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10. 如图，O为正方形ABCD的对角线AC的中点，△ACE为等边三角形. 若AB=$\sqrt{2}$，则DE的长为（
A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}-1$
D
）A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}-1$
答案
10.D
解析
【分析】
解题时先从已知的正方形性质入手，先计算出正方形对角线AC的长度，再结合O是AC中点的条件，求出OD的长度；接下来利用等边三角形三线合一的性质，求出等边三角形ACE的高EO的长度，同时判断出E、O、D三点共线，最后通过线段的和差关系即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=$\sqrt{2}$，
∴正方形对角线$AC=\sqrt{2} × AB = \sqrt{2} × \sqrt{2}=2$，$∠ ADC=90°$，
∵O是AC的中点，
∴OD是Rt△ADC斜边的中线，$\therefore OD=\frac{1}{2}AC=1$，
∵△ACE是等边三角形，O是AC中点，
∴$EO⊥ AC$，且EO是等边△ACE的高，
$\therefore EO=\frac{\sqrt{3}}{2} × AC=\frac{\sqrt{3}}{2} × 2=\sqrt{3}$，
又
∵正方形ABCD中，$OD⊥ AC$，
∴E、O、D三点在同一条直线上，
$\therefore DE=EO-OD=\sqrt{3}-1$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊几何图形的综合应用题，解题的关键是熟练掌握正方形和等边三角形的性质，判断出三点共线后结合线段和差求解，能有效考查学生对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的正方形性质入手，先计算出正方形对角线AC的长度，再结合O是AC中点的条件，求出OD的长度；接下来利用等边三角形三线合一的性质，求出等边三角形ACE的高EO的长度，同时判断出E、O、D三点共线，最后通过线段的和差关系即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=$\sqrt{2}$，
∴正方形对角线$AC=\sqrt{2} × AB = \sqrt{2} × \sqrt{2}=2$，$∠ ADC=90°$，
∵O是AC的中点，
∴OD是Rt△ADC斜边的中线，$\therefore OD=\frac{1}{2}AC=1$，
∵△ACE是等边三角形，O是AC中点，
∴$EO⊥ AC$，且EO是等边△ACE的高，
$\therefore EO=\frac{\sqrt{3}}{2} × AC=\frac{\sqrt{3}}{2} × 2=\sqrt{3}$，
又
∵正方形ABCD中，$OD⊥ AC$，
∴E、O、D三点在同一条直线上，
$\therefore DE=EO-OD=\sqrt{3}-1$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊几何图形的综合应用题，解题的关键是熟练掌握正方形和等边三角形的性质，判断出三点共线后结合线段和差求解，能有效考查学生对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
11.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，连接AE，AF，EF。若AE⊥AF，BC=8，DE=3，则EF的长为
$\sqrt{146}$
。答案
11.$\sqrt{146}$
解析
【分析】
解题时先利用正方形的性质得到边相等、角为直角的条件，再结合AE⊥AF推导得出相等的角，证明△ABF和△ADE全等，得到BF的长度，随后计算直角△FCE的两条直角边长度，最后用勾股定理即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，BC=8，
∴AB=AD=CD=BC=8，∠D=∠BAD=∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABF=180°-∠ABC=90°=∠D。
∵AE⊥AF，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°，
∴∠FAB=∠DAE。
在△ABF和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠ABF=∠D \\AB=AD \\∠FAB=∠DAE\end{array} $
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴BF=DE=3。
∴FC=FB+BC=3+8=11，EC=CD-DE=8-3=5，
在Rt△FCE中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{FC^2+EC^2}=\sqrt{11^2+5^2}=\sqrt{121+25}=\sqrt{146}$。
【答案】
$\sqrt{146}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过角的互余关系推出等角，证明三角形全等得到未知线段的长度，再结合勾股定理求解线段长，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用正方形的性质得到边相等、角为直角的条件，再结合AE⊥AF推导得出相等的角，证明△ABF和△ADE全等，得到BF的长度，随后计算直角△FCE的两条直角边长度，最后用勾股定理即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，BC=8，
∴AB=AD=CD=BC=8，∠D=∠BAD=∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABF=180°-∠ABC=90°=∠D。
∵AE⊥AF，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°，
∴∠FAB=∠DAE。
在△ABF和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠ABF=∠D \\AB=AD \\∠FAB=∠DAE\end{array} $
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴BF=DE=3。
∴FC=FB+BC=3+8=11，EC=CD-DE=8-3=5，
在Rt△FCE中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{FC^2+EC^2}=\sqrt{11^2+5^2}=\sqrt{121+25}=\sqrt{146}$。
【答案】
$\sqrt{146}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过角的互余关系推出等角，证明三角形全等得到未知线段的长度，再结合勾股定理求解线段长，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
12.如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，BE平分∠CBD，交CD于点E，交OC于点F。若AB=4，则CF= 。
答案
12.$4\sqrt{2}-4$
解析
【分析】
解题时先从正方形的性质入手，先明确正方形的边长、对角线对应的角度和线段关系；再结合角平分线的条件计算角度，推导得到∠CEF=∠CFE，即可推出CE=CF，将求CF的问题转化为求CE的问题；最后利用角平分线的性质和等腰直角三角形的三边关系列方程求解，即可得到CF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=4
∴BC=CD=4，∠BCD=90°，∠ACB=∠DBC=∠BDC=45°
∵BE平分∠CBD
∴∠CBE=∠DBE=22.5°
∴∠CEF=90°-∠CBE=90°-22.5°=67.5°
∠CFE=∠CBE+∠ACB=22.5°+45°=67.5°
∴∠CEF=∠CFE，即CE=CF
过点E作EG⊥BD于点G
∵BE平分∠CBD，EC⊥BC，EG⊥BD
根据角平分线的性质，得EC=EG
∵∠BDC=45°，∠EGD=90°
∴△DEG是等腰直角三角形，故DE=√2 EG=√2 CE
又
∵CD=DE+CE=4
∴√2 CE + CE =4
解得CE=$\frac{4}{\sqrt{2}+1}$=4($\sqrt{2}$-1)=4$\sqrt{2}$-4
∴CF=CE=4$\sqrt{2}$-4
【答案】
$4\sqrt{2}-4$
【知识点】
正方形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是正方形性质的综合应用题，解题的核心是通过角度推导完成线段的等量转化，将未知线段转化为便于计算的线段，再结合特殊三角形的性质求解，较好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先从正方形的性质入手，先明确正方形的边长、对角线对应的角度和线段关系；再结合角平分线的条件计算角度，推导得到∠CEF=∠CFE，即可推出CE=CF，将求CF的问题转化为求CE的问题；最后利用角平分线的性质和等腰直角三角形的三边关系列方程求解，即可得到CF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=4
∴BC=CD=4，∠BCD=90°，∠ACB=∠DBC=∠BDC=45°
∵BE平分∠CBD
∴∠CBE=∠DBE=22.5°
∴∠CEF=90°-∠CBE=90°-22.5°=67.5°
∠CFE=∠CBE+∠ACB=22.5°+45°=67.5°
∴∠CEF=∠CFE，即CE=CF
过点E作EG⊥BD于点G
∵BE平分∠CBD，EC⊥BC，EG⊥BD
根据角平分线的性质，得EC=EG
∵∠BDC=45°，∠EGD=90°
∴△DEG是等腰直角三角形，故DE=√2 EG=√2 CE
又
∵CD=DE+CE=4
∴√2 CE + CE =4
解得CE=$\frac{4}{\sqrt{2}+1}$=4($\sqrt{2}$-1)=4$\sqrt{2}$-4
∴CF=CE=4$\sqrt{2}$-4
【答案】
$4\sqrt{2}-4$
【知识点】
正方形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是正方形性质的综合应用题，解题的核心是通过角度推导完成线段的等量转化，将未知线段转化为便于计算的线段，再结合特殊三角形的性质求解，较好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
13. A教材经典图形 如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,连接DE,DF,BE,BF.
(1)求证:△ADE≌△CBF.
(2)若$AB=4\sqrt{2},AE=2,$求四边形BEDF的周长.
(1)求证:△ADE≌△CBF.
(2)若$AB=4\sqrt{2},AE=2,$求四边形BEDF的周长.
答案
13.解:(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAE=∠BCF=45°,AD=CB. 在△ADE和△CBF中, $\begin{cases} AD=CB, \\ ∠DAE=∠BCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SAS). (2)
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=$4\sqrt{2}$.
∴BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2}=8$.
∴AC=BD=8,BD⊥EF.
∴DO=BO=OA=OC=4.又
∵AE=CF=2,
∴OA−AE=OC−CF,即OE=OF=4−2=2.
∴四边形BEDF为菱形.
∵DE=$\sqrt{DO^2+EO^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,
∴菱形BEDF的周长为4DE=$8\sqrt{5}$.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAE=∠BCF=45°,AD=CB. 在△ADE和△CBF中, $\begin{cases} AD=CB, \\ ∠DAE=∠BCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SAS). (2)
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=$4\sqrt{2}$.
∴BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2}=8$.
∴AC=BD=8,BD⊥EF.
∴DO=BO=OA=OC=4.又
∵AE=CF=2,
∴OA−AE=OC−CF,即OE=OF=4−2=2.
∴四边形BEDF为菱形.
∵DE=$\sqrt{DO^2+EO^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,
∴菱形BEDF的周长为4DE=$8\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1)要证明△ADE≌△CBF，首先利用正方形的性质可得AD=CB，且对角线AC平分正方形的内角，得到∠DAE=∠BCF=45°，再结合题目给出的AE=CF，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2)求四边形BEDF的周长，先根据正方形边长用勾股定理求出对角线的长度，再结合正方形对角线互相垂直平分的性质，由AE=CF推出OE=OF，可判定四边形BEDF是菱形，只需用勾股定理求出菱形的边长，乘4即可得到周长。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠BCF=45°，AD=CB。
在△ADE和△CBF中，
$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠DAE=∠BCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SAS)。
(2)解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=$4\sqrt{2}$，AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD。
∴BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2}=8$，
∴AC=BD=8，OA=OC=OD=OB=4。
又
∵AE=CF=2，
∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF=4−2=2，
∵BD⊥EF，OD=OB，OE=OF，
∴四边形BEDF为菱形。
在Rt△DOE中，DE=$\sqrt{DO^2+EO^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∴菱形BEDF的周长为$4DE=4×2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
【答案】
(1)△ADE≌△CBF证明成立；
(2)四边形BEDF的周长为$\boldsymbol{8\sqrt{5}}$。
【知识点】
1.正方形的性质
2.全等三角形的SAS判定
3.菱形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查特殊四边形的性质应用，解题的关键是熟练掌握正方形对角线的相关性质，结合全等判定定理和勾股定理逐步推导，能够很好地检验学生对特殊四边形相关知识的掌握程度和基础几何运算能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ADE≌△CBF，首先利用正方形的性质可得AD=CB，且对角线AC平分正方形的内角，得到∠DAE=∠BCF=45°，再结合题目给出的AE=CF，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2)求四边形BEDF的周长，先根据正方形边长用勾股定理求出对角线的长度，再结合正方形对角线互相垂直平分的性质，由AE=CF推出OE=OF，可判定四边形BEDF是菱形，只需用勾股定理求出菱形的边长，乘4即可得到周长。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠BCF=45°，AD=CB。
在△ADE和△CBF中，
$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠DAE=∠BCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SAS)。
(2)解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=$4\sqrt{2}$，AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD。
∴BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2}=8$，
∴AC=BD=8，OA=OC=OD=OB=4。
又
∵AE=CF=2，
∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF=4−2=2，
∵BD⊥EF，OD=OB，OE=OF，
∴四边形BEDF为菱形。
在Rt△DOE中，DE=$\sqrt{DO^2+EO^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∴菱形BEDF的周长为$4DE=4×2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
【答案】
(1)△ADE≌△CBF证明成立；
(2)四边形BEDF的周长为$\boldsymbol{8\sqrt{5}}$。
【知识点】
1.正方形的性质
2.全等三角形的SAS判定
3.菱形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查特殊四边形的性质应用，解题的关键是熟练掌握正方形对角线的相关性质，结合全等判定定理和勾股定理逐步推导，能够很好地检验学生对特殊四边形相关知识的掌握程度和基础几何运算能力。
【难度系数】
0.7
14. A教材经典模型·十字模型(2025·德阳)在综合实践活动中,同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量和规划,如图,E,F处是它的两个门,且DE=CF,要修建两条直路AF,BE,且AF与BE相交于点O(两个门E,F的大小忽略不计).
(1)请问这两条路是否等长?它们有什么位置关系?并说明理由.
(2)同学们测得AD=4 m,AE=3 m,根据实际需要,某小组同学想在四边形OBCF区域内再修一条2.5 m长的直路,这条直路的一端在门F处,另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上,并且另一端P与点B处的距离不少于1.5 m.请问能否修建成这样的直路?若能,能修建几条?并说明理由.
(1)请问这两条路是否等长?它们有什么位置关系?并说明理由.
(2)同学们测得AD=4 m,AE=3 m,根据实际需要,某小组同学想在四边形OBCF区域内再修一条2.5 m长的直路,这条直路的一端在门F处,另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上,并且另一端P与点B处的距离不少于1.5 m.请问能否修建成这样的直路?若能,能修建几条?并说明理由.
答案
14.解:(1)这两条路等长,它们的位置关系是互相垂直.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.
∵DE=CF,
∴AD−DE=CD−CF.
∴AE=DF.
∴△BAE≌△ADF(SAS).
∴BE=AF,∠ABE=∠DAF.
∵∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°,
∴∠BAO+∠ABE=90°.
∴∠AOB=90°.
∴AF⊥BE.
∴道路AF与BE等长,且它们互相垂直. (2)能建成一条这样的直路,且点P在边界BC上.理由如下:
∵AD=AB=CD=4 m,AE=3 m,
∴DE=CF=1 m.在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE=$\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$(m).由(1)得,AF=BE=5 m,AF⊥BE,
∵$S_{△ABE}=\frac{1}{2}BE·OA=\frac{1}{2}AB·AE$,
∴$OA=\frac{AB·AE}{BE}=\frac{4×3}{5}=2.4$(m).
∴OF=AF−OA=5−2.4=2.6(m).根据“垂线段最短”可得,点F到路段OB的最短距离为2.6 m.
∴路段OB上不存在与点F的距离为2.5 m的点.
∴点P不在路段OB上.设点P在边界BC上,在Rt△PCF中,由勾股定理,得PC=$\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}$(m),
∴BP=BC−PC=$(4-\frac{\sqrt{21}}{2})$m.
∵$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞4-\frac{\sqrt{25}}{2}$,
∴$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞1.5$.
∴边界BC上存在点P符合题意,即能建成一条这样的直路.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.
∵DE=CF,
∴AD−DE=CD−CF.
∴AE=DF.
∴△BAE≌△ADF(SAS).
∴BE=AF,∠ABE=∠DAF.
∵∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°,
∴∠BAO+∠ABE=90°.
∴∠AOB=90°.
∴AF⊥BE.
∴道路AF与BE等长,且它们互相垂直. (2)能建成一条这样的直路,且点P在边界BC上.理由如下:
∵AD=AB=CD=4 m,AE=3 m,
∴DE=CF=1 m.在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE=$\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$(m).由(1)得,AF=BE=5 m,AF⊥BE,
∵$S_{△ABE}=\frac{1}{2}BE·OA=\frac{1}{2}AB·AE$,
∴$OA=\frac{AB·AE}{BE}=\frac{4×3}{5}=2.4$(m).
∴OF=AF−OA=5−2.4=2.6(m).根据“垂线段最短”可得,点F到路段OB的最短距离为2.6 m.
∴路段OB上不存在与点F的距离为2.5 m的点.
∴点P不在路段OB上.设点P在边界BC上,在Rt△PCF中,由勾股定理,得PC=$\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}$(m),
∴BP=BC−PC=$(4-\frac{\sqrt{21}}{2})$m.
∵$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞4-\frac{\sqrt{25}}{2}$,
∴$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞1.5$.
∴边界BC上存在点P符合题意,即能建成一条这样的直路.
解析
【分析】
(1) 要判断AF和BE的数量与位置关系，首先利用正方形四边相等、四个角为直角的性质，结合已知DE=CF推导得出AE=DF，再通过SAS证明△BAE≌△ADF，即可得到边相等的结论；之后通过角的等量代换，证明∠AOB=90°，即可得到两条线段垂直的位置关系。
(2) 首先利用勾股定理计算BE、AF的长度，再通过三角形等面积法求出OA的长度，进而得到OF的长度，根据垂线段最短的性质，可判断OB线段上不存在到F距离为2.5m的点；再假设点P在BC边上，利用勾股定理计算PC的长度，进而求出BP的长度，验证其是否满足不小于1.5m的要求，即可得出最终结论。
【解析】
(1) 这两条路等长，位置关系是互相垂直，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD=CD，∠BAE=∠D=90°，
∵DE=CF，
∴AD−DE=CD−CF，即AE=DF，
在△BAE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}BA=AD\\ ∠ BAE=∠ D\\ AE=DF\end{array} $
∴△BAE≌△ADF(SAS)，
∴BE=AF，∠ABE=∠DAF，
∵∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，
∴∠BAO+∠ABE=90°，
∴∠AOB=180°−(∠BAO+∠ABE)=90°，
∴AF⊥BE，即AF与BE等长且互相垂直。
(2) 能建成这样的直路，且仅能修建1条，点P在边界BC上，理由如下：
∵AD=AB=CD=4 m，AE=3 m，
∴DE=AD−AE=4−3=1 m，即CF=DE=1 m，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
BE=$\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$ m，
由(1)得AF=BE=5 m，且AF⊥BE，
∵$S_{△ABE}=\frac{1}{2}BE·OA=\frac{1}{2}AB·AE$，
∴$OA=\frac{AB·AE}{BE}=\frac{4×3}{5}=2.4$ m，
∴OF=AF−OA=5−2.4=2.6 m，
根据垂线段最短可知，点F到线段OB的最短距离为2.6 m＞2.5 m，因此线段OB上不存在与点F距离为2.5 m的点，即点P不在OB上。
设点P在BC边上，在Rt△PCF中，FC=1 m，FP=2.5 m，由勾股定理得：
PC=$\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}$ m，
∴BP=BC−PC=$4-\frac{\sqrt{21}}{2}$ m，
∵$\frac{\sqrt{21}}{2}＜\frac{\sqrt{25}}{2}=2.5$，
∴$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞4-2.5=1.5$，满足BP不少于1.5 m的要求，
因此边界BC上存在符合要求的点P，即能建成1条这样的直路。
【答案】
(1) AF与BE长度相等，且互相垂直；
(2) 能修建成这样的直路，能修建1条。
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题以实际花园规划为背景，考查正方形十字模型的应用，既包含基础的几何证明，又结合垂线段最短、勾股定理解决实际问题，兼顾了知识的基础性和应用性，能有效锻炼逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断AF和BE的数量与位置关系，首先利用正方形四边相等、四个角为直角的性质，结合已知DE=CF推导得出AE=DF，再通过SAS证明△BAE≌△ADF，即可得到边相等的结论；之后通过角的等量代换，证明∠AOB=90°，即可得到两条线段垂直的位置关系。
(2) 首先利用勾股定理计算BE、AF的长度，再通过三角形等面积法求出OA的长度，进而得到OF的长度，根据垂线段最短的性质，可判断OB线段上不存在到F距离为2.5m的点；再假设点P在BC边上，利用勾股定理计算PC的长度，进而求出BP的长度，验证其是否满足不小于1.5m的要求，即可得出最终结论。
【解析】
(1) 这两条路等长，位置关系是互相垂直，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD=CD，∠BAE=∠D=90°，
∵DE=CF，
∴AD−DE=CD−CF，即AE=DF，
在△BAE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}BA=AD\\ ∠ BAE=∠ D\\ AE=DF\end{array} $
∴△BAE≌△ADF(SAS)，
∴BE=AF，∠ABE=∠DAF，
∵∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，
∴∠BAO+∠ABE=90°，
∴∠AOB=180°−(∠BAO+∠ABE)=90°，
∴AF⊥BE，即AF与BE等长且互相垂直。
(2) 能建成这样的直路，且仅能修建1条，点P在边界BC上，理由如下：
∵AD=AB=CD=4 m，AE=3 m，
∴DE=AD−AE=4−3=1 m，即CF=DE=1 m，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
BE=$\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$ m，
由(1)得AF=BE=5 m，且AF⊥BE，
∵$S_{△ABE}=\frac{1}{2}BE·OA=\frac{1}{2}AB·AE$，
∴$OA=\frac{AB·AE}{BE}=\frac{4×3}{5}=2.4$ m，
∴OF=AF−OA=5−2.4=2.6 m，
根据垂线段最短可知，点F到线段OB的最短距离为2.6 m＞2.5 m，因此线段OB上不存在与点F距离为2.5 m的点，即点P不在OB上。
设点P在BC边上，在Rt△PCF中，FC=1 m，FP=2.5 m，由勾股定理得：
PC=$\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}$ m，
∴BP=BC−PC=$4-\frac{\sqrt{21}}{2}$ m，
∵$\frac{\sqrt{21}}{2}＜\frac{\sqrt{25}}{2}=2.5$，
∴$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞4-2.5=1.5$，满足BP不少于1.5 m的要求，
因此边界BC上存在符合要求的点P，即能建成1条这样的直路。
【答案】
(1) AF与BE长度相等，且互相垂直；
(2) 能修建成这样的直路，能修建1条。
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题以实际花园规划为背景，考查正方形十字模型的应用，既包含基础的几何证明，又结合垂线段最短、勾股定理解决实际问题，兼顾了知识的基础性和应用性，能有效锻炼逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
