三、解答题(共52分)
9.(17分)(2025·工业园区期中)如图,AB是$\odot O$的直径,D是弦AC的延长线上一点,且$CD=$$AC$,DB的延长线交$\odot O$于点E.
(1)求证:$CD=CE$;
(2)连接AE,若$∠ D=26°$,求$∠ BAE$的度数.

9.(1)证明:连接BC,如答图,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,即BC⊥AD.
∵CD=AC,则BC垂直平分AD,
∴AB=BD,
∴∠BAD=∠D.
∵∠BAD=∠BEC,
∴∠BEC=∠D,
∴CD=CE.
(2)解:
∵∠D=26°,
∴∠BAC=∠D=26°.
∵∠ABE是△ABD的一个外角,
∴∠ABE=∠BAC+∠D=52°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠BAE=90°-∠ABE=90°-52°=38°.

10. (17 分) 如图,有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度 AB 为 16 m,拱高($\overset{\frown}{AB}$的中点 C 到弦 AB 的距离)CD 为 4 m. 有一艘宽为 10 m 的货船,船舱顶部为长方形,并高出水面 2 m,则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥,并说明理由.

10.解:此货船能顺利通过这座拱桥.
理由:如答图,设圆弧形拱桥所在圆的圆心为O,则点O在CD的延长线上,连接OB.
∵OC⊥AB,
∴D为AB的中点.
∵AB=16 m,
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=8 m.
又
∵CD=4 m,
设OB=OC=r m,则OD=(r-4)m.
在Rt△BOD中,根据勾股定理,得$r^2=(r-4)^2+8^2$,解得r=10,
∴圆弧形拱桥所在圆的半径为10 m.
如答图,连接ON.
∵CD=4 m,船舱顶部为长方形并高出水面2 m,
∴CE=4-2=2(m),
∴OE=10-2=8(m).
在Rt△OEN中,
∴$EN=\sqrt{ON^2-OE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6(\mathrm{m})$.
∴MN=2EN=2×6=12(m).
∵12 m＞10 m,
∴此货船能顺利通过这座拱桥.

11. (18分)(2025·盐城一模)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$D$为边$AC$上的点,以$AD$为直径作$\odot O$交$AB$于点$F$,连接$BD$并延长交$\odot O$于点$E$,连接$CE$,$CE=BC$.
(1)求证:$CE$是$\odot O$的切线;
(2)若$CD=1$,$BC=3$,求点$D$到$AB$的距离.

11.(1)证明:如答图,连接OE.
∵OD=OE,
∴∠OED=∠ODE.
∵∠BDC=∠ODE,
∴∠BDC=∠OED.
∵∠ACB=90°,
∴∠CBE+∠BDC=90°.
∵CE=BC,
∴∠CBE=∠CEB,
∴∠CBE+∠BDC=∠CEB+∠OED,
∴∠OEC=90°,即OE⊥CE.
∵OE是⊙O的半径.
∴CE是⊙O的切线.
(2)解:如答图,连接DF.
设⊙O的半径为r,则OD=OE=r,OC=OD+CD=r+1.
在Rt△OCE中,$OE^2+CE^2=OC^2$,
∵BC=CE=3,
∴$r^2+3^2=(r+1)^2$,解得r=4,
∴AD=8,AC=9.
在Rt△ACB中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$.
∵AD为⊙O的直径,
∴DF⊥AB.
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BDC}$,
∴$\frac{1}{2}AC×BC=\frac{1}{2}AB×DF+\frac{1}{2}CD×BC$,
即$\frac{1}{2}×9×3=\frac{1}{2}×3\sqrt{10}×DF+\frac{1}{2}×1×3$,解得$DF=\frac{4\sqrt{10}}{5}$,
即点D到AB的距离为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$.