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1. 如图，在同一平面内有 $ n $ 条直线，任意两条不平行，任意三条不共点。当 $ n = 1 $ 时，一条直线将一个平面分成 2 个部分；当 $ n = 2 $ 时，两条直线将一个平面分成 4 个部分；当 $ n = 3 $ 时，三条直线将一个平面分成 7 个部分；当 $ n = 4 $ 时，四条直线将一个平面分成 11 个部分……以此类推，若 $ (n-1) $ 条直线将一个平面分成 $ a_{n-1} $ 个部分，$ n $ 条直线将一个平面分成 $ a_n $ 个部分，则 $ a_{n-1} $，$ a_n $，$ n $ 之间的数量关系为
$a_n = a_{n-1} + n$
。答案
1. $a_n = a_{n-1} + n$
解析
【分析】
我们可以先从题目给出的特殊情况入手，先列出不同n对应的平面部分数，再对比相邻两项的差值与n的关系，再结合直线相交的特点验证规律：首先整理已知的n=1、2、3、4时的$a_n$值，计算$a_n$与$a_{n-1}$的差，会发现差值正好等于当前的n值；再从原理上理解，加入第n条直线时，因为任意两条直线不平行、任意三条不共点，所以第n条直线会和前n-1条直线都相交，被交点分成n段，每一段都会将一个原有平面区域分成2个，所以总共新增n个平面区域，即可得到三者的数量关系。
【解析】
首先整理题目给出的已知条件：
当n=1时，$a_1=2$；
当n=2时，$a_2=4$，此时$a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2 = n$；
当n=3时，$a_3=7$，此时$a_3 - a_2 = 7 - 4 = 3 = n$；
当n=4时，$a_4=11$，此时$a_4 - a_3 = 11 - 7 = 4 = n$；
结合直线分平面的规律：第n条直线与前n-1条直线全部相交，共产生n-1个交点，将第n条直线分割为n段，每段对应新增1个平面区域，因此新增n个区域，即$a_n = a_{n-1} + n$。
【答案】
$a_n = a_{n-1} + n$
【知识点】
图形规律探究，归纳推理，直线分平面
【点评】
本题属于规律探究类基础题，采用从特殊到一般的归纳思路，既可以通过数值差直接找规律，也可以结合直线相交的几何特点推导递推关系，能够锻炼观察分析和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
我们可以先从题目给出的特殊情况入手，先列出不同n对应的平面部分数，再对比相邻两项的差值与n的关系，再结合直线相交的特点验证规律：首先整理已知的n=1、2、3、4时的$a_n$值，计算$a_n$与$a_{n-1}$的差，会发现差值正好等于当前的n值；再从原理上理解，加入第n条直线时，因为任意两条直线不平行、任意三条不共点，所以第n条直线会和前n-1条直线都相交，被交点分成n段，每一段都会将一个原有平面区域分成2个，所以总共新增n个平面区域，即可得到三者的数量关系。
【解析】
首先整理题目给出的已知条件：
当n=1时，$a_1=2$；
当n=2时，$a_2=4$，此时$a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2 = n$；
当n=3时，$a_3=7$，此时$a_3 - a_2 = 7 - 4 = 3 = n$；
当n=4时，$a_4=11$，此时$a_4 - a_3 = 11 - 7 = 4 = n$；
结合直线分平面的规律：第n条直线与前n-1条直线全部相交，共产生n-1个交点，将第n条直线分割为n段，每段对应新增1个平面区域，因此新增n个区域，即$a_n = a_{n-1} + n$。
【答案】
$a_n = a_{n-1} + n$
【知识点】
图形规律探究，归纳推理，直线分平面
【点评】
本题属于规律探究类基础题，采用从特殊到一般的归纳思路，既可以通过数值差直接找规律，也可以结合直线相交的几何特点推导递推关系，能够锻炼观察分析和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
2. [生活常识]
根据光的反射定律可知，反射角等于入射角。如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2。
[特例感知]
如图2、图3、图4，有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD。
(1) 如图2，若OM⊥ON，试说明：AB//CD；
(2)如图3，光线AB与CD相交于点P，若∠MON=48°，求∠BPC的度数；
[拓展探究]
(3)如图4，光线AB与CD所在的直线相交于点P，∠MON=α，∠BPC=β，试猜想α与β之间满足的数量关系，并说明理由。
根据光的反射定律可知，反射角等于入射角。如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2。
[特例感知]
如图2、图3、图4，有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD。
(1) 如图2，若OM⊥ON，试说明：AB//CD；
(2)如图3，光线AB与CD相交于点P，若∠MON=48°，求∠BPC的度数；
[拓展探究]
(3)如图4，光线AB与CD所在的直线相交于点P，∠MON=α，∠BPC=β，试猜想α与β之间满足的数量关系，并说明理由。
答案
2. 解：(1)因为OM⊥ON，
所以∠MON=90°。
所以∠2+∠3=90°。
又因为∠1=∠2，∠3=∠4，
所以∠BCD+∠ABC=180°−∠3−∠4+180°−∠1−∠2=360°−2(∠2+∠3)=360°−2×90°=180°。
所以AB//CD。
(2)因为∠MON=48°，
所以∠2+∠3=132°。
由(1)可知，∠BCD+∠ABC=180°−∠3−∠4+180°−∠1−∠2=360°−2(∠2+∠3)=360°−2×132°=96°，
所以∠BPC=180°−(∠BCD+∠ABC)=180°−96°=84°。
(3)$β=2α$。理由略。
所以∠MON=90°。
所以∠2+∠3=90°。
又因为∠1=∠2，∠3=∠4，
所以∠BCD+∠ABC=180°−∠3−∠4+180°−∠1−∠2=360°−2(∠2+∠3)=360°−2×90°=180°。
所以AB//CD。
(2)因为∠MON=48°，
所以∠2+∠3=132°。
由(1)可知，∠BCD+∠ABC=180°−∠3−∠4+180°−∠1−∠2=360°−2(∠2+∠3)=360°−2×132°=96°，
所以∠BPC=180°−(∠BCD+∠ABC)=180°−96°=84°。
(3)$β=2α$。理由略。
解析
【分析】
（1）要证AB//CD，根据平行线判定定理，只需证明同旁内角∠ABC+∠BCD=180°。结合题目给出的光的反射定律可得∠1=∠2、∠3=∠4，再由OM⊥ON得∠2+∠3=90°，代入计算∠ABC与∠BCD的和即可得证。
（2）求∠BPC的度数，可先在△OBC中利用三角形内角和求出∠2+∠3的度数，再仿照（1）的方法求出∠ABC+∠BCD的和，最后在△BPC中利用三角形内角和定理计算即可。
（3）将（2）中∠MON的特殊度数替换为一般的α，沿用（2）的推导逻辑，即可归纳出α与β的数量关系。
【解析】
(1) 因为OM⊥ON，
所以∠MON=90°。
所以∠2+∠3=90°。
又因为∠1=∠2，∠3=∠4，
所以∠BCD+∠ABC=180°−∠3−∠4+180°−∠1−∠2=360°−2(∠2+∠3)=360°−2×90°=180°。
所以AB//CD。
(2) 因为∠MON=48°，
所以∠2+∠3=180°-48°=132°。
由(1)的推导可得，∠BCD+∠ABC=360°−2(∠2+∠3)=360°−2×132°=96°，
所以∠BPC=180°−(∠BCD+∠ABC)=180°−96°=84°。
(3) 猜想：$β=2α$。理由略。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $∠ BPC=84°$；
(3) $β=2α$。
【知识点】
光的反射定律；平行线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活中的光的反射现象设计问题，从特殊情况入手逐步拓展到一般规律，既考查了几何基础定理的应用，又锻炼了从特殊到一般的探究思维和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证AB//CD，根据平行线判定定理，只需证明同旁内角∠ABC+∠BCD=180°。结合题目给出的光的反射定律可得∠1=∠2、∠3=∠4，再由OM⊥ON得∠2+∠3=90°，代入计算∠ABC与∠BCD的和即可得证。
（2）求∠BPC的度数，可先在△OBC中利用三角形内角和求出∠2+∠3的度数，再仿照（1）的方法求出∠ABC+∠BCD的和，最后在△BPC中利用三角形内角和定理计算即可。
（3）将（2）中∠MON的特殊度数替换为一般的α，沿用（2）的推导逻辑，即可归纳出α与β的数量关系。
【解析】
(1) 因为OM⊥ON，
所以∠MON=90°。
所以∠2+∠3=90°。
又因为∠1=∠2，∠3=∠4，
所以∠BCD+∠ABC=180°−∠3−∠4+180°−∠1−∠2=360°−2(∠2+∠3)=360°−2×90°=180°。
所以AB//CD。
(2) 因为∠MON=48°，
所以∠2+∠3=180°-48°=132°。
由(1)的推导可得，∠BCD+∠ABC=360°−2(∠2+∠3)=360°−2×132°=96°，
所以∠BPC=180°−(∠BCD+∠ABC)=180°−96°=84°。
(3) 猜想：$β=2α$。理由略。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $∠ BPC=84°$；
(3) $β=2α$。
【知识点】
光的反射定律；平行线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活中的光的反射现象设计问题，从特殊情况入手逐步拓展到一般规律，既考查了几何基础定理的应用，又锻炼了从特殊到一般的探究思维和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
