5. 钟表上两点半时，时针与分针所成角的度数是.

5. $105°$

【分析】
解题时首先要掌握钟面的基本特征：整个钟面为周角360°，被平均分成12个大格，因此每个大格对应的角度是360°÷12=30°。接下来明确两点半时两个指针的位置：分针走30分钟指向数字6；时针不会停在数字2的位置，因为时针1小时走1个大格，30分钟是半小时，所以时针会从2向3移动半个大格。最后计算时针和分针的间隔大格数，乘每个大格的度数即可得到夹角度数。
【解析】
解：① 计算钟面上每个大格的度数：
钟面一周为360°，共分12个大格，每个大格的度数为 $360° ÷ 12 = 30°$。
② 确定两点半时指针位置：
分针走30分钟，指向数字6；
时针2点整时指向数字2，30分钟时针走过的大格数为 $30÷60=0.5$ 个，即此时时针在2和3中间，距离数字2有0.5个大格。
③ 计算两指针的间隔大格数：
数字2到数字6共4个大格，减去时针偏移的0.5个大格，实际间隔为 $4 - 0.5 = 3.5$ 个大格。
④ 计算夹角度数：
$3.5×30° = 105°$
【答案】
$105°$
【知识点】
钟面角计算、角的度量
【点评】
本题是钟面角计算的典型基础题，易错点是容易忽略时针随分钟移动的特点，误将时针看作停在数字2的位置计算出120°的错误结果，掌握钟面大格对应的度数、明确时针的移动规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7

6. 平面测量时，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角，在测绘、航海中经常用到. 如图，OA表示北偏东$20°$方向的一条射线. 仿照这条射线画出表示下列方向的射线：
(1)北偏西$50°$；
(2)南偏东$10°$；
(3)西南方向(即南偏西$45°$).

解：
(1) 以点O为角的顶点，正北方向的射线为角的始边，向西侧作50°的角，该角的终边就是表示北偏西50°的射线；
(2) 以点O为角的顶点，正南方向的射线为角的始边，向东侧作10°的角，该角的终边就是表示南偏东10°的射线；
(3) 以点O为角的顶点，正南方向的射线为角的始边，向西侧作45°的角，该角的终边就是表示西南方向（南偏西45°）的射线。

【分析】
解决本题的核心是掌握方向角的定义规则：方向角以正北、正南方向为基准，以观测点（本题为点O）为顶点，将正北或正南方向作为角的始边，向东或向西偏转指定角度得到终边，终边就是表示对应方向的射线。作图时每一条射线都遵循以下步骤：首先确定顶点为O，再根据方向描述确定始边（带“北偏”的以正北射线为始边，带“南偏”的以正南射线为始边），再根据“偏东”朝向东侧、“偏西”朝向西侧的规则，画出对应度数的角，其终边即为所求射线。
【解析】
(1) 以点O为角的顶点，正北方向的射线为角的始边，向西侧作50°的角，该角的终边就是表示北偏西50°的射线；
(2) 以点O为角的顶点，正南方向的射线为角的始边，向东侧作10°的角，该角的终边就是表示南偏东10°的射线；
(3) 以点O为角的顶点，正南方向的射线为角的始边，向西侧作45°的角，该角的终边就是表示西南方向（南偏西45°）的射线。
按照上述步骤逐一画出三条射线即可。
【答案】
(1) 以点O为角的顶点，正北方向的射线为角的始边，向西侧作50°的角，该角的终边就是表示北偏西50°的射线；
(2) 以点O为角的顶点，正南方向的射线为角的始边，向东侧作10°的角，该角的终边就是表示南偏东10°的射线；
(3) 以点O为角的顶点，正南方向的射线为角的始边，向西侧作45°的角，该角的终边就是表示西南方向（南偏西45°）的射线。
【知识点】
方向角的概念；角的作图
【点评】
本题是方向角相关的基础题型，主要考查对方向角定义的理解和基础作图能力，掌握“以南北为基准，按偏转方向作对应角度”的规则即可快速解题，这类知识在测绘、航海等实际场景中应用广泛。
【难度系数】
0.9

1. 在时间准确的钟表上，分针每分钟旋转的度数与时针每分钟旋转的度数之差为。

1. $5.5°$

【分析】
要解决这道题，我们可以先明确钟表一圈对应的总角度，再分别计算分针、时针每分钟旋转的度数，最后求两者的差值即可。首先我们知道钟表是圆形，一圈总角度为360°，接下来结合分针、时针转一圈各自需要的总时间，就能算出每分钟转动的角度，作差后就能得到答案。
【解析】
解：钟表一圈的总角度为360°。
1. 计算分针每分钟旋转的度数：
分针旋转1周需要60分钟，因此每分钟旋转的度数为：
$360° ÷ 60 = 6°$
2. 计算时针每分钟旋转的度数：
时针旋转1周需要12小时，换算为分钟是$12×60=720$分钟，因此每分钟旋转的度数为：
$360° ÷ 720 = 0.5°$
3. 计算两者的度数差：
$6° - 0.5° = 5.5°$
【答案】
$5.5°$
【知识点】
角的度量，钟表角度计算
【点评】
本题属于基础角度计算题型，解题核心是掌握分针和时针的转动规律，熟练换算二者单位时间内的转动角度即可快速求解，该知识点常作为钟表角度追及问题的基础考点出现。
【难度系数】
0.8

2. 如图，能用一个字母表示的角有个，以A为顶点的角有个，图中所有的角有个(这里的角指的是小于平角的角).

2. 2 3 7

【分析】
解题时先明确角的相关规则：①只有顶点处仅有1个小于平角的角时，才能用一个大写字母表示该角；②数角时按顶点分类计数，可避免重复、遗漏。第一步先逐个看各顶点的角的数量，找出符合单字母表示的角；第二步单独数顶点A处的角；第三步按顶点分类数出所有小于平角的角相加即可。
【解析】
1. 能用一个字母表示的角：
观察图形各顶点，顶点B处仅1个角、顶点C处仅1个角，满足单字母表示的条件，共2个。
2. 以A为顶点的角：
按从小到大的顺序数，分别是∠BAD、∠DAC、∠BAC，共3个。
3. 所有小于平角的角：
按顶点分类计数：
顶点B：∠B，共1个；
顶点C：∠C，共1个；
顶点A：上述3个角；
顶点D：∠ADB、∠ADC，共2个。
总个数为$1+1+3+2=7$个。
【答案】
2；3；7
【知识点】
角的表示；角的计数
【点评】
本题重点考查角的基础概念，计数时按顶点分类计数的方法能有效降低错误率，解题时要注意题目限定为小于平角的角，避免多算。
【难度系数】
0.8

3. 如图，$∠ AOB$是直角，$OP_{i}(i=1,2,3,4,5,6)$是$∠ AOB$内部不同的射线，则图中的锐角共有().

A.28个
B.27个
C.24个
D.22个

3. B

【分析】
解题时首先明确计数对象是锐角，先统计从顶点O出发的射线总数量：∠AOB的两条边OA、OB加上内部6条射线，共8条射线。同顶点的角的计数规律为：n条射线共顶点时，总角数为$\frac{n(n-1)}{2}$，这个规律的本质是每条射线和其余射线均可组成一个角，排除重复计数即可得到该公式。最后注意∠AOB是直角，不属于锐角，总角数减去1个直角就是锐角的总数。
【解析】
解：第一步：统计从O点出发的射线总条数：包含OA、OB，以及内部的$OP_1∼ OP_6$，共$2+6=8$条射线。
第二步：计算所有以O为顶点的角的总个数：根据同顶点角的计数公式，n条射线共顶点时角的总个数为$\frac{n(n-1)}{2}$，代入$n=8$，得总角数为$\frac{8×7}{2}=28$个。
第三步：筛选锐角：已知$∠ AOB$是直角，不属于锐角，其余所有角都小于$90°$，属于锐角，因此锐角总个数为$28-1=27$个。
【答案】
B
【知识点】
角的计数方法；锐角的定义；角的概念
【点评】
本题考查角的计数，易错点是容易忽略题目要求的是锐角，忘记减去唯一的直角$∠ AOB$，或者数错射线总条数导致计数错误，掌握同顶点角的计数公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7