登录
7. 一个容量为240 L的太阳能热水器，每次排完水后才能再次蓄水，设在蓄满水后能连续排水的时间是y min，每分钟的排水量为x L.
（1）写出y与x的函数解析式；
（2）若该热水器连续排水的最长时间是1 h，求自变量x的取值范围；
（3）若每分钟排水5 L，则该热水器连续排水的时间是多少分钟？
（1）写出y与x的函数解析式；
（2）若该热水器连续排水的最长时间是1 h，求自变量x的取值范围；
（3）若每分钟排水5 L，则该热水器连续排水的时间是多少分钟？
答案
1. 根据题意，得y与x的函数解析式为$y=\frac{240}{x}(x＞0)$.
2.
∵该热水器连续排水的最长时间是1 h，
∴$0＜y≤60$.
∵函数$y=\frac{240}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，
∴当$y=60$时，x最小，最小值为$\frac{240}{60}=4$.
∴自变量x的取值范围为$x≥4$.
3. 当$x=5$时，$y=\frac{240}{5}=48$.
∴若每分钟排水5 L，则该热水器连续排水的时间是48 min.
2.
∵该热水器连续排水的最长时间是1 h，
∴$0＜y≤60$.
∵函数$y=\frac{240}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，
∴当$y=60$时，x最小，最小值为$\frac{240}{60}=4$.
∴自变量x的取值范围为$x≥4$.
3. 当$x=5$时，$y=\frac{240}{5}=48$.
∴若每分钟排水5 L，则该热水器连续排水的时间是48 min.
解析
【分析】
本题围绕太阳能热水器排水的实际场景考查反比例函数的应用，解题思路如下：（1）首先抓住“总容量=每分钟排水量×排水时间”的等量关系，变形即可得到y与x的函数解析式，注意自变量x是排水量，取值必须为正；（2）先将最长排水时间的单位换算为分钟，得到y的取值范围，再结合反比例函数在x＞0时y随x增大而减小的性质，即可求出x的最小值，进而得到x的取值范围；（3）将x=5直接代入已求出的函数解析式，计算即可得到对应的排水时间。
【解析】
（1）根据“总蓄水量=每分钟排水量×排水时间”，可得$xy=240$，整理得y与x的函数解析式为：$\boldsymbol{y=\frac{240}{x}(x＞0)}$。
（2）先统一单位，$1\ \mathrm{h}=60\ \mathrm{min}$，由连续排水最长时间为1h可得$0＜y≤60$。
∵反比例函数$y=\frac{240}{x}$在$x＞0$的范围内，y随x的增大而减小，
∴当y取最大值60时，x取得最小值，代入得$x=\frac{240}{60}=4$，
∴自变量x的取值范围为$\boldsymbol{x≥4}$。
（3）当每分钟排水量$x=5\ \mathrm{L}$时，代入函数解析式得：
$y=\frac{240}{5}=48$，
即连续排水的时间为48 min。
【答案】
（1）$y=\frac{240}{x}(x＞0)$；（2）$x≥4$；（3）$48\ \mathrm{min}$
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质；自变量取值范围求解
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，解题核心是抓住总容量不变的等量关系列出函数解析式，再结合反比例函数的增减性求解取值范围，代入法求函数值是基础运算，整体考查内容比较基础，容易掌握。
【难度系数】
0.8
本题围绕太阳能热水器排水的实际场景考查反比例函数的应用，解题思路如下：（1）首先抓住“总容量=每分钟排水量×排水时间”的等量关系，变形即可得到y与x的函数解析式，注意自变量x是排水量，取值必须为正；（2）先将最长排水时间的单位换算为分钟，得到y的取值范围，再结合反比例函数在x＞0时y随x增大而减小的性质，即可求出x的最小值，进而得到x的取值范围；（3）将x=5直接代入已求出的函数解析式，计算即可得到对应的排水时间。
【解析】
（1）根据“总蓄水量=每分钟排水量×排水时间”，可得$xy=240$，整理得y与x的函数解析式为：$\boldsymbol{y=\frac{240}{x}(x＞0)}$。
（2）先统一单位，$1\ \mathrm{h}=60\ \mathrm{min}$，由连续排水最长时间为1h可得$0＜y≤60$。
∵反比例函数$y=\frac{240}{x}$在$x＞0$的范围内，y随x的增大而减小，
∴当y取最大值60时，x取得最小值，代入得$x=\frac{240}{60}=4$，
∴自变量x的取值范围为$\boldsymbol{x≥4}$。
（3）当每分钟排水量$x=5\ \mathrm{L}$时，代入函数解析式得：
$y=\frac{240}{5}=48$，
即连续排水的时间为48 min。
【答案】
（1）$y=\frac{240}{x}(x＞0)$；（2）$x≥4$；（3）$48\ \mathrm{min}$
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质；自变量取值范围求解
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，解题核心是抓住总容量不变的等量关系列出函数解析式，再结合反比例函数的增减性求解取值范围，代入法求函数值是基础运算，整体考查内容比较基础，容易掌握。
【难度系数】
0.8
8. 为了解某一实际问题中变量$y(y＞0)$随变量$x(x＞0)$的变化情况，实验小组在一定条件下，通过一次又一次的实验，测出变量$x$，$y$在每一次实验后的一组对应数据，如表所示.
(1) 根据表中数据猜想变量$y(y＞0)$关于变量$x(x＞0)$的函数解析式；
(2) 当$x=110$时，估计$y$的值.（结果保留小数点后两位）
(1) 根据表中数据猜想变量$y(y＞0)$关于变量$x(x＞0)$的函数解析式；
(2) 当$x=110$时，估计$y$的值.（结果保留小数点后两位）
答案
1. 如图，可以选择反比例函数近似描述变量$y(y＞0)$与变量$x(x＞0)$之间的关系.
设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
根据题表中的数据分别求出k的值，列表如下：
| x | 100 | 90 | 80 | 70 | 60 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| y | 60 | 67 | 75 | 86 | 100 |
| k | 6 000 | 6 030 | 6 000 | 6 020 | 6 000 |
计算所有k值的平均值，得$k=\frac{1}{5}×(6\ 000+6\ 030+6\ 000+6\ 020+6\ 000)=6\ 010$.
把平均值6 010作为k的值，就得到一个函数模型$y=\frac{6\ 010}{x}$.
将已知数代入$y=\frac{6\ 010}{x}$，可以发现这个函数模型和实际数据基本吻合，说明它能较好地反映y与x的关系.
2. 将$x=110$代入$y=\frac{6\ 010}{x}$，得$y=\frac{6\ 010}{110}≈54.64$.
∴当$x=110$时，y的值约为54.64.
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察表格中x和y的变化规律：x增大时y减小，计算每组x和y的乘积可发现数值接近定值，因此可猜想两个变量符合反比例函数关系。接下来设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，由于实验数据存在误差，我们可以用多组数据计算出的k的平均值作为最终的k值，得到函数解析式后可验证是否符合已知数据。第二问只需将$x=110$代入求得的函数解析式，计算即可得到对应的y的估计值。
【解析】
(1) 观察表格数据及散点图，x与y的乘积近似为定值，可选择反比例函数近似描述y与x的关系，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
分别代入各组数据计算k的值：
当$x=100,y=60$时，$k=100×60=6000$；
当$x=90,y=67$时，$k=90×67=6030$；
当$x=80,y=75$时，$k=80×75=6000$；
当$x=70,y=86$时，$k=70×86=6020$；
当$x=60,y=100$时，$k=60×100=6000$。
计算k的平均值：$k=\frac{1}{5}×(6000+6030+6000+6020+6000)=6010$，
因此y关于x的函数解析式为$y=\frac{6010}{x}(x＞0)$，代入已知数据验证，该模型与实际数据基本吻合，能较好反映y与x的关系。
(2) 将$x=110$代入$y=\frac{6010}{x}$，得：
$y=\frac{6010}{110}≈54.64$
【答案】
1.
可以选择反比例函数近似描述变量$y(y＞0)$与变量$x(x＞0)$之间的关系，函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{6010}{x}(x＞0)}$；
2. 当$x=110$时，$y$的值约为$\boldsymbol{54.64}$。
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求解析式；函数值计算
【点评】
本题结合实验数据考查函数建模的应用，需要通过数据特征判断函数类型，利用多组数据取平均的方式减小误差得到更贴合实际的函数模型，既考查了反比例函数的相关知识，也锻炼了分析数据、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先观察表格中x和y的变化规律：x增大时y减小，计算每组x和y的乘积可发现数值接近定值，因此可猜想两个变量符合反比例函数关系。接下来设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，由于实验数据存在误差，我们可以用多组数据计算出的k的平均值作为最终的k值，得到函数解析式后可验证是否符合已知数据。第二问只需将$x=110$代入求得的函数解析式，计算即可得到对应的y的估计值。
【解析】
(1) 观察表格数据及散点图，x与y的乘积近似为定值，可选择反比例函数近似描述y与x的关系，设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
分别代入各组数据计算k的值：
当$x=100,y=60$时，$k=100×60=6000$；
当$x=90,y=67$时，$k=90×67=6030$；
当$x=80,y=75$时，$k=80×75=6000$；
当$x=70,y=86$时，$k=70×86=6020$；
当$x=60,y=100$时，$k=60×100=6000$。
计算k的平均值：$k=\frac{1}{5}×(6000+6030+6000+6020+6000)=6010$，
因此y关于x的函数解析式为$y=\frac{6010}{x}(x＞0)$，代入已知数据验证，该模型与实际数据基本吻合，能较好反映y与x的关系。
(2) 将$x=110$代入$y=\frac{6010}{x}$，得：
$y=\frac{6010}{110}≈54.64$
【答案】
1.
可以选择反比例函数近似描述变量$y(y＞0)$与变量$x(x＞0)$之间的关系，函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{6010}{x}(x＞0)}$；
2. 当$x=110$时，$y$的值约为$\boldsymbol{54.64}$。
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求解析式；函数值计算
【点评】
本题结合实验数据考查函数建模的应用，需要通过数据特征判断函数类型，利用多组数据取平均的方式减小误差得到更贴合实际的函数模型，既考查了反比例函数的相关知识，也锻炼了分析数据、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
