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1. 下列从左到右的变形中是因式分解的有（
①$x^2 - y^2 -1=(x+y)(x-y)-1$；②$x^3 +x=x(x^2 +1)$；③$(x-y)^2=x^2 -2xy + y^2$；④$x^2 -9y^2=(x+3y)(x-3y)$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①$x^2 - y^2 -1=(x+y)(x-y)-1$；②$x^3 +x=x(x^2 +1)$；③$(x-y)^2=x^2 -2xy + y^2$；④$x^2 -9y^2=(x+3y)(x-3y)$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断变形是否为因式分解有两个关键要点：①变形的结果必须是几个整式的乘积形式，不能有加、减等多余的运算；②因式分解是整式乘法的逆运算，要和整式的乘法区分开。接下来我们逐个验证四个变形是否符合要求即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：将多项式转化为几个整式乘积的形式的变形是因式分解，我们对四个变形逐一判断：
1. 变形①：右边结果为$(x+y)(x-y)-1$，含有减法运算，不是几个整式的乘积形式，不属于因式分解；
2. 变形②：$x^3+x$变形为$x(x^2+1)$，是将多项式转化为两个整式$x$和$(x^2+1)$的乘积，属于因式分解；
3. 变形③：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$是将整式的积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
4. 变形④：$x^2-9y^2$变形为$(x+3y)(x-3y)$，是将多项式转化为两个整式$(x+3y)$和$(x-3y)$的乘积，属于因式分解。
综上，属于因式分解的是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确把握因式分解的特征，注意区分因式分解和整式乘法的变形方向，牢记结果必须为整式乘积的形式即可快速判断。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断变形是否为因式分解有两个关键要点：①变形的结果必须是几个整式的乘积形式，不能有加、减等多余的运算；②因式分解是整式乘法的逆运算，要和整式的乘法区分开。接下来我们逐个验证四个变形是否符合要求即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：将多项式转化为几个整式乘积的形式的变形是因式分解，我们对四个变形逐一判断：
1. 变形①：右边结果为$(x+y)(x-y)-1$，含有减法运算，不是几个整式的乘积形式，不属于因式分解；
2. 变形②：$x^3+x$变形为$x(x^2+1)$，是将多项式转化为两个整式$x$和$(x^2+1)$的乘积，属于因式分解；
3. 变形③：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$是将整式的积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
4. 变形④：$x^2-9y^2$变形为$(x+3y)(x-3y)$，是将多项式转化为两个整式$(x+3y)$和$(x-3y)$的乘积，属于因式分解。
综上，属于因式分解的是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确把握因式分解的特征，注意区分因式分解和整式乘法的变形方向，牢记结果必须为整式乘积的形式即可快速判断。
【难度系数】
0.8
2. 多项式$12x^4y^2 -8x^3y^3 +4x^2y$的公因式是（
A.$2x^2y$
B.$4x^2y$
C.$4x^3y$
D.$2x^3y^2$
B
）A.$2x^2y$
B.$4x^2y$
C.$4x^3y$
D.$2x^3y^2$
答案
B
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需按两个步骤思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，再取每个相同字母的最低次幂，最后将系数的最大公约数与相同字母的最低次幂组合，就是多项式的公因式。
【解析】
1. 求系数的最大公约数：多项式各项的系数为12、-8、4，三者的最大公约数是4；
2. 确定相同字母的最低次幂：
各项都含字母x，x的次数依次为4、3、2，最低次为2，即x²；
各项都含字母y，y的次数依次为2、3、1，最低次为1，即y；
3. 组合得公因式为$4x^2y$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定；提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的确定规则，掌握“系数取最大公约数，相同字母取最低次幂”的原则即可快速准确求解，是学习提公因式法分解因式的必备基础。
【难度系数】
0.8
要确定多项式的公因式，需按两个步骤思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，再取每个相同字母的最低次幂，最后将系数的最大公约数与相同字母的最低次幂组合，就是多项式的公因式。
【解析】
1. 求系数的最大公约数：多项式各项的系数为12、-8、4，三者的最大公约数是4；
2. 确定相同字母的最低次幂：
各项都含字母x，x的次数依次为4、3、2，最低次为2，即x²；
各项都含字母y，y的次数依次为2、3、1，最低次为1，即y；
3. 组合得公因式为$4x^2y$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定；提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的确定规则，掌握“系数取最大公约数，相同字母取最低次幂”的原则即可快速准确求解，是学习提公因式法分解因式的必备基础。
【难度系数】
0.8
3. 若二次三项式$x^2+ax-1$可分解为$(x-2)(x+b)$，则$a+b$的值为 （
A.1
B.-1
C.2
D.-2
B
）A.1
B.-1
C.2
D.-2
答案
B
解析
【分析】
解题时要明确因式分解与整式乘法是互逆运算，我们可以先将等式右侧的两个一次多项式相乘展开，再根据“两个多项式相等时，对应同类项的系数相等”列出关于a、b的等式，求出a、b的值后即可计算a+b的结果。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开等式右侧：
$\begin{aligned}(x-2)(x+b)&=x· x + x· b - 2· x - 2· b\\&=x^2 + (b-2)x - 2b\end{aligned}$
已知$x^2+ax-1=(x-2)(x+b)$，两个多项式相等时对应项系数相等：
1. 常数项对应相等：$-2b=-1$，解得$b=\frac{1}{2}$
2. 一次项系数对应相等：$a=b-2$，代入$b=\frac{1}{2}$得$a=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$
因此$a+b=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=-1$
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；多项式相等的条件；因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题核心是利用多项式相等时对应项系数相等建立方程求解，熟练掌握多项式乘法法则是解题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时要明确因式分解与整式乘法是互逆运算，我们可以先将等式右侧的两个一次多项式相乘展开，再根据“两个多项式相等时，对应同类项的系数相等”列出关于a、b的等式，求出a、b的值后即可计算a+b的结果。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开等式右侧：
$\begin{aligned}(x-2)(x+b)&=x· x + x· b - 2· x - 2· b\\&=x^2 + (b-2)x - 2b\end{aligned}$
已知$x^2+ax-1=(x-2)(x+b)$，两个多项式相等时对应项系数相等：
1. 常数项对应相等：$-2b=-1$，解得$b=\frac{1}{2}$
2. 一次项系数对应相等：$a=b-2$，代入$b=\frac{1}{2}$得$a=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$
因此$a+b=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=-1$
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；多项式相等的条件；因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题核心是利用多项式相等时对应项系数相等建立方程求解，熟练掌握多项式乘法法则是解题的基础。
【难度系数】
0.8
4. 把下列各式分解因式:
(1) $2a^2 - 2ab$;
(2) $(x+y)^2 - 3(x+y)$;
(3) $2a(y-z) + 3b(y-z)$;
(4) $2a(y-z) - 3b(z-y)$.
(1) $2a^2 - 2ab$;
(2) $(x+y)^2 - 3(x+y)$;
(3) $2a(y-z) + 3b(y-z)$;
(4) $2a(y-z) - 3b(z-y)$.
答案
(1)$2a(a-b)$
(2)$(x+y)(x+y-3)$
(3)$(y-z)(2a+3b)$
(4)$(y-z)(2a+3b)$
(2)$(x+y)(x+y-3)$
(3)$(y-z)(2a+3b)$
(4)$(y-z)(2a+3b)$
解析
【分析】
这四道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：①先确定多项式各项的公因式：若公因式是单项式，取系数的最大公约数、相同字母的最低次幂组合即可；若公因式是多项式，可将其看作整体识别；遇到互为相反数的因式，先统一为相同形式。②将公因式提取到括号外，作为积的一个因式。③用原多项式的每一项除以公因式，所得的结果依次写在括号内，合并为另一个因式。
【解析】
(1) 多项式$2a^2 - 2ab$的公因式为$2a$，提取公因式得：
$2a^2 - 2ab = 2a·a - 2a·b = 2a(a - b)$
(2) 把$(x+y)$看作整体，公因式为$(x+y)$，提取公因式得：
$(x+y)^2 - 3(x+y) = (x+y)·(x+y) - (x+y)·3 = (x+y)(x+y - 3)$
(3) 把$(y-z)$看作整体，公因式为$(y-z)$，提取公因式得：
$2a(y-z) + 3b(y-z) = (y-z)·2a + (y-z)·3b = (y-z)(2a + 3b)$
(4) 先将$(z-y)$变形为$-(y-z)$，再提取公因式$(y-z)$：
$2a(y-z) - 3b(z-y) = 2a(y-z) + 3b(y-z) = (y-z)(2a + 3b)$
【答案】
(1)$2a(a-b)$
(2)$(x+y)(x+y-3)$
(3)$(y-z)(2a+3b)$
(4)$(y-z)(2a+3b)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，代数式符号变形
【点评】
这是提公因式法分解因式的基础训练题，覆盖了单项式公因式提取、多项式整体公因式提取、相反数因式变形三类常见考法，能有效巩固因式分解的基础操作方法，强化提取公因式的步骤意识。
【难度系数】
0.85
这四道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：①先确定多项式各项的公因式：若公因式是单项式，取系数的最大公约数、相同字母的最低次幂组合即可；若公因式是多项式，可将其看作整体识别；遇到互为相反数的因式，先统一为相同形式。②将公因式提取到括号外，作为积的一个因式。③用原多项式的每一项除以公因式，所得的结果依次写在括号内，合并为另一个因式。
【解析】
(1) 多项式$2a^2 - 2ab$的公因式为$2a$，提取公因式得：
$2a^2 - 2ab = 2a·a - 2a·b = 2a(a - b)$
(2) 把$(x+y)$看作整体，公因式为$(x+y)$，提取公因式得：
$(x+y)^2 - 3(x+y) = (x+y)·(x+y) - (x+y)·3 = (x+y)(x+y - 3)$
(3) 把$(y-z)$看作整体，公因式为$(y-z)$，提取公因式得：
$2a(y-z) + 3b(y-z) = (y-z)·2a + (y-z)·3b = (y-z)(2a + 3b)$
(4) 先将$(z-y)$变形为$-(y-z)$，再提取公因式$(y-z)$：
$2a(y-z) - 3b(z-y) = 2a(y-z) + 3b(y-z) = (y-z)(2a + 3b)$
【答案】
(1)$2a(a-b)$
(2)$(x+y)(x+y-3)$
(3)$(y-z)(2a+3b)$
(4)$(y-z)(2a+3b)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，代数式符号变形
【点评】
这是提公因式法分解因式的基础训练题，覆盖了单项式公因式提取、多项式整体公因式提取、相反数因式变形三类常见考法，能有效巩固因式分解的基础操作方法，强化提取公因式的步骤意识。
【难度系数】
0.85
5. (1)对于$m(a+b)\xrightleftharpoons[\mathrm{②}]{\mathrm{①}}ma+mb$，请在空白处填写“因式分解”或“整式乘法”：①
(2)若$m-n=3$，$mn=-2$，则$2m^2n-2mn^2+1$的值为
(3)邻边长为$a,b$的长方形，它的周长为10，面积为3，则$ab^2+a^2b$的值为
整式乘法
；②因式分解
.(2)若$m-n=3$，$mn=-2$，则$2m^2n-2mn^2+1$的值为
-11
；(3)邻边长为$a,b$的长方形，它的周长为10，面积为3，则$ab^2+a^2b$的值为
15
.答案
(1)①整式乘法 ②因式分解
(2)-11
(3)15
(2)-11
(3)15
解析
【分析】
1. 第(1)问：先明确整式乘法和因式分解的互逆关系：整式乘法是将几个整式的积转化为多项式的形式，因式分解是将多项式转化为几个整式的积的形式，据此判断两个方向的运算类型即可。
2. 第(2)问：观察所求代数式，前两项含有公因式2mn，先提公因式将式子变形为含有已知条件$m-n$、$mn$的形式，再整体代入数值计算即可。
3. 第(3)问：先根据长方形周长、面积公式求出$a+b$和$ab$的值，再对所求代数式提公因式$ab$，变形为含有$a+b$和$ab$的形式，整体代入计算即可。
【解析】
(1) ①的运算将乘积形式$m(a+b)$展开为多项式$ma+mb$，属于整式乘法；②的运算将多项式$ma+mb$变形为整式乘积$m(a+b)$的形式，属于因式分解。
(2) 对所求式子先提公因式：
$2m^2n-2mn^2+1=2mn(m-n)+1$
将$m-n=3$，$mn=-2$代入上式：
$2×(-2)×3+1=-12+1=-11$
(3) 根据题意：长方形周长为10，可得$2(a+b)=10$，即$a+b=5$；长方形面积为3，即$ab=3$。
对所求式子先提公因式：
$ab^2+a^2b=ab(a+b)$
将$ab=3$，$a+b=5$代入上式：
$3×5=15$
【答案】
(1)①整式乘法 ②因式分解
(2)-11
(3)15
【知识点】
因式分解的定义，提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题围绕因式分解的基础内容设置，既考查了整式乘法与因式分解的互逆关系，又考查了提公因式法在代数式化简求值中的应用，整体代入的思想可大幅简化计算，属于因式分解部分的基础常考题，需熟练掌握提公因式的方法。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：先明确整式乘法和因式分解的互逆关系：整式乘法是将几个整式的积转化为多项式的形式，因式分解是将多项式转化为几个整式的积的形式，据此判断两个方向的运算类型即可。
2. 第(2)问：观察所求代数式，前两项含有公因式2mn，先提公因式将式子变形为含有已知条件$m-n$、$mn$的形式，再整体代入数值计算即可。
3. 第(3)问：先根据长方形周长、面积公式求出$a+b$和$ab$的值，再对所求代数式提公因式$ab$，变形为含有$a+b$和$ab$的形式，整体代入计算即可。
【解析】
(1) ①的运算将乘积形式$m(a+b)$展开为多项式$ma+mb$，属于整式乘法；②的运算将多项式$ma+mb$变形为整式乘积$m(a+b)$的形式，属于因式分解。
(2) 对所求式子先提公因式：
$2m^2n-2mn^2+1=2mn(m-n)+1$
将$m-n=3$，$mn=-2$代入上式：
$2×(-2)×3+1=-12+1=-11$
(3) 根据题意：长方形周长为10，可得$2(a+b)=10$，即$a+b=5$；长方形面积为3，即$ab=3$。
对所求式子先提公因式：
$ab^2+a^2b=ab(a+b)$
将$ab=3$，$a+b=5$代入上式：
$3×5=15$
【答案】
(1)①整式乘法 ②因式分解
(2)-11
(3)15
【知识点】
因式分解的定义，提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题围绕因式分解的基础内容设置，既考查了整式乘法与因式分解的互逆关系，又考查了提公因式法在代数式化简求值中的应用，整体代入的思想可大幅简化计算，属于因式分解部分的基础常考题，需熟练掌握提公因式的方法。
【难度系数】
0.7
6. 计算：
(1) $48×56 + 24×88 - 12×24$;
(2) $15.6×(-3.7) + 15.6×(-6.3) + 15.6×10$.
(1) $48×56 + 24×88 - 12×24$;
(2) $15.6×(-3.7) + 15.6×(-6.3) + 15.6×10$.
答案
(1)4512
(2)0
(2)0
解析
【分析】
这两道题均可通过逆用乘法分配律（提公因式法）进行简便运算，无需逐项硬算。解题思路如下：(1)先观察三个乘积项的数字特征，48、24、12存在公共倍数关系，可将各项统一转化为含公因式24的形式，再提取公因式计算括号内的加减，最后算乘法即可；(2)三个乘积项都含公因式15.6，直接提取公因式后计算括号内的加减，再算乘法即可快速得到结果。
【解析】
(1) 先对第一项变形，统一公因式：
$48×56 + 24×88 - 12×24$
$=24×2×56 + 24×88 - 24×12$
$=24×112 + 24×88 - 24×12$
提取公因式24得：
$=24×(112+88-12)$
先计算括号内的运算：
$112+88-12=188$
再计算乘法：
$24×188=4512$
(2) 观察发现各项均含公因式15.6，直接提取：
$15.6×(-3.7) + 15.6×(-6.3) + 15.6×10$
$=15.6×[(-3.7)+(-6.3)+10]$
计算括号内的运算：
$(-3.7)+(-6.3)+10=-10+10=0$
再计算乘法：
$15.6×0=0$
【答案】
(1)4512；(2)0
【知识点】
提公因式法简便运算、乘法分配律逆用、有理数混合运算
【点评】
本题核心是利用提公因式简化有理数混合运算，解题关键是准确识别各项的公共因式，相比逐项运算能大幅降低计算量，减少出错概率，是简便运算的常用方法。
【难度系数】
0.8
这两道题均可通过逆用乘法分配律（提公因式法）进行简便运算，无需逐项硬算。解题思路如下：(1)先观察三个乘积项的数字特征，48、24、12存在公共倍数关系，可将各项统一转化为含公因式24的形式，再提取公因式计算括号内的加减，最后算乘法即可；(2)三个乘积项都含公因式15.6，直接提取公因式后计算括号内的加减，再算乘法即可快速得到结果。
【解析】
(1) 先对第一项变形，统一公因式：
$48×56 + 24×88 - 12×24$
$=24×2×56 + 24×88 - 24×12$
$=24×112 + 24×88 - 24×12$
提取公因式24得：
$=24×(112+88-12)$
先计算括号内的运算：
$112+88-12=188$
再计算乘法：
$24×188=4512$
(2) 观察发现各项均含公因式15.6，直接提取：
$15.6×(-3.7) + 15.6×(-6.3) + 15.6×10$
$=15.6×[(-3.7)+(-6.3)+10]$
计算括号内的运算：
$(-3.7)+(-6.3)+10=-10+10=0$
再计算乘法：
$15.6×0=0$
【答案】
(1)4512；(2)0
【知识点】
提公因式法简便运算、乘法分配律逆用、有理数混合运算
【点评】
本题核心是利用提公因式简化有理数混合运算，解题关键是准确识别各项的公共因式，相比逐项运算能大幅降低计算量，减少出错概率，是简便运算的常用方法。
【难度系数】
0.8
7. (1)已知$2x+y=4$，$xy=3$，求代数式$2x^2y+xy^2$的值.
(2)先化简，再求值：$(2x+1)^2 - (2x+1)(2x-1)$，其中$x=\dfrac{1}{2}$.
(2)先化简，再求值：$(2x+1)^2 - (2x+1)(2x-1)$，其中$x=\dfrac{1}{2}$.
答案
(1)$2x^2y+xy^2 = xy(2x+y) = 3×4 = 12$.
(2)原式$=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]$
$=(2x+1)(2x+1-2x+1)$
$=2(2x+1)$
$=4x+2$.
当$x=\dfrac{1}{2}$时，原式=4.
(2)原式$=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]$
$=(2x+1)(2x+1-2x+1)$
$=2(2x+1)$
$=4x+2$.
当$x=\dfrac{1}{2}$时，原式=4.
解析
【分析】
(1) 求解本题不需要先解方程组算出x、y的具体值，先观察所求代数式$2x^2y+xy^2$的结构，发现两项都含有公因式$xy$，提取公因式后剩余因式恰好是已知条件里的$2x+y$，直接整体代入已知数值就能快速算出结果。
(2) 观察待化简的式子，两项都含有公因式$(2x+1)$，优先提取公因式简化运算，比直接用完全平方公式、平方差公式展开计算更简便，化简为最简整式后，再代入$x=\frac{1}{2}$求值即可。
【解析】
(1) 对代数式提取公因式$xy$得：
$2x^2y+xy^2 = xy(2x+y)$
将$2x+y=4$，$xy=3$代入上式：
原式$=3×4=12$
(2) 先提取公因式$(2x+1)$：
原式$=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]$
去括号计算括号内的部分：
$=(2x+1)(2x+1-2x+1)$
$=(2x+1)×2$
$=4x+2$
将$x=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=4×\frac{1}{2}+2=2+2=4$
【答案】
(1) $\boxed{12}$；(2) 化简结果为$\boxed{4x+2}$，求值结果为$\boxed{4}$
【知识点】
提公因式法因式分解、代数式化简求值、整式运算
【点评】
这两道题是因式分解在代数式求值中的基础应用，通过观察代数式结构提取公因式变形，可避免复杂的运算，提升解题效率，解题时要注意提取公因式后剩余项的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
(1) 求解本题不需要先解方程组算出x、y的具体值，先观察所求代数式$2x^2y+xy^2$的结构，发现两项都含有公因式$xy$，提取公因式后剩余因式恰好是已知条件里的$2x+y$，直接整体代入已知数值就能快速算出结果。
(2) 观察待化简的式子，两项都含有公因式$(2x+1)$，优先提取公因式简化运算，比直接用完全平方公式、平方差公式展开计算更简便，化简为最简整式后，再代入$x=\frac{1}{2}$求值即可。
【解析】
(1) 对代数式提取公因式$xy$得：
$2x^2y+xy^2 = xy(2x+y)$
将$2x+y=4$，$xy=3$代入上式：
原式$=3×4=12$
(2) 先提取公因式$(2x+1)$：
原式$=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]$
去括号计算括号内的部分：
$=(2x+1)(2x+1-2x+1)$
$=(2x+1)×2$
$=4x+2$
将$x=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=4×\frac{1}{2}+2=2+2=4$
【答案】
(1) $\boxed{12}$；(2) 化简结果为$\boxed{4x+2}$，求值结果为$\boxed{4}$
【知识点】
提公因式法因式分解、代数式化简求值、整式运算
【点评】
这两道题是因式分解在代数式求值中的基础应用，通过观察代数式结构提取公因式变形，可避免复杂的运算，提升解题效率，解题时要注意提取公因式后剩余项的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
