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1. 在温度不变的条件下,通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强,如下表,则可以反映$y$与$x$之间的关系的式子是 (
A.$y=3000x$
B.$y=6000x$
C.$y=\dfrac{3000}{x}$
D.$y=\dfrac{6000}{x}$
D
)A.$y=3000x$
B.$y=6000x$
C.$y=\dfrac{3000}{x}$
D.$y=\dfrac{6000}{x}$
答案
1.D
解析
【分析】
首先观察表格中体积x和压强y的变化规律：体积x逐渐减小的同时压强y逐渐增大，初步判断二者可能为反比例关系。接下来只需验证每组x和y的乘积是否为定值，若乘积固定即可确定为反比例函数，再代入数值求出比例系数，就能得到对应的函数表达式。
【解析】
我们依次计算每组x与y的乘积：
当$x=100$时，$y=60$，$xy=100×60=6000$；
当$x=80$时，$y=75$，$xy=80×75=6000$；
当$x=60$时，$y=100$，$xy=60×100=6000$；
剩余两组计算后乘积同样为6000，说明x与y的乘积为定值6000，即$xy=6000$。
将式子变形可得$y$与$x$的函数关系式为$y=\dfrac{6000}{x}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的判定；反比例函数解析式确定
【点评】
本题结合生活实际场景考查反比例函数的应用，解题核心是通过计算变量乘积判断反比例关系，进而求出解析式，属于基础类应用题，只要掌握反比例函数的基本特征就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先观察表格中体积x和压强y的变化规律：体积x逐渐减小的同时压强y逐渐增大，初步判断二者可能为反比例关系。接下来只需验证每组x和y的乘积是否为定值，若乘积固定即可确定为反比例函数，再代入数值求出比例系数，就能得到对应的函数表达式。
【解析】
我们依次计算每组x与y的乘积：
当$x=100$时，$y=60$，$xy=100×60=6000$；
当$x=80$时，$y=75$，$xy=80×75=6000$；
当$x=60$时，$y=100$，$xy=60×100=6000$；
剩余两组计算后乘积同样为6000，说明x与y的乘积为定值6000，即$xy=6000$。
将式子变形可得$y$与$x$的函数关系式为$y=\dfrac{6000}{x}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的判定；反比例函数解析式确定
【点评】
本题结合生活实际场景考查反比例函数的应用，解题核心是通过计算变量乘积判断反比例关系，进而求出解析式，属于基础类应用题，只要掌握反比例函数的基本特征就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
2. 某蓄水池的排水管的平均排水量为$8\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}$,6 h可以将满池水全部排空. 现在平均排水量为$Q\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}$,那么将满池水排空所需要的时间为t h,则时间t与Q之间的函数解析式为
$t=\dfrac{48}{Q}$
.答案
$t=\dfrac{48}{Q}$
解析
【分析】
解题的核心是抓住蓄水池总蓄水量固定这一不变量。首先根据已知的排水速度和排水时长计算出满池水的总容积，再结合“每小时排水量×排水时间=总蓄水量”的等量关系，代入变量Q和t后变形即可得到对应的函数解析式。
【解析】
步骤1：计算蓄水池的总蓄水量
已知排水量为$8\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}$时，6h可排空满池水，因此总蓄水量为：
$V=8 × 6 = 48\ \mathrm{m}^3$
步骤2：根据等量关系列函数式
根据排水问题的数量关系：$\mathrm{每小时排水量} × \mathrm{排水时间}=\mathrm{总蓄水量}$，代入变量Q、t得：
$Q · t = 48$
将等式变形为t关于Q的函数，可得：
$t=\dfrac{48}{Q}$（实际问题中$Q＞0$）
【答案】
$t=\dfrac{48}{Q}$
【知识点】
1. 反比例函数应用
2. 实际问题函数建模
【点评】
本题属于反比例函数应用的基础题，解题关键是找准实际问题中的不变量，结合常见的数量关系即可快速列出对应的函数解析式。
【难度系数】
0.9
解题的核心是抓住蓄水池总蓄水量固定这一不变量。首先根据已知的排水速度和排水时长计算出满池水的总容积，再结合“每小时排水量×排水时间=总蓄水量”的等量关系，代入变量Q和t后变形即可得到对应的函数解析式。
【解析】
步骤1：计算蓄水池的总蓄水量
已知排水量为$8\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}$时，6h可排空满池水，因此总蓄水量为：
$V=8 × 6 = 48\ \mathrm{m}^3$
步骤2：根据等量关系列函数式
根据排水问题的数量关系：$\mathrm{每小时排水量} × \mathrm{排水时间}=\mathrm{总蓄水量}$，代入变量Q、t得：
$Q · t = 48$
将等式变形为t关于Q的函数，可得：
$t=\dfrac{48}{Q}$（实际问题中$Q＞0$）
【答案】
$t=\dfrac{48}{Q}$
【知识点】
1. 反比例函数应用
2. 实际问题函数建模
【点评】
本题属于反比例函数应用的基础题，解题关键是找准实际问题中的不变量，结合常见的数量关系即可快速列出对应的函数解析式。
【难度系数】
0.9
3. 验光师测得的一组关于近视眼镜镜片的度数y(单位:度)与镜片的焦距x(单位:m)的数据,如下表：
则y关于x的函数解析式是
则y关于x的函数解析式是$y=\dfrac{100}{x}$
.答案
$y=\dfrac{100}{x}$
解析
【分析】
要确定y关于x的函数解析式，首先观察表格中x、y的对应值，先判断函数类型：分别计算每组x与y的乘积，发现乘积为恒定值，符合反比例函数“两个变量的乘积为非零常数”的特征，因此可设反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$，$x＞0$），再代入任意一组对应值求出常数k，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
1. 计算每一组x与y的乘积：
当$x=1.00\mathrm{m}$时，$y=100$度，$xy=1.00×100=100$；
当$x=0.50\mathrm{m}$时，$y=200$度，$xy=0.50×200=100$；
当$x=0.25\mathrm{m}$时，$y=400$度，$xy=0.25×400=100$；
当$x=0.20\mathrm{m}$时，$y=500$度，$xy=0.20×500=100$；
可得x与y的乘积为定值100，即$xy=100$。
2. 整理得到函数解析式：将$xy=100$变形为$y=\dfrac{100}{x}$，结合实际意义，镜片焦距$x＞0$，该解析式符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{y=\dfrac{100}{x}}$
【知识点】
反比例函数的概念，求反比例函数解析式
【点评】
本题结合生活实际考查函数解析式的求解，解题关键是通过表格数据发现两个变量的乘积为定值，从而判断为反比例函数进行求解，注重对基础概念和观察能力的考查。
【难度系数】
0.9
要确定y关于x的函数解析式，首先观察表格中x、y的对应值，先判断函数类型：分别计算每组x与y的乘积，发现乘积为恒定值，符合反比例函数“两个变量的乘积为非零常数”的特征，因此可设反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$，$x＞0$），再代入任意一组对应值求出常数k，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
1. 计算每一组x与y的乘积：
当$x=1.00\mathrm{m}$时，$y=100$度，$xy=1.00×100=100$；
当$x=0.50\mathrm{m}$时，$y=200$度，$xy=0.50×200=100$；
当$x=0.25\mathrm{m}$时，$y=400$度，$xy=0.25×400=100$；
当$x=0.20\mathrm{m}$时，$y=500$度，$xy=0.20×500=100$；
可得x与y的乘积为定值100，即$xy=100$。
2. 整理得到函数解析式：将$xy=100$变形为$y=\dfrac{100}{x}$，结合实际意义，镜片焦距$x＞0$，该解析式符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{y=\dfrac{100}{x}}$
【知识点】
反比例函数的概念，求反比例函数解析式
【点评】
本题结合生活实际考查函数解析式的求解，解题关键是通过表格数据发现两个变量的乘积为定值，从而判断为反比例函数进行求解，注重对基础概念和观察能力的考查。
【难度系数】
0.9
4. 已知圆柱的侧面积是$10π \ \mathrm{cm}^2$，若圆柱底面半径为$r \ \mathrm{cm}$，高为$h \ \mathrm{cm}$，则$h$与$r$的函数关系式是
$h=\dfrac{5}{r}(r＞0)$
。答案
$h=\dfrac{5}{r}(r＞0)$
解析
【分析】
解题时首先回忆圆柱侧面积的计算公式，将题目给出的侧面积已知量代入公式，再通过等式变形把h用含r的代数式表示，最后结合实际意义确定自变量r的取值范围即可得到函数关系式。
【解析】
根据圆柱侧面积公式可得：$S_{\mathrm{侧}}=2π rh$
已知侧面积为$10π \ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$2π r h = 10π$
等式两边同时除以$2π r$（$r＞0$，圆柱底面半径为正数），化简得：
$h=\frac{10π}{2π r}=\frac{5}{r}$
因此h与r的函数关系式为$h=\frac{5}{r}(r＞0)$
【答案】
$h=\dfrac{5}{r}(r＞0)$
【知识点】
圆柱侧面积计算、列函数关系式、自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题，结合几何图形性质考查函数关系式的建立，解题核心是熟练掌握圆柱侧面积公式，注意要结合实际意义明确自变量的取值范围，避免因漏写范围失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆柱侧面积的计算公式，将题目给出的侧面积已知量代入公式，再通过等式变形把h用含r的代数式表示，最后结合实际意义确定自变量r的取值范围即可得到函数关系式。
【解析】
根据圆柱侧面积公式可得：$S_{\mathrm{侧}}=2π rh$
已知侧面积为$10π \ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$2π r h = 10π$
等式两边同时除以$2π r$（$r＞0$，圆柱底面半径为正数），化简得：
$h=\frac{10π}{2π r}=\frac{5}{r}$
因此h与r的函数关系式为$h=\frac{5}{r}(r＞0)$
【答案】
$h=\dfrac{5}{r}(r＞0)$
【知识点】
圆柱侧面积计算、列函数关系式、自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题，结合几何图形性质考查函数关系式的建立，解题核心是熟练掌握圆柱侧面积公式，注意要结合实际意义明确自变量的取值范围，避免因漏写范围失分。
【难度系数】
0.8
5. 已知一菱形的面积为12 $\mathrm{cm}^2$,对角线长分别为$x$ cm和$y$ cm,则$y$与$x$的函数关系式为
$y=\dfrac{24}{x}$
.答案
$y=\dfrac{24}{x}$
解析
【分析】
解题首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半。已知菱形面积和两条对角线分别为x、y，我们可以先根据面积公式列出等式，再通过等式变形得到y关于x的函数关系式，注意对角线长度为正数，因此x的取值范围为x＞0，整理式子即可得到最终结果。
【解析】
根据菱形的面积公式可得：
$\mathrm{S}_{菱形}=\frac{1}{2}xy$
已知菱形面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，代入已知条件得：
$\frac{1}{2}xy=12$
等式两边同时乘2，得：
$xy=24$
将式子变形为用含x的代数式表示y，得：
$y=\frac{24}{x}\ (x＞0)$
【答案】
$y=\dfrac{24}{x}$
【知识点】
1. 菱形面积计算
2. 反比例函数解析式确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考察菱形面积公式的应用，以及根据等量关系建立函数模型的能力，解题时只要准确代入已知条件整理式子即可得出答案。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半。已知菱形面积和两条对角线分别为x、y，我们可以先根据面积公式列出等式，再通过等式变形得到y关于x的函数关系式，注意对角线长度为正数，因此x的取值范围为x＞0，整理式子即可得到最终结果。
【解析】
根据菱形的面积公式可得：
$\mathrm{S}_{菱形}=\frac{1}{2}xy$
已知菱形面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，代入已知条件得：
$\frac{1}{2}xy=12$
等式两边同时乘2，得：
$xy=24$
将式子变形为用含x的代数式表示y，得：
$y=\frac{24}{x}\ (x＞0)$
【答案】
$y=\dfrac{24}{x}$
【知识点】
1. 菱形面积计算
2. 反比例函数解析式确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考察菱形面积公式的应用，以及根据等量关系建立函数模型的能力，解题时只要准确代入已知条件整理式子即可得出答案。
【难度系数】
0.8
6. A,B两地之间的高速公路长为300 km,一辆小汽车从A地去B地,假设在途中是匀速直线运动,速度为v km/h,到达时所用的时间是t h,那么t是v的
反比例
函数,t可以写成v的函数关系式是$t=\dfrac{300}{v}$
.答案
反比例，$t=\dfrac{300}{v}$
解析
【分析】
解题时首先回忆行程问题的基本等量关系：路程=速度×时间，本题中A、B两地路程固定为300km，将已知量代入等量关系后变形得到t与v的关系式，再结合反比例函数的定义判断函数类型即可。
【解析】
根据行程问题的基本公式可得：路程$s=v· t$，已知两地路程$s=300\mathrm{km}$，代入得$300=vt$，变形可得$t=\dfrac{300}{v}$。
根据反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数，此处$k=300≠0$，符合反比例函数的形式，因此$t$是$v$的反比例函数。
【答案】
反比例，$t=\dfrac{300}{v}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 行程问题基本公式
3. 列函数关系式
【点评】
本题属于基础应用题，结合常见的行程场景，考查对反比例函数概念的识别和根据实际等量关系列函数表达式的能力，熟练掌握基础概念和公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆行程问题的基本等量关系：路程=速度×时间，本题中A、B两地路程固定为300km，将已知量代入等量关系后变形得到t与v的关系式，再结合反比例函数的定义判断函数类型即可。
【解析】
根据行程问题的基本公式可得：路程$s=v· t$，已知两地路程$s=300\mathrm{km}$，代入得$300=vt$，变形可得$t=\dfrac{300}{v}$。
根据反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数，此处$k=300≠0$，符合反比例函数的形式，因此$t$是$v$的反比例函数。
【答案】
反比例，$t=\dfrac{300}{v}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 行程问题基本公式
3. 列函数关系式
【点评】
本题属于基础应用题，结合常见的行程场景，考查对反比例函数概念的识别和根据实际等量关系列函数表达式的能力，熟练掌握基础概念和公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
7. 京沪高速公路全长约为1 262 km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行驶完全程所需的时间t(单位:h)与行驶的平均速度v(单位:km/h)之间的函数关系式是t= $\dfrac{1262}{v}$。
答案
$t=\dfrac{1262}{v}$
解析
【分析】
解题核心是利用行程问题中路程、速度、时间的基本数量关系推导函数式。首先明确本题中总路程是固定值1262km，我们只需要对“路程=速度×时间”的公式做变形，用含速度v的表达式表示时间t即可，同时要注意实际场景下速度v的取值必须大于0才有意义。
【解析】
根据行程问题的基本公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，即$s=vt$。
已知全程路程$s=1262\mathrm{km}$，代入公式可得：$1262=vt$。
将等式两边同时除以v（行驶的平均速度v在实际意义下满足$v＞0$），整理得：$t=\dfrac{1262}{v}$。
【答案】
$t=\dfrac{1262}{v}$
【知识点】
1. 行程问题数量关系
2. 反比例函数解析式确定
【点评】
本题是结合生活场景的基础题，考查函数关系式的建立，解题关键是熟练掌握行程三要素的运算关系，同时要注意实际问题中自变量的取值要符合现实逻辑。
【难度系数】
0.9
解题核心是利用行程问题中路程、速度、时间的基本数量关系推导函数式。首先明确本题中总路程是固定值1262km，我们只需要对“路程=速度×时间”的公式做变形，用含速度v的表达式表示时间t即可，同时要注意实际场景下速度v的取值必须大于0才有意义。
【解析】
根据行程问题的基本公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，即$s=vt$。
已知全程路程$s=1262\mathrm{km}$，代入公式可得：$1262=vt$。
将等式两边同时除以v（行驶的平均速度v在实际意义下满足$v＞0$），整理得：$t=\dfrac{1262}{v}$。
【答案】
$t=\dfrac{1262}{v}$
【知识点】
1. 行程问题数量关系
2. 反比例函数解析式确定
【点评】
本题是结合生活场景的基础题，考查函数关系式的建立，解题关键是熟练掌握行程三要素的运算关系，同时要注意实际问题中自变量的取值要符合现实逻辑。
【难度系数】
0.9
8. 小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图①)，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动.
横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的坠石，且OB=1 m. 若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如下表：
点A与点O的距离 l/m 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小 F/N 300 200 150 120 a
(1)表格中a的值是
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系. 在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象.
(3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由.
横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的坠石，且OB=1 m. 若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如下表：
点A与点O的距离 l/m 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小 F/N 300 200 150 120 a
(1)表格中a的值是
100
.(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系. 在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象.
(3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由.
答案
(1) 根据表中数据,可发现l与F的乘积为定值300，
∴ 3a=300.
∴ a=100.
(2) 画出F与l的函数图象如图所示.
(3) 当OA的长增大时,拉力F减小.理由如下:
∵ F,l都是正数,
∴ 这条曲线是反比例函数的一支.
∵ Fl=300,
∴ $F=\dfrac{300}{l}$.
∵ k＞0,
∴ 在第一象限内,F随l的增大而减小,即当OA的长增大时,拉力F减小.
解析
【分析】
这道题需要结合数据规律和反比例函数的相关知识解答：
(1) 先观察表格中l和F的对应数值，计算二者的乘积，发现乘积为定值，由此得到l和F的数量关系，代入l=3即可求出a的值；
(2) 将表格中每一组l、F的数值作为点的横、纵坐标，在坐标系中描出对应点，再用平滑的曲线依次连接这些点即可得到函数图象；
(3) 由乘积为定值可推出F是l的反比例函数，结合反比例函数的增减性即可判断F随l的变化规律。
【解析】
(1) 计算表格中每组l与F的乘积：
$1×300=300$，$1.5×200=300$，$2×150=300$，$2.5×120=300$，可得$l· F=300$为定值。
当$l=3\mathrm{m}$时，代入得$3a=300$，解得$a=100$。
(2) 依次描出点$(1,300)$、$(1.5,200)$、$(2,150)$、$(2.5,120)$、$(3,100)$，再用平滑的曲线连接这些点，得到第一象限内的反比例函数图象。
(3) 由$l· F=300$，且$l＞0$，可得函数解析式为$F=\frac{300}{l}$，属于反比例函数，其中比例系数$k=300＞0$。
根据反比例函数的性质，当$k＞0$时，在第一象限内，函数值随自变量的增大而减小，因此当OA的长（即l）增大时，拉力F减小。
【答案】
(1) $\boxed{100}$
(2) 画出F与l的函数图象如图所示.
(3) 当OA的长增大时，拉力F减小。
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
本题以古代汲水工具为背景，将实际问题与反比例函数知识相结合，既考查了学生从数据中探究规律、建立函数模型的能力，又体现了数学知识在实际生活中的应用价值，难度适中，贴合学以致用的学习要求。
【难度系数】
0.7
这道题需要结合数据规律和反比例函数的相关知识解答：
(1) 先观察表格中l和F的对应数值，计算二者的乘积，发现乘积为定值，由此得到l和F的数量关系，代入l=3即可求出a的值；
(2) 将表格中每一组l、F的数值作为点的横、纵坐标，在坐标系中描出对应点，再用平滑的曲线依次连接这些点即可得到函数图象；
(3) 由乘积为定值可推出F是l的反比例函数，结合反比例函数的增减性即可判断F随l的变化规律。
【解析】
(1) 计算表格中每组l与F的乘积：
$1×300=300$，$1.5×200=300$，$2×150=300$，$2.5×120=300$，可得$l· F=300$为定值。
当$l=3\mathrm{m}$时，代入得$3a=300$，解得$a=100$。
(2) 依次描出点$(1,300)$、$(1.5,200)$、$(2,150)$、$(2.5,120)$、$(3,100)$，再用平滑的曲线连接这些点，得到第一象限内的反比例函数图象。
(3) 由$l· F=300$，且$l＞0$，可得函数解析式为$F=\frac{300}{l}$，属于反比例函数，其中比例系数$k=300＞0$。
根据反比例函数的性质，当$k＞0$时，在第一象限内，函数值随自变量的增大而减小，因此当OA的长（即l）增大时，拉力F减小。
【答案】
(1) $\boxed{100}$
(2) 画出F与l的函数图象如图所示.
(3) 当OA的长增大时，拉力F减小。
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
本题以古代汲水工具为背景，将实际问题与反比例函数知识相结合，既考查了学生从数据中探究规律、建立函数模型的能力，又体现了数学知识在实际生活中的应用价值，难度适中，贴合学以致用的学习要求。
【难度系数】
0.7
