5. 解下列方程：
(1) $\frac{1}{4}x = -\frac{1}{2}x + 3$；
(2) $\frac{2x - 1}{3} = 1 - \frac{x + 2}{4}$；
(3) $\frac{0.5x - 1}{0.2} - \frac{0.1x + 2}{0.3} = 1$；

(1) $x = 4$ (2) $x = \frac{10}{11}$ (3) $x = \frac{76}{13}$

【分析】
这三道题均为一元一次方程求解，通用解题逻辑为：先观察方程形式，若分母含小数则先利用分数基本性质将小数分母转化为整数，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，每一步运算需注意符号变化，去分母时常数项不要漏乘最小公倍数。
【解析】
(1) 解方程 $\frac{1}{4}x = -\frac{1}{2}x + 3$
移项，得：$\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}x = 3$
合并同类项，得：$\frac{3}{4}x = 3$
系数化为1，两边同时乘$\frac{4}{3}$，得：$x = 4$
(2) 解方程 $\frac{2x - 1}{3} = 1 - \frac{x + 2}{4}$
去分母，两边同时乘12，得：$4(2x - 1) = 12 - 3(x + 2)$
去括号，得：$8x - 4 = 12 - 3x - 6$
合并同类项，得：$8x - 4 = 6 - 3x$
移项，得：$8x + 3x = 6 + 4$
合并同类项，得：$11x = 10$
系数化为1，得：$x = \frac{10}{11}$
(3) 解方程 $\frac{0.5x - 1}{0.2} - \frac{0.1x + 2}{0.3} = 1$
利用分数基本性质将小数分母化为整数，得：$\frac{5x - 10}{2} - \frac{x + 20}{3} = 1$
去分母，两边同时乘6，得：$3(5x - 10) - 2(x + 20) = 6$
去括号，得：$15x - 30 - 2x - 40 = 6$
合并同类项，得：$13x - 70 = 6$
移项，得：$13x = 76$
系数化为1，得：$x = \frac{76}{13}$
【答案】
(1) $x=4$；(2) $x=\frac{10}{11}$；(3) $x=\frac{76}{13}$
【知识点】
解一元一次方程，等式的性质，分数的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础训练题，覆盖了普通系数、分数系数、小数分母三类常见一元一次方程形式，重点考查解方程的规范步骤，易错点为去分母时常数项漏乘公倍数、去括号时符号出错，熟练掌握步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

(4) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}x - 4) = 2.$

(4) $x = 6$

【分析】这是一道一元一次方程求解的题目，按照解一元一次方程的常规步骤思考即可：第一步先去掉式子中的括号，去括号时运用乘法分配律，注意不要漏乘括号内的项，同时注意符号变化；第二步合并同类项，把含x的项和常数项分别合并；第三步移项，把常数项移到等号的另一侧，注意移项要变号；最后将x的系数化为1，就能求出x的值。
【解析】
解：去括号，得
$\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}x - 2 = 2$
合并同类项，得
$\frac{2}{3}x - 2 = 2$
移项，得
$\frac{2}{3}x = 2 + 2$
计算得
$\frac{2}{3}x = 4$
系数化为1，两边同时乘$\frac{3}{2}$，得
$x = 4 × \frac{3}{2} = 6$
【答案】
$x=6$
【知识点】
解一元一次方程、去括号法则、移项
【点评】
本题考查解一元一次方程的基础运算，解题时遵循去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可，计算过程中注意不要漏乘括号内的项，移项时注意符号变化即可得分。
【难度系数】
0.8

6. 某学校在对口援助边远山区学校活动中,原计划赠书3 000册.由于学生的积极响应,实际赠书3 780册,其中初中部比原计划多赠了20％,高中部比原计划多赠了30％.问:该校初、高中部原计划各赠书多少册?

该校初、高中部原计划各赠书1 200册、1 800册.

【分析】
解题时先从题干中提取两个核心等量关系：①原计划初中赠书册数+原计划高中赠书册数=3000册；②初中实际赠书册数+高中实际赠书册数=3780册。因为是用一元一次方程求解，我们可以先设其中一个未知量为x，另一个未知量用含x的式子通过等量关系①表示出来，再代入等量关系②列出方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设初中部原计划赠书x册，则高中部原计划赠书$(3000 - x)$册。
根据实际赠书总量可列方程：
$(1+20\%)x + (1+30\%)(3000 - x) = 3780$
化简得：
$1.2x + 1.3(3000 - x) = 3780$
展开括号：
$1.2x + 3900 - 1.3x = 3780$
合并同类项：
$-0.1x = -120$
系数化为1：
$x = 1200$
则高中部原计划赠书：$3000 - 1200 = 1800$（册）
经检验，结果符合题意。
【答案】
该校初、高中部原计划各赠书1200册、1800册。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
3. 百分数的实际应用
【点评】
本题属于增长率类的实际应用题，解题的核心是准确找到题干中的等量关系，合理设未知数将实际问题转化为数学方程求解，计算时要注意百分数和小数的转化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7

7. 若整数 $ k $ 的值使关于 $ x $ 的方程 $\frac{x - 1}{2} = \frac{k}{3} + x$ 的解为整数，则称 $ k $ 为此方程的“联系系数”.
（1）判断 $ k = 3 $ 是否为方程 $\frac{x - 1}{2} = \frac{k}{3} + x$ 的“联系系数”，请说明理由.
（2）小明认为：方程 $\frac{x - 1}{2} = \frac{k}{3} + x$ 的“联系系数”的个数有限，你认为他的说法正确吗？请说明理由.

(1) 是,理由略
(2) 不正确,方程的解为 $x = \frac{- 3 - 2k}{3}$,当 $k$ 为整数,且 $- 3 - 2k$ 的值为 3 的倍数时,$x$ 的值也为整数. 即该方程的“关联系数”有无数个.

【分析】
（1）按照“联系系数”的定义，判断k=3是否符合的思路为：将k=3代入原方程，解出x的值，验证x是否为整数即可得出结论。
（2）要判断小明的说法是否正确，首先把k当作常数，解关于x的一元一次方程，用含k的代数式表示出x，再根据x为整数的条件，分析k的取值个数是否有限即可。
【解析】
（1）把$k=3$代入方程$\frac{x - 1}{2} = \frac{k}{3} + x$，得：
$\frac{x - 1}{2} = 1 + x$
去分母，两边同时乘2：$x - 1 = 2 + 2x$
移项合并同类项：$-x = 3$
系数化为1：$x = -3$
∵$x=-3$是整数，符合“联系系数”的定义，
∴$k=3$是该方程的“联系系数”。
（2）小明的说法不正确，理由如下：
解关于x的方程$\frac{x - 1}{2} = \frac{k}{3} + x$：
去分母，两边同时乘6：$3(x - 1) = 2k + 6x$
去括号：$3x - 3 = 2k + 6x$
移项合并同类项：$-3x = 2k + 3$
系数化为1：$x = \frac{-3 - 2k}{3}$
要使x为整数，需$-3 - 2k$是3的倍数，整数范围内满足该条件的k有无数个（如$k=0,\pm3,\pm6···$），因此该方程的“联系系数”有无数个，小明的说法错误。
【答案】
(1) 是，将$k=3$代入方程解得$x=-3$为整数，因此$k=3$是方程的“联系系数”
(2) 不正确，方程的解为 $x = \frac{- 3 - 2k}{3}$，当 $k$ 为整数，且 $- 3 - 2k$ 的值为 3 的倍数时，$x$ 的值也为整数，即该方程的“联系系数”有无数个。
【知识点】
解一元一次方程；新定义理解；整数解判定
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的求解与整数性质的应用，解题关键是准确理解新定义的含义，掌握含参数的一元一次方程的求解方法，能够根据解为整数的条件分析参数的取值特征。
【难度系数】
0.7