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1. 关于$x$的反比例函数$y=\frac{2}{x}$，下列结论正确的是(
A.其图象经过点$(1, -2)$
B.其图象位于第二、第四象限
C.若其图象经过$(a, a-1)$，则$a=-1$
D.在其图象所在的每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小
D
).A.其图象经过点$(1, -2)$
B.其图象位于第二、第四象限
C.若其图象经过$(a, a-1)$，则$a=-1$
D.在其图象所在的每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查反比例函数的基本性质相关判断，解题思路是依次对每个选项结合反比例函数的性质、点在函数图象上的坐标特征进行验证：①若点在反比例函数图象上，则横纵坐标代入解析式等式成立；②反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，$k＞0$时图象位于一、三象限，且每个象限内$y$随$x$的增大而减小；$k＜0$时图象位于二、四象限，且每个象限内$y$随$x$的增大而增大，据此逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 将点$(1,-2)$代入$y=\frac{2}{x}$，当$x=1$时，$y=\frac{2}{1}=2≠-2$，故该点不在函数图象上，A选项错误；
B. 该反比例函数中$k=2＞0$，因此图象位于第一、第三象限，B选项错误；
C. 若图象经过$(a,a-1)$，将坐标代入解析式得$a-1=\frac{2}{a}$，两边同乘$a$（$a≠0$）得$a^2 -a -2=0$，因式分解得$(a-2)(a+1)=0$，解得$a=2$或$a=-1$，不是只有$a=-1$，C选项错误；
D. 因为$k=2＞0$，所以在图象所在的每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质 2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，解题的关键是熟练掌握反比例函数中$k$值对图象位置、增减性的影响，以及函数图象上的点满足函数解析式这一特征，只要牢记相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的基本性质相关判断，解题思路是依次对每个选项结合反比例函数的性质、点在函数图象上的坐标特征进行验证：①若点在反比例函数图象上，则横纵坐标代入解析式等式成立；②反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，$k＞0$时图象位于一、三象限，且每个象限内$y$随$x$的增大而减小；$k＜0$时图象位于二、四象限，且每个象限内$y$随$x$的增大而增大，据此逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 将点$(1,-2)$代入$y=\frac{2}{x}$，当$x=1$时，$y=\frac{2}{1}=2≠-2$，故该点不在函数图象上，A选项错误；
B. 该反比例函数中$k=2＞0$，因此图象位于第一、第三象限，B选项错误；
C. 若图象经过$(a,a-1)$，将坐标代入解析式得$a-1=\frac{2}{a}$，两边同乘$a$（$a≠0$）得$a^2 -a -2=0$，因式分解得$(a-2)(a+1)=0$，解得$a=2$或$a=-1$，不是只有$a=-1$，C选项错误；
D. 因为$k=2＞0$，所以在图象所在的每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质 2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，解题的关键是熟练掌握反比例函数中$k$值对图象位置、增减性的影响，以及函数图象上的点满足函数解析式这一特征，只要牢记相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
2. 函数 $y=kx - k$ 与 $y=\frac{k}{x}$ 在同一坐标系中的大致图象可能是(
B
). 答案
2. B
解析
【分析】
本题是一次函数与反比例函数图象共存问题，解题核心是分类讨论参数k的正负性，分别判断两个函数的图象特征，再和选项比对即可。首先回忆两类函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象所在象限由k的符号决定；一次函数$y=kx-k$的斜率（增减性）和与y轴的截距也由k的符号决定，同时一次函数恒过定点$(1,0)$，我们分$k＞0$和$k＜0$两种情况逐一验证选项。
【解析】
分两种情况讨论参数k的取值：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx-k$中，斜率$k＞0$，图象呈上升趋势，与y轴的截距为$-k＜0$，因此一次函数图象过第一、三、四象限。
观察选项，C中一次函数与y轴交于正半轴，D中一次函数过原点，均不符合该情况，排除C、D。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx-k$中，斜率$k＜0$，图象呈下降趋势，与y轴的截距为$-k＞0$，因此一次函数图象过第一、二、四象限。
观察选项，A中一次函数与y轴交于负半轴，不符合；B中反比例函数在第二、四象限，一次函数过第一、二、四象限，符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题考查两类函数图象和参数的关系，采用分类讨论的方法即可快速解题，解题时也可先由一类函数的图象确定k的符号，再验证另一类函数的图象是否符合，是函数图象类题的常见考法。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数与反比例函数图象共存问题，解题核心是分类讨论参数k的正负性，分别判断两个函数的图象特征，再和选项比对即可。首先回忆两类函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象所在象限由k的符号决定；一次函数$y=kx-k$的斜率（增减性）和与y轴的截距也由k的符号决定，同时一次函数恒过定点$(1,0)$，我们分$k＞0$和$k＜0$两种情况逐一验证选项。
【解析】
分两种情况讨论参数k的取值：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx-k$中，斜率$k＞0$，图象呈上升趋势，与y轴的截距为$-k＜0$，因此一次函数图象过第一、三、四象限。
观察选项，C中一次函数与y轴交于正半轴，D中一次函数过原点，均不符合该情况，排除C、D。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx-k$中，斜率$k＜0$，图象呈下降趋势，与y轴的截距为$-k＞0$，因此一次函数图象过第一、二、四象限。
观察选项，A中一次函数与y轴交于负半轴，不符合；B中反比例函数在第二、四象限，一次函数过第一、二、四象限，符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题考查两类函数图象和参数的关系，采用分类讨论的方法即可快速解题，解题时也可先由一类函数的图象确定k的符号，再验证另一类函数的图象是否符合，是函数图象类题的常见考法。
【难度系数】
0.7
3. 已知点 P 是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象上任一点，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线. 若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为 2，则 k 的值为
$\pm2$
.答案
3. $\pm2$
解析
【分析】
解题时首先要联想到反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形的面积等于|k|。已知矩形面积为2，可列出关于k的绝对值方程，求解时注意k可以取正值也可以取负值，不要漏解。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$，
∵点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴代入函数式得$xy=k$。
∵过点P作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形的长为$|x|$，宽为$|y|$，
∴矩形面积$S=|x|·|y|=|xy|=|k|$。
由题意知矩形面积为2，即$|k|=2$，
解得$k=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数k的几何意义的应用，易错点是容易忽略k的符号，仅得出k=2或k=-2其中一个解，解题时要注意面积为非负数，对应的是k的绝对值，需全面考虑k的取值。
【难度系数】
0.7
解题时首先要联想到反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形的面积等于|k|。已知矩形面积为2，可列出关于k的绝对值方程，求解时注意k可以取正值也可以取负值，不要漏解。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$，
∵点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴代入函数式得$xy=k$。
∵过点P作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形的长为$|x|$，宽为$|y|$，
∴矩形面积$S=|x|·|y|=|xy|=|k|$。
由题意知矩形面积为2，即$|k|=2$，
解得$k=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数k的几何意义的应用，易错点是容易忽略k的符号，仅得出k=2或k=-2其中一个解，解题时要注意面积为非负数，对应的是k的绝对值，需全面考虑k的取值。
【难度系数】
0.7
4. 如图，一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+2$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(-2, b)$与$D(m, -1)$，与$y$轴交于点$B$，与$x$轴交于点$C(4, 0)$。
(1)反比例函数的解析式为________；
(2)关于$x$的不等式$-\dfrac{1}{2}x+2＞\dfrac{k}{x}$的解集为________；
(3)$P$为$x$轴上的一动点，当$△ APB$的面积为$3$时，求点$P$的坐标。
(1)反比例函数的解析式为________；
(2)关于$x$的不等式$-\dfrac{1}{2}x+2＞\dfrac{k}{x}$的解集为________；
(3)$P$为$x$轴上的一动点，当$△ APB$的面积为$3$时，求点$P$的坐标。
答案
4. (1) $y=-\frac{6}{x}$
(2) $x＜-2$ 或 $0＜x＜6$
(3) 对于一次函数 $y=-\frac{1}{2}x+2$，当 $x=0$ 时，$y=2$，$\therefore B(0, 2)$. 设 $P(m, 0)$，则 $S_{△ APB}=S_{△ APC}-S_{△ BPC}=\frac{1}{2}CP · y_A - \frac{1}{2}CP · y_B=\frac{1}{2} × |4-m| × 3 - \frac{1}{2} × |4-m| × 2=\frac{|4-m|}{2}$，$\therefore \frac{|4-m|}{2}=3$，解得 $m=-2$ 或 $m=10$. $\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(-2, 0)$ 或 $(10, 0)$.
(2) $x＜-2$ 或 $0＜x＜6$
(3) 对于一次函数 $y=-\frac{1}{2}x+2$，当 $x=0$ 时，$y=2$，$\therefore B(0, 2)$. 设 $P(m, 0)$，则 $S_{△ APB}=S_{△ APC}-S_{△ BPC}=\frac{1}{2}CP · y_A - \frac{1}{2}CP · y_B=\frac{1}{2} × |4-m| × 3 - \frac{1}{2} × |4-m| × 2=\frac{|4-m|}{2}$，$\therefore \frac{|4-m|}{2}=3$，解得 $m=-2$ 或 $m=10$. $\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(-2, 0)$ 或 $(10, 0)$.
解析
【分析】
(1) 求反比例函数解析式需先得到其图象上一点的坐标：已知点A在一次函数图象上，将A点横坐标代入一次函数可求出b的值，得到A点坐标后再代入反比例函数表达式，即可求出k得到解析式。
(2) 不等式$-\dfrac{1}{2}x+2＞\dfrac{k}{x}$的解集对应一次函数图象位于反比例函数图象上方的x的取值范围，先求出两个函数的另一个交点D的坐标，结合图象分区间判断即可，注意反比例函数自变量x不能为0。
(3) 求x轴上动点P的坐标，先设P坐标为$(m,0)$，先求出一次函数与y轴交点B的坐标，再用割补法表示出$△ APB$的面积，结合面积为3列绝对值方程求解，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 将$A(-2,b)$代入一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+2$，得：
$b=-\dfrac{1}{2}×(-2)+2=3$，即$A(-2,3)$
将$A(-2,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$3=\dfrac{k}{-2}$，解得$k=-6$
因此反比例函数解析式为$y=-\dfrac{6}{x}$。
(2) 将$D(m,-1)$代入一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+2$，得：
$-1=-\dfrac{1}{2}m+2$，解得$m=6$，即$D(6,-1)$
观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上方的区域对应x的取值为$x＜-2$或$0＜x＜6$，即不等式的解集为$x＜-2$或$0＜x＜6$。
(3) 对于一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+2$，当$x=0$时，$y=2$，因此$B(0,2)$。
设点P的坐标为$(m,0)$，已知$C(4,0)$，则$CP=|4-m|$。
$\begin{aligned}S_{△ APB}&=S_{△ APC}-S_{△ BPC}\\&=\dfrac{1}{2}· CP· y_A - \dfrac{1}{2}· CP· y_B\\&=\dfrac{1}{2}×|4-m|×3 - \dfrac{1}{2}×|4-m|×2\\&=\dfrac{|4-m|}{2}\end{aligned}$
由题意得$\dfrac{|4-m|}{2}=3$，即$|4-m|=6$，解得$m=-2$或$m=10$。
因此点P的坐标为$(-2,0)$或$(10,0)$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{6}{x}$
(2) $x＜-2$ 或 $0＜x＜6$
(3) $(-2, 0)$ 或 $(10, 0)$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 函数图象解不等式
3. 坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，前两问属于基础考点，考查对函数性质和图象的基础应用；第三问结合动点考查面积计算，需要掌握割补法求坐标系中三角形面积的方法，同时注意绝对值方程求解时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求反比例函数解析式需先得到其图象上一点的坐标：已知点A在一次函数图象上，将A点横坐标代入一次函数可求出b的值，得到A点坐标后再代入反比例函数表达式，即可求出k得到解析式。
(2) 不等式$-\dfrac{1}{2}x+2＞\dfrac{k}{x}$的解集对应一次函数图象位于反比例函数图象上方的x的取值范围，先求出两个函数的另一个交点D的坐标，结合图象分区间判断即可，注意反比例函数自变量x不能为0。
(3) 求x轴上动点P的坐标，先设P坐标为$(m,0)$，先求出一次函数与y轴交点B的坐标，再用割补法表示出$△ APB$的面积，结合面积为3列绝对值方程求解，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 将$A(-2,b)$代入一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+2$，得：
$b=-\dfrac{1}{2}×(-2)+2=3$，即$A(-2,3)$
将$A(-2,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$3=\dfrac{k}{-2}$，解得$k=-6$
因此反比例函数解析式为$y=-\dfrac{6}{x}$。
(2) 将$D(m,-1)$代入一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+2$，得：
$-1=-\dfrac{1}{2}m+2$，解得$m=6$，即$D(6,-1)$
观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上方的区域对应x的取值为$x＜-2$或$0＜x＜6$，即不等式的解集为$x＜-2$或$0＜x＜6$。
(3) 对于一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+2$，当$x=0$时，$y=2$，因此$B(0,2)$。
设点P的坐标为$(m,0)$，已知$C(4,0)$，则$CP=|4-m|$。
$\begin{aligned}S_{△ APB}&=S_{△ APC}-S_{△ BPC}\\&=\dfrac{1}{2}· CP· y_A - \dfrac{1}{2}· CP· y_B\\&=\dfrac{1}{2}×|4-m|×3 - \dfrac{1}{2}×|4-m|×2\\&=\dfrac{|4-m|}{2}\end{aligned}$
由题意得$\dfrac{|4-m|}{2}=3$，即$|4-m|=6$，解得$m=-2$或$m=10$。
因此点P的坐标为$(-2,0)$或$(10,0)$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{6}{x}$
(2) $x＜-2$ 或 $0＜x＜6$
(3) $(-2, 0)$ 或 $(10, 0)$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 函数图象解不等式
3. 坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，前两问属于基础考点，考查对函数性质和图象的基础应用；第三问结合动点考查面积计算，需要掌握割补法求坐标系中三角形面积的方法，同时注意绝对值方程求解时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
