出两个小三角形的面积表达式，结合已知的总面积、AB、AC、DE的长度，建立关于DF的方程，求解即可得到DF的长度。
【解析】
连接AD，由图形可得：
$ S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ACD} $
根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2} × 底 × 高 $，代入已知条件：
$ S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE $，$ S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF $
将AB=10cm，DE=2cm，AC=6cm，$ S_{△ ABC}=28cm^2 $代入得：
$ \frac{1}{2} × 10 × 2 + \frac{1}{2} × 6 × DF = 28 $
计算得：$ 10 + 3DF = 28 $
移项解得：$ 3DF = 18 $，$ DF=6 $
【答案】
6
【知识点】
三角形面积计算，面积法应用，面积和差关系
【点评】
本题是面积法的典型应用，通过分割大三角形为两个小三角形，利用面积和建立等量关系求解线段长度，避开了复杂的几何证明，简化了解题过程，该技巧在几何计算中十分常用。
【难度系数】
0.7
9.如图,在$△ ABP$中,C,D分别是PB,PA上任意的两个点,连接AC,BD,M,N分别是AC,BD的中点.若$S_{四边形ABCD}=2024$,则$S_{△ PMN}=$
506
.答案
9.506
解析
【分析】
本题属于面积法应用类题型，解题核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分为面积相等的两个部分。首先可以将四边形ABCD的面积转化为△PAB与△PCD的面积差，再结合M、N是中点的条件，通过等积变换推导△PMN的面积与四边形ABCD面积的数量关系，进而计算结果。
【解析】
根据三角形中线平分三角形面积的性质推导：
1. 对于△PAC，M是AC中点，因此$S_{△PAM}=S_{△PCM}=\frac{1}{2}S_{△PAC}$；同理N是BD中点，可得$S_{△PND}=S_{△PBN}=\frac{1}{2}S_{△PBD}$。
2. 四边形ABCD的面积可表示为$S_{四边形ABCD}=S_{△PAB}-S_{△PCD}=2024$，结合中点的等积性质可证得$S_{△PMN}=\frac{1}{4}(S_{△PAB}-S_{△PCD})$。
3. 代入数值计算：$S_{△PMN}=\frac{1}{4}×2024=506$。
【答案】
506
【知识点】
三角形中线的性质，等积变换，面积和差计算
【点评】
本题重点考查面积法中等积变换的应用，解题关键是抓住“中点”这一条件，利用中线平分面积的性质建立所求图形和已知图形的面积关系，掌握中点相关的面积规律可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6
本题属于面积法应用类题型，解题核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分为面积相等的两个部分。首先可以将四边形ABCD的面积转化为△PAB与△PCD的面积差，再结合M、N是中点的条件，通过等积变换推导△PMN的面积与四边形ABCD面积的数量关系，进而计算结果。
【解析】
根据三角形中线平分三角形面积的性质推导：
1. 对于△PAC，M是AC中点，因此$S_{△PAM}=S_{△PCM}=\frac{1}{2}S_{△PAC}$；同理N是BD中点，可得$S_{△PND}=S_{△PBN}=\frac{1}{2}S_{△PBD}$。
2. 四边形ABCD的面积可表示为$S_{四边形ABCD}=S_{△PAB}-S_{△PCD}=2024$，结合中点的等积性质可证得$S_{△PMN}=\frac{1}{4}(S_{△PAB}-S_{△PCD})$。
3. 代入数值计算：$S_{△PMN}=\frac{1}{4}×2024=506$。
【答案】
506
【知识点】
三角形中线的性质，等积变换，面积和差计算
【点评】
本题重点考查面积法中等积变换的应用，解题关键是抓住“中点”这一条件，利用中线平分面积的性质建立所求图形和已知图形的面积关系，掌握中点相关的面积规律可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6
10. 已知$△ ABC$的面积是60，请回答下列问题：
(1)如图1，若AD是$△ ABC$的边BC上的中线，则$S_{△ ABD}$
(2)如图2，若CD，BE分别是$△ ABC$的边AB，AC上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由$AD=DB$，得$S_{△ ADO}=S_{△ BDO}$，同理$S_{△ CEO}=S_{△ AEO}$.设$S_{△ ADO}=x,S_{△ CEO}=y$，则$S_{△ BDO}=x,S_{△ AEO}=y$.由题意，得$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=30,S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=30$，可列方程组$\begin{cases}2x+y=30, \\x+2y=30,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=10, \\y=10,\end{cases}$通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为 ______ .
(3)如图3，$AD:DB=1:3,CE:AE=1:2$，请你计算四边形ADOE的面积.
(1)如图1，若AD是$△ ABC$的边BC上的中线，则$S_{△ ABD}$
=
$S_{△ ACD}$.(填“＞”“＜”或“=”)(2)如图2，若CD，BE分别是$△ ABC$的边AB，AC上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由$AD=DB$，得$S_{△ ADO}=S_{△ BDO}$，同理$S_{△ CEO}=S_{△ AEO}$.设$S_{△ ADO}=x,S_{△ CEO}=y$，则$S_{△ BDO}=x,S_{△ AEO}=y$.由题意，得$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=30,S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=30$，可列方程组$\begin{cases}2x+y=30, \\x+2y=30,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=10, \\y=10,\end{cases}$通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为 ______ .
(3)如图3，$AD:DB=1:3,CE:AE=1:2$，请你计算四边形ADOE的面积.
答案
10.(1)=
(2)20
(3)连接AO.因为$AD:DB=1:3$,
所以$S_{△ ADO}=\dfrac{1}{3}S_{△ BDO}$.
因为$CE:AE=1:2$,所以$S_{△ CEO}=\dfrac{1}{2}S_{△ AEO}$.
设$S_{△ ADO}=x$,$S_{△ CEO}=y$,则$S_{△ BDO}=3x$,$S_{△ AEO}=2y$.
由题意,得$S_{△ ABE}=\dfrac{2}{3}S_{△ ABC}=40$,$S_{△ ADC}=\dfrac{1}{4}S_{△ ABC}=15$,
可列方程组$\begin{cases} x+3y=15,\\4x+2y=40, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=9,\\y=2, \end{cases}$
所以$S_{四边形ADOE}=S_{△ ADO}+S_{△ AEO}=x+2y=13$.
(2)20
(3)连接AO.因为$AD:DB=1:3$,
所以$S_{△ ADO}=\dfrac{1}{3}S_{△ BDO}$.
因为$CE:AE=1:2$,所以$S_{△ CEO}=\dfrac{1}{2}S_{△ AEO}$.
设$S_{△ ADO}=x$,$S_{△ CEO}=y$,则$S_{△ BDO}=3x$,$S_{△ AEO}=2y$.
由题意,得$S_{△ ABE}=\dfrac{2}{3}S_{△ ABC}=40$,$S_{△ ADC}=\dfrac{1}{4}S_{△ ABC}=15$,
可列方程组$\begin{cases} x+3y=15,\\4x+2y=40, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=9,\\y=2, \end{cases}$
所以$S_{四边形ADOE}=S_{△ ADO}+S_{△ AEO}=x+2y=13$.
解析
【分析】
(1) 判断两个三角形面积关系可结合面积公式分析：AD是BC中线，得BD=DC，△ABD和△ACD同以A到BC的垂线段为高，等底同高的三角形面积相等，因此二者面积相等。
(2) 四边形ADOE由△ADO和△AEO组成，已知$S_{△ADO}=x=10$，$S_{△AEO}=y=10$，直接求和即可得到四边形面积。
(3) 模仿第二问的思路：首先连接AO，根据线段比例结合“同高三角形面积比等于底之比”，得到△ADO与△BDO、△CEO与△AEO的面积关系，设未知数表示各部分面积；再根据线段比例求出△ABE和△ADC的总面积，以此为等量关系列二元一次方程组，解出未知数后求和即可得到四边形ADOE的面积。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴$BD=CD$，△ABD和△ACD底相等，高均为点A到BC的距离，由三角形面积公式可知$S_{△ABD}=S_{△ACD}$。
(2) 由题意得$S_{△ADO}=10$，$S_{△AEO}=10$，因此$S_{四边形ADOE}=S_{△ADO}+S_{△AEO}=10+10=20$。
(3) 连接AO，
∵$AD:DB=1:3$，△ADO和△BDO同高，
∴$S_{△ADO}:S_{△BDO}=AD:DB=1:3$，即$S_{△BDO}=3S_{△ADO}$，
∵$CE:AE=1:2$，△CEO和△AEO同高，
∴$S_{△CEO}:S_{△AEO}=CE:AE=1:2$，即$S_{△AEO}=2S_{△CEO}$，
设$S_{△ADO}=x$，$S_{△CEO}=y$，则$S_{△BDO}=3x$，$S_{△AEO}=2y$，
由题意得：$S_{△ABE}=\frac{2}{1+2}S_{△ABC}=\frac{2}{3}×60=40$，$S_{△ADC}=\frac{1}{1+3}S_{△ABC}=\frac{1}{4}×60=15$，
可列方程组$\begin{cases}x+3y=15, \\4x+2y=40, \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=9, \\y=2, \end{cases}$
因此$S_{四边形ADOE}=S_{△ADO}+S_{△AEO}=x+2y=9+2×2=13$。
【答案】
(1)$=$
(2)$20$
(3)$13$
【知识点】
1. 等底同高三角形面积相等
2. 同高三角形面积与底的比例关系
3. 二元一次方程组的应用
【点评】
本题是面积法求解几何问题的典型题型，核心是掌握三角形面积和底、高的比例关系，学会通过设未知数建立方程的方法，将不规则图形的面积问题转化为代数运算求解，能有效训练几何与代数结合的解题思维。
【难度系数】
0.65
(1) 判断两个三角形面积关系可结合面积公式分析：AD是BC中线，得BD=DC，△ABD和△ACD同以A到BC的垂线段为高，等底同高的三角形面积相等，因此二者面积相等。
(2) 四边形ADOE由△ADO和△AEO组成，已知$S_{△ADO}=x=10$，$S_{△AEO}=y=10$，直接求和即可得到四边形面积。
(3) 模仿第二问的思路：首先连接AO，根据线段比例结合“同高三角形面积比等于底之比”，得到△ADO与△BDO、△CEO与△AEO的面积关系，设未知数表示各部分面积；再根据线段比例求出△ABE和△ADC的总面积，以此为等量关系列二元一次方程组，解出未知数后求和即可得到四边形ADOE的面积。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴$BD=CD$，△ABD和△ACD底相等，高均为点A到BC的距离，由三角形面积公式可知$S_{△ABD}=S_{△ACD}$。
(2) 由题意得$S_{△ADO}=10$，$S_{△AEO}=10$，因此$S_{四边形ADOE}=S_{△ADO}+S_{△AEO}=10+10=20$。
(3) 连接AO，
∵$AD:DB=1:3$，△ADO和△BDO同高，
∴$S_{△ADO}:S_{△BDO}=AD:DB=1:3$，即$S_{△BDO}=3S_{△ADO}$，
∵$CE:AE=1:2$，△CEO和△AEO同高，
∴$S_{△CEO}:S_{△AEO}=CE:AE=1:2$，即$S_{△AEO}=2S_{△CEO}$，
设$S_{△ADO}=x$，$S_{△CEO}=y$，则$S_{△BDO}=3x$，$S_{△AEO}=2y$，
由题意得：$S_{△ABE}=\frac{2}{1+2}S_{△ABC}=\frac{2}{3}×60=40$，$S_{△ADC}=\frac{1}{1+3}S_{△ABC}=\frac{1}{4}×60=15$，
可列方程组$\begin{cases}x+3y=15, \\4x+2y=40, \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=9, \\y=2, \end{cases}$
因此$S_{四边形ADOE}=S_{△ADO}+S_{△AEO}=x+2y=9+2×2=13$。
【答案】
(1)$=$
(2)$20$
(3)$13$
【知识点】
1. 等底同高三角形面积相等
2. 同高三角形面积与底的比例关系
3. 二元一次方程组的应用
【点评】
本题是面积法求解几何问题的典型题型，核心是掌握三角形面积和底、高的比例关系，学会通过设未知数建立方程的方法，将不规则图形的面积问题转化为代数运算求解，能有效训练几何与代数结合的解题思维。
【难度系数】
0.65
