7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=10$,$AC=8$,$BC=6$,线段$DE$的两个端点$D,E$分别在边$AC,BC$上滑动,且$DE=4$,若$M,N$分别是$DE,AB$的中点,则$MN$的最小值为 （）

A.2
B.3
C.3.5
D.4

7.B

8.(2024·射阳县月考)在$△ ABC$中,$AB=BC=20$,$∠ A=15^{ \circ }$,则$△ ABC$的面积为.

8.100

9.(2024·盐城月考)如图,过等边$△ ABC$的顶点$A$,$B$,$C$依次作$AB$,$BC$,$AC$的垂线$MG$,$MN$,$NG$,三条垂线围成$△ MNG$.若$AM=2$,则$△ MNG$的周长为.

9.18

10. 如图,在$△ ABC$中,$BD,CE$分别是$AC,AB$边上的高,$F$是$BC$的中点,连接$DE,DF$,$EF,MN$.
(1)求证:$△ DEF$是等腰三角形;
(2)若$∠ A=60°,DE=2$,求$BC$的长.

10.(1)证明:
∵BD,CE分别是AC,AB边上的高,
∴∠BDC=∠CEB=90°,
∴△BCD,△BCE为直角三角形.
∵F是BC的中点,
∴EF=DF=BF=CF=$\frac{1}{2}$BC,
∴△DEF是等腰三角形.
(2)解:
∵EF=DF=BF=CF=$\frac{1}{2}$BC,
∴∠BEF=∠ABC,∠CDF=∠ACB.
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠BFE+∠CFD=360°-2(∠ABC+∠ACB)=120°,
∴∠EFD=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴DE=EF,
∴BC=2DE=4.

11. 如图①,在$△ ABC$中,$CD,BE$分别是$AB,AC$边上的高,$M,N$分别是线段$BC,DE$的中点,连接$DM,ME,MN$.
(1)求证:$MN⊥ DE$;
(2)求证:$∠ DME=180°-2∠ A$;
(3)若将锐角$△ ABC$变为钝角$△ ABC$,如图②,上述(1)(2)中的结论是否都成立?请说明理由.

11.(1)证明:
∵CD,BE分别是AB,AC边上的高,
∴∠BDC=∠BEC=90°.
又
∵M是BC的中点,
∴DM=$\frac{1}{2}$BC,ME=$\frac{1}{2}$BC,
∴DM=ME.又
∵N为DE的中点,
∴MN⊥DE.
(2)证明:
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠BDM=∠ABC,
∠MEC=∠ACB,
∴∠BMD+∠CME=(180°-2∠ABC)+
(180°-2∠ACB)=360°-2(∠ABC+∠ACB)=360°-
2(180°-∠A)=2∠A,
∴∠DME=180°-2∠A.
(3)解:(1)中的结论成立,(2)中的结论不成立.理由:在
△ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,
∴∠BDC=
∠BEC=90°.又
∵M为BC的中点,
∴EM=DM=$\frac{1}{2}$BC=
BM=CM.
∵N为DE的中点,
∴MN⊥DE.
∵DM=
ME=BM=MC,
∴∠MEC=∠ACB,∠MDB=∠ABC,
∴ ∠BME + ∠CMD = 2∠ACB + 2∠ABC =
2(180°-∠A) = 360° - 2∠A,
∴ ∠DME = 180° -
(360°-2∠A)=2∠A-180°.