| 变式训练2 | 如图，已知平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是A(0，0)，B(3，0)，D(1，$\sqrt{2}$)，则顶点C的坐标是。

$(4,\sqrt{2})$

【分析】
解题时先回忆平行四边形对边平行且相等的性质，先观察已知点A、B的坐标：A在原点，B在x轴上，可知AB是水平线段，先求出AB的长度。因为平行四边形中AB和DC平行且相等，所以DC也是水平线段，点C的纵坐标和点D的纵坐标相同，再结合DC长度等于AB的长度，就能求出点C的横坐标，最终得到C的坐标。也可以用平移的思路：点A到点D的平移规律，和点B到点C的平移规律完全相同，按照这个平移规律计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB//DC，且AB=DC
已知A(0,0)，B(3,0)，则AB的长度为$3-0=3$，且AB平行于x轴
∴ DC也平行于x轴，即点C的纵坐标与点D的纵坐标相等，为$\sqrt{2}$
∵ DC=AB=3，点D的横坐标为1
∴ 点C的横坐标为$1+3=4$
综上，顶点C的坐标为$(4,\sqrt{2})$。
【答案】
$(4,\sqrt{2})$
【知识点】
平行四边形的性质、坐标与图形性质、图形的平移
【点评】
本题是平行四边形性质和平面直角坐标系结合的基础题，解题核心是利用平行四边形对边的关系找到点坐标的变化规律，熟练掌握平行四边形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

1.过点$A(1,-2)$且垂直于$y$轴的直线交$y$轴于点$B$,则点$B$的坐标为()

A.$(0,1)$
B.$(1,0)$
C.$(0,-2)$
D.$(-2,0)$

1.C

【分析】
解题时先抓住题目两个关键条件：一是直线垂直于y轴，二是直线过点A(1,-2)，需求直线与y轴的交点B坐标。首先回忆坐标相关性质：垂直于y轴的直线平行于x轴，平行于x轴的直线上所有点的纵坐标都相等，因此可先确定这条直线上所有点的纵坐标等于A点的纵坐标-2；再回忆y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都是0，结合前面得到的纵坐标，即可求出B点坐标。
【解析】
1. 垂直于y轴的直线平行于x轴，平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，已知直线过点A(1,-2)，因此该直线上所有点的纵坐标均为-2，即直线为y=-2。
2. 点B是该直线与y轴的交点，y轴上的点横坐标都为0，因此B点横坐标为0，纵坐标为-2，即B点坐标为(0,-2)。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平行于坐标轴的直线的坐标特征
2. 坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行于x轴的直线的坐标性质以及y轴上点的坐标特点，熟练掌握相关规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2.在平面直角坐标系内有一点$P(a,b)$，若$ab=0$，则点$P$的位置在()

A.原点
B.$x$轴上
C.$y$轴上
D.坐标轴上

2.D

【分析】
解题时首先回忆有理数乘法的性质：若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0。由此可得ab=0时，存在三种情况：a=0、b=0、a和b都为0。再结合平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特征，分别判断三种情况对应的点的位置，最后汇总得到最终结论即可。
【解析】
已知$ab=0$，根据有理数乘法的性质，分三种情况讨论：
1. 当$a=0$，$b$为任意实数时，点$P$的坐标为$(0,b)$，此时点$P$在$y$轴上；
2. 当$b=0$，$a$为任意实数时，点$P$的坐标为$(a,0)$，此时点$P$在$x$轴上；
3. 当$a=0$且$b=0$时，点$P$的坐标为$(0,0)$，也就是原点，原点同时属于$x$轴和$y$轴。
以上三种情况的点都在坐标轴上，因此点$P$的位置在坐标轴上。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法性质；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题需要注意分类讨论的全面性，不能只考虑$a=0$或$b=0$的单一情况，也不要漏了$a$和$b$同时为0的情况，同时要明确坐标轴包含$x$轴和$y$轴，原点是两条坐标轴的交点，也属于坐标轴的一部分。
【难度系数】
0.8

3.如果点$P(m+3,m+1)$在平面直角坐标系的x轴上，那么点P的坐标为()

A.$(0,2)$
B.$(2,0)$
C.$(4,0)$
D.$(0,-4)$

3.B

【分析】
要解决这道题，首先回忆平面直角坐标系中x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都为0。我们可以利用这个特征先列方程求出m的值，再将m的值代入横坐标的表达式算出横坐标，最终得到点P的坐标，匹配对应选项即可。
【解析】
∵ 点$P(m+3,m+1)$在x轴上，x轴上的点的纵坐标为0，
∴ $m+1=0$，
解得 $m=-1$，
将$m=-1$代入横坐标$m+3$，得：$m+3=-1+3=2$，
∴ 点P的坐标为$(2,0)$，故选B。
【答案】B
【知识点】
x轴上点的坐标特征；求点的坐标
【点评】
本题属于基础题型，重点考查坐标轴上点的坐标规律的应用，解题的关键是牢记x轴上点纵坐标为0、y轴上点横坐标为0的性质，代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.9

4.已知$△ ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(-7,0),B(1,0),C(-5,4)$，那么$△ ABC$的面积等于。

4.16

【分析】
首先观察A、B两点的坐标特征，两点纵坐标均为0，说明AB边在x轴上，我们可以把AB作为三角形的底，先计算AB的长度；三角形的高就是点C到x轴的垂直距离，也就是点C纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：
∵点A(-7,0)、B(1,0)的纵坐标都为0，
∴AB边在x轴上，
AB的长度 = |1 - (-7)| = 8，
∵点C的坐标为(-5,4)，
∴点C到AB边（x轴）的距离（即△ABC中AB边上的高）= |4| = 4，
∴△ABC的面积 = $\frac{1}{2}$×底×高 = $\frac{1}{2}$×8×4 = 16。
【答案】
16
【知识点】
坐标与图形性质，三角形面积计算，数轴上两点距离计算
【点评】
本题解题的关键是抓住坐标轴上点的坐标特征，快速确定三角形的底和对应高，简化计算过程，是坐标与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.8

5.已知点A,B的坐标分别为(2,0),(2,4),若以A,B,P为顶点的三角形与△ABO全等，则满足条件的点P的坐标为。

5.(4,0)或(4,4)或(0,4)

【分析】
首先梳理已知条件：点A(2,0)、B(2,4)，可知线段AB垂直于x轴，长度为4，原点O(0,0)是△ABO的第三个顶点。要找点P使△ABP与△ABO全等，AB是两个三角形的公共边，我们可以通过对称翻折的思路分类讨论所有可能的P点位置，每得到一个候选坐标后验证是否满足全等条件即可。
【解析】
解：已知原点O(0,0)，A(2,0)，B(2,4)，线段AB的横坐标均为2，因此AB⊥x轴，AB长度为4，OA长度为2。
△ABP和△ABO全等，AB为公共边，分三种情况讨论：
1. 将△ABO沿直线AB（即x=2）向右翻折，点O的对称点为P₁：
O(0,0)关于x=2的对称点坐标为(4,0)，此时AP₁=OA=2，AB为公共边，BP₁=OB，满足SSS全等判定，符合要求。
2. 将△ABO沿线段AB的垂直平分线（即y=2）翻折，点O的对称点为P₂：
O(0,0)关于y=2的对称点坐标为(0,4)，此时BP₂=OA=2，AB为公共边，AP₂=OB，满足SSS全等判定，符合要求。
3. 将点P₂沿直线AB（x=2）向右翻折，得到对称点P₃：
(0,4)关于x=2的对称点坐标为(4,4)，此时BP₃=OA=2，AB为公共边，AP₃=OB，满足SSS全等判定，符合要求。
综上，满足条件的点P坐标为(4,0)或(4,4)或(0,4)。
【答案】
(4,0)或(4,4)或(0,4)
【知识点】
全等三角形的判定，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的典型题型，解题时需要分类讨论所有可能的对应情况，避免漏解，借助翻折对称的思路可以快速定位点的位置。
【难度系数】
0.6

6.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$A(-2,0),C(0,6)$,点$B$在$x$轴的正半轴上,连接$AC,BC$。若$AB=BC$,则点$B$的坐标是。

6.(8,0)

【分析】
解题时先观察点B的位置，它在x轴上，因此纵坐标为0，我们可以设点B的坐标为$(x,0)$（$x＞0$）。接下来先表示出$AB$和$BC$的长度：①$A$、$B$都在x轴上，两点间的距离等于横坐标的差（因为B在A右侧），即$AB=x-(-2)=x+2$；②$BC$是直角$△ COB$的斜边，可通过勾股定理用含$x$的式子表示$BC^2$。最后利用$AB=BC$的等量关系，两边平方后列方程求解$x$的值，即可得到点B的坐标。
【解析】
设点$B$的坐标为$(x,0)$，其中$x＞0$。
1. 计算$AB$的长度：
已知$A(-2,0)$，$B(x,0)$都在$x$轴上，因此$AB = x - (-2) = x+2$。
2. 用勾股定理表示$BC$的平方：
在$\mathrm{Rt}△ COB$中，$∠ COB=90°$，$OC=6$，$OB=x$，由勾股定理得：
$BC^2 = OB^2 + OC^2 = x^2 + 6^2 = x^2 + 36$。
3. 列方程求解：
因为$AB=BC$，所以$AB^2=BC^2$，代入得：
$(x+2)^2 = x^2 + 36$
展开左边：$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 36$
消去$x^2$后整理得：$4x = 32$
解得：$x=8$
因此点$B$的坐标为$(8,0)$。
【答案】
$(8,0)$
【知识点】
勾股定理；平面直角坐标系点的坐标；一元一次方程的应用
【点评】
本题考查数形结合思想与方程思想的运用，解题的关键是抓住$AB=BC$的等量关系，结合勾股定理建立方程求解，是坐标系与几何结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7

7. 如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=7，点A的坐标是(-3,0)，求B,C,D各点的坐标。

7.$B(4,0)\ \ \ C(7,4)\ \ \ D(0,4)$

【分析】
解题思路分三步：1. 先求B点坐标：观察到A、B都在x轴上，纵坐标均为0，已知A的坐标和AB长度，用A的横坐标加AB长度即可得到B的横坐标；2. 再求D点坐标：D在y轴上，横坐标为0，△AOD是直角三角形，已知AD和OA的长度，用勾股定理算出OD的长度，就是D的纵坐标；3. 最后求C点坐标：根据平行四边形对边平行且相等的性质，CD和AB平行且等长，因此C的纵坐标和D相同，横坐标为D的横坐标加AB长度即可。
【解析】
1. 求点B的坐标：
∵点A坐标为$(-3,0)$，A、B都在x轴上，
∴点B的纵坐标为0，$OA=|-3|=3$。
∵$AB=7$，
∴点B的横坐标为$-3+7=4$，即$B(4,0)$。
2. 求点D的坐标：
∵D在y轴上，
∴点D的横坐标为0。
在$Rt△ AOD$中，$AD=5$，$OA=3$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
∴点D的纵坐标为4，即$D(0,4)$。
3. 求点C的坐标：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$CD// AB$，$CD=AB=7$。
∵AB是x轴上的水平线段，
∴CD也是水平线段，点C的纵坐标与D相同，为4。
点C的横坐标为$0+7=7$，即$C(7,4)$。
【答案】
$B(4,0)$，$C(7,4)$，$D(0,4)$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何图形结合的基础题，解题的核心是先利用坐标轴上点的坐标特征求出B、D两点，再结合平行四边形对边平行且相等的性质推导C点坐标，需要注意坐标的符号计算，避免出错。
【难度系数】
0.7

8.(1)已知点$M(a,-2),N(3,b)$。若$MN// x$轴,则$a$,$b$;
(2)已知$AB// x$轴,点$A$的坐标为$(3,2)$,且$AB=5$,则点$B$的坐标为。

8.(1)≠3 =-2 (2)(-2,2)或(8,2)

【分析】
本题考查平面直角坐标系中平行于x轴的点的坐标规律，解题思路如下：（1）首先明确平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，且两个不同的点横坐标不能相同，据此即可推导a、b的取值要求；（2）先根据AB平行x轴确定点B的纵坐标与A相同，再结合AB的长度，分点B在点A左侧、右侧两种情况计算横坐标，即可得到B的坐标，注意不要漏解。
【解析】
（1）
∵MN//x轴，
∴M、N两点的纵坐标相等，且两点不能重合（否则无法构成直线MN）
∴b = -2，且a≠3；
（2）
∵AB//x轴，点A坐标为(3,2)，
∴点B的纵坐标与A相等，即纵坐标为2
设点B的横坐标为x，
∵AB=5，
∴两点横坐标差的绝对值为5，即|x - 3|=5
当x - 3=5时，x=8；当x - 3=-5时，x=-2
∴点B的坐标为(-2,2)或(8,2)
【答案】
(1)≠3，=-2；(2)(-2,2)或(8,2)
【知识点】
平行于x轴的点的坐标特征，两点间距离计算，分类讨论
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题，核心要掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，解题时要注意两点不重合的隐含条件，求距离对应的点坐标时要考虑多位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7