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1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$是$BC$的中点,$E,F$分别是$AB,AC$上的点,且$AE=AF$.
求证:$DE=DF$.
求证:$DE=DF$.
答案
证明:如答图,连接AD.
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠EAD=∠FAD.
在△AED和△AFD中,
$\begin{cases} AE=AF, \\ ∠EAD=∠FAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AED≌△AFD(SAS),
∴DE=DF.
2. 如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$是$BC$的中点,点$E$在$AD$上,连接$BE$,$CE$.
(1)求证:$BE=CE$;
(2)如图②,若$BE$的延长线交$AC$于点$F$,且$BF ⊥ AC$,垂足为$F$,其他条件不变,求证:$∠ CAD=∠ CBF$.
(1)求证:$BE=CE$;
(2)如图②,若$BE$的延长线交$AC$于点$F$,且$BF ⊥ AC$,垂足为$F$,其他条件不变,求证:$∠ CAD=∠ CBF$.
答案
(1)
∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴AD是线段BC的垂直平分线.
∵点E在AD上,
∴BE=CE.
(2)
∵AD⊥BC,BF⊥AC,
∴∠BDE=∠BFA=90°.
∵∠AEB=∠CBF+∠BDE=∠AFB+∠CAD,
∴∠CAD=∠CBF.
∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴AD是线段BC的垂直平分线.
∵点E在AD上,
∴BE=CE.
(2)
∵AD⊥BC,BF⊥AC,
∴∠BDE=∠BFA=90°.
∵∠AEB=∠CBF+∠BDE=∠AFB+∠CAD,
∴∠CAD=∠CBF.
3. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,过点$A$作$AM ⊥ BC$于点$M$,点$D$在$BA$的延长线上,$E$是$AC$上一点,且$AE=AD$,连接$DE$.求证:$DE ⊥ BC$.
答案
证明:如答图,延长DE交BC于点F.
∵AB=AC,AM⊥BC,
∴∠BAC=2∠BAM,∠AMB=90°.
∵AD=AE,
∴∠D=∠AED.
∵∠BAC是△ADE的一个外角,
∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D,
∴∠BAM=∠D,
∴DE//AM,
∴∠AMB=∠DFB=90°,
∴DF⊥BC,即DE⊥BC.
