【变式2】设$a,b\in\mathbb{R}$，则“$ab - a - b + 1 = 0$”的充要条件是（）

A.$a,b$中至少有一个为1
B.$a,b$都不为0
C.$a,b$都为1
D.$a,b$不都为1

A 由$ab-a-b+1=0$可得，$(a-1)(b-1)=0$，则$a-1$和$b-1$中至少有一个为0，即$a,b$中至少有一个为1。故“$ab-a-b+1=0$”的充要条件是“$a,b$中至少有一个为1”。

【典例3】求证：“一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有一个正根和一个负根”的充要条件是“$ac ＜ 0$”.
解题指导 第1步：先证明充分性，即根据“$ac ＜ 0$”推出“一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有一个正根和一个负根”.
第2步：再证明必要性，即根据“一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有一个正根和一个负根”推出“$ac ＜ 0$”.
答案 证明：充分性：若$ac ＜ 0$，则在一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$中，$\Delta ＞ 0$，此时方程有两个不相等的根.由韦达定理，得$x_1x_2 = \frac{c}{a} ＜ 0$，即方程的两个根的符号相反，所以一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有一个正根和一个负根.
必要性：若一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有一个正根和一个负根，由韦达定理，得$x_1x_2 = \frac{c}{a} ＜ 0$，所以$ac ＜ 0$.
综上，“一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有一个正根和一个负根”的充要条件是“$ac ＜ 0$”.

证明：
充分性：若$ac＜0$，则在一元二次方程$ax^2+bx+c=0$中，$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，此时方程有两个不相等的实数根。
由韦达定理，得两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} ＜ 0$，即方程的两个根符号相反，所以一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有一个正根和一个负根。
必要性：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有一个正根和一个负根，可知方程有两个不等实根，且两根乘积小于0。
由韦达定理，得$x_1x_2 = \frac{c}{a} ＜ 0$，因为$a ≠ 0$，$a^2＞0$，不等式两边同乘$a^2$，可得$ac ＜ 0$。
综上，“一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有一个正根和一个负根”的充要条件是“$ac＜0$”。

【变式3】求证：“$a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc$”是“$△ ABC$是等边三角形”的充要条件（这里$a$，$b$，$c$分别是$△ ABC$的三边长）。

证明：充分性：由$a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$，
得$2(a^2+b^2+c^2)=2ab+2ac+2bc$，
整理，得$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0$，
所以$a=b=c$，即$△ ABC$是等边三角形。
必要性：因为$△ ABC$是等边三角形，所以$a=b=c$，
所以$a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$。
综上，“$a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$”是“$△ ABC$是等边三角形”的充要条件。