登录
1. 如图,在所标识的角中,互为对顶角的两个角是 （
A.∠2和∠3
B.∠1和∠3
C.∠1和∠4
D.∠1和∠2
A
）A.∠2和∠3
B.∠1和∠3
C.∠1和∠4
D.∠1和∠2
答案
1.A
解析
【分析】
解决本题首先要明确对顶角的判定条件：一是两个角有公共顶点，二是一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，即两个角是两条直线相交形成的、没有公共边的角。接下来按照这个条件逐一排查四个选项即可得出正确答案。
【解析】
根据对顶角的定义，对顶角需满足：①有公共顶点；②两边互为反向延长线。
对各选项逐一判断：
A. ∠2和∠3有公共顶点，且两边互为反向延长线，符合对顶角的定义，该选项正确；
B. ∠1和∠3没有公共顶点，不符合对顶角的要求，该选项错误；
C. ∠1和∠4没有公共顶点，不符合对顶角的要求，该选项错误；
D. ∠1和∠2没有公共顶点，不符合对顶角的要求，该选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
对顶角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，只要熟练掌握对顶角的判定特征就能快速选出答案。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确对顶角的判定条件：一是两个角有公共顶点，二是一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，即两个角是两条直线相交形成的、没有公共边的角。接下来按照这个条件逐一排查四个选项即可得出正确答案。
【解析】
根据对顶角的定义，对顶角需满足：①有公共顶点；②两边互为反向延长线。
对各选项逐一判断：
A. ∠2和∠3有公共顶点，且两边互为反向延长线，符合对顶角的定义，该选项正确；
B. ∠1和∠3没有公共顶点，不符合对顶角的要求，该选项错误；
C. ∠1和∠4没有公共顶点，不符合对顶角的要求，该选项错误；
D. ∠1和∠2没有公共顶点，不符合对顶角的要求，该选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
对顶角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，只要熟练掌握对顶角的判定特征就能快速选出答案。
【难度系数】
0.9
2. 如图，$AB⊥CD$，垂足为$O$，$EF$为过点$O$的一条直线，则$∠1$与$∠2$一定成立的关系是 （
A.相等
B.互补
C.互余
D.不确定
C
）A.相等
B.互补
C.互余
D.不确定
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB⊥CD入手，垂直可得90°夹角，再结合EF过点O的条件，利用对顶角相等的性质，找到∠1和∠2之间的数量关系。首先看AB和CD垂直，得到∠COB=90°，可知∠1与∠COE的和为90°，再观察到∠2和∠COE是对顶角，二者相等，将∠COE替换为∠2，就能推出∠1和∠2的和为90°，即互余。
【解析】
解：
∵AB⊥CD，垂足为O，
∴∠COB=90°，即∠1 + ∠COE = 90°，
∵直线EF与直线CD相交于点O，∠2与∠COE是对顶角，
∴∠2=∠COE（对顶角相等），
将∠COE替换为∠2，可得∠1 + ∠2 = 90°，
∴∠1与∠2互余。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
垂直的定义；对顶角的性质；余角的定义
【点评】
本题是相交线相关的基础题目，结合了垂直、对顶角、互余多个基础知识点，解题的关键是能准确识别图形中的对顶角，结合垂直的90°角进行角的等量代换。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件AB⊥CD入手，垂直可得90°夹角，再结合EF过点O的条件，利用对顶角相等的性质，找到∠1和∠2之间的数量关系。首先看AB和CD垂直，得到∠COB=90°，可知∠1与∠COE的和为90°，再观察到∠2和∠COE是对顶角，二者相等，将∠COE替换为∠2，就能推出∠1和∠2的和为90°，即互余。
【解析】
解：
∵AB⊥CD，垂足为O，
∴∠COB=90°，即∠1 + ∠COE = 90°，
∵直线EF与直线CD相交于点O，∠2与∠COE是对顶角，
∴∠2=∠COE（对顶角相等），
将∠COE替换为∠2，可得∠1 + ∠2 = 90°，
∴∠1与∠2互余。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
垂直的定义；对顶角的性质；余角的定义
【点评】
本题是相交线相关的基础题目，结合了垂直、对顶角、互余多个基础知识点，解题的关键是能准确识别图形中的对顶角，结合垂直的90°角进行角的等量代换。
【难度系数】
0.8
3.【情境题】世界上最早记载潜望镜原理的古书是《淮南万毕术》.书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻.”现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的.如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（
A.内错角相等，两直线平行
B.同旁内角互补，两直线平行
C.对顶角相等
D.两点确定一条直线
A
）A.内错角相等，两直线平行
B.同旁内角互补，两直线平行
C.对顶角相等
D.两点确定一条直线
答案
3.A
解析
【分析】
首先明确潜望镜的结构：两块平面镜互相平行，且都与水平方向呈45°角。入射光线水平射向第一块镜面，经反射后沿竖直方向射向第二块镜面，再次反射后水平射出进入人眼。我们把两块平行的镜面看作被截线，中间竖直的反射光线看作截线，光线与两块镜面形成的夹角是内错角，这两个内错角相等，因此最终的出射光线和初始入射光线平行，对应原理就是内错角相等，两直线平行。
【解析】
潜望镜的两块平面镜互相平行，均与水平方向成45°角：
1. 水平向右的入射光线射到第一块平面镜上，根据光的反射规律，反射光线竖直向下，射向第二块平面镜；
2. 由于两块平面镜平行，竖直光线作为截线，与两块镜面形成的角为内错角，大小相等；
3. 光线经第二块平面镜反射后水平向左射出，和初始入射光线平行，该过程应用的数学原理为“内错角相等，两直线平行”。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
平行线的判定；内错角
【点评】
本题结合潜望镜的实际应用场景，将数学知识与生活、物理常识结合，考查学生对平行线判定定理的理解和应用能力，引导学生关注知识在实际中的运用。
【难度系数】
0.8
首先明确潜望镜的结构：两块平面镜互相平行，且都与水平方向呈45°角。入射光线水平射向第一块镜面，经反射后沿竖直方向射向第二块镜面，再次反射后水平射出进入人眼。我们把两块平行的镜面看作被截线，中间竖直的反射光线看作截线，光线与两块镜面形成的夹角是内错角，这两个内错角相等，因此最终的出射光线和初始入射光线平行，对应原理就是内错角相等，两直线平行。
【解析】
潜望镜的两块平面镜互相平行，均与水平方向成45°角：
1. 水平向右的入射光线射到第一块平面镜上，根据光的反射规律，反射光线竖直向下，射向第二块平面镜；
2. 由于两块平面镜平行，竖直光线作为截线，与两块镜面形成的角为内错角，大小相等；
3. 光线经第二块平面镜反射后水平向左射出，和初始入射光线平行，该过程应用的数学原理为“内错角相等，两直线平行”。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
平行线的判定；内错角
【点评】
本题结合潜望镜的实际应用场景，将数学知识与生活、物理常识结合，考查学生对平行线判定定理的理解和应用能力，引导学生关注知识在实际中的运用。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$AB // CD$，$AC ⊥ BC$，则图中与$∠ 1$互余的角有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.B
解析
【分析】
首先明确互余的定义：若两个角的度数和为90°，则这两个角互余。解题时先结合垂直的性质得到直角，再利用平角为180°的性质找到第一个与∠1互余的角；之后根据平行线的内错角相等的性质，推导得到第二个与∠1互余的角，最后统计符合要求的角的个数即可。
【解析】
解：1. 由$AC⊥BC$，可得$∠ACB=90°$。
因为点$C$在直线$CD$上，$∠1+∠ACB+∠BCD=180°$，代入$∠ACB=90°$，得：
$∠1+∠BCD=180°-90°=90°$，故$∠BCD$与$∠1$互余。
2. 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ABC=∠BCD$。
结合$∠1+∠BCD=90°$，可推出$∠1+∠ABC=90°$，故$∠ABC$也与$∠1$互余。
其余角均不满足和$∠1$相加为90°的要求，因此共有2个与$∠1$互余的角。
【答案】
B
【知识点】
互余的定义，平行线的性质，垂直的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题时需结合几何性质逐一排查符合条件的角，注意避免漏数或多算。
【难度系数】
0.7
首先明确互余的定义：若两个角的度数和为90°，则这两个角互余。解题时先结合垂直的性质得到直角，再利用平角为180°的性质找到第一个与∠1互余的角；之后根据平行线的内错角相等的性质，推导得到第二个与∠1互余的角，最后统计符合要求的角的个数即可。
【解析】
解：1. 由$AC⊥BC$，可得$∠ACB=90°$。
因为点$C$在直线$CD$上，$∠1+∠ACB+∠BCD=180°$，代入$∠ACB=90°$，得：
$∠1+∠BCD=180°-90°=90°$，故$∠BCD$与$∠1$互余。
2. 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ABC=∠BCD$。
结合$∠1+∠BCD=90°$，可推出$∠1+∠ABC=90°$，故$∠ABC$也与$∠1$互余。
其余角均不满足和$∠1$相加为90°的要求，因此共有2个与$∠1$互余的角。
【答案】
B
【知识点】
互余的定义，平行线的性质，垂直的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题时需结合几何性质逐一排查符合条件的角，注意避免漏数或多算。
【难度系数】
0.7
5. 如图，下列结论错误的是 （
A.$∠ 1$与$∠ 2$是同旁内角
B.$∠ 1$与$∠ 6$是内错角
C.$∠ 2$与$∠ 5$是内错角
D.$∠ 3$与$∠ 5$是同位角
C
）A.$∠ 1$与$∠ 2$是同旁内角
B.$∠ 1$与$∠ 6$是内错角
C.$∠ 2$与$∠ 5$是内错角
D.$∠ 3$与$∠ 5$是同位角
答案
5.C
解析
【分析】
要判断各选项的正误，首先需明确同位角、内错角、同旁内角的定义：三类角都是两条直线被第三条直线（截线）所截形成的，其中同位角在截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧；内错角在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间；同旁内角在截线的同旁，且夹在两条被截直线之间。解题时先找每对角对应的截线和被截线，再结合定义逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. ∠1与∠2是水平直线、最上方斜线被中间斜线所截形成的角，二者在截线同旁，且夹在两条被截线之间，属于同旁内角，结论正确，不符合题意；
B. ∠1与∠6是最上方斜线、中间斜线被水平直线所截形成的角，二者在截线两侧，且夹在两条被截线之间，属于内错角，结论正确，不符合题意；
C. ∠2与∠5不是两条直线被同一条截线所截形成的角，不满足内错角的定义，结论错误，符合题意；
D. ∠3与∠5是水平直线、最下方斜线被中间斜线所截形成的角，二者在截线同旁，且在两条被截线的同一侧，属于同位角，结论正确，不符合题意。
综上，本题选结论错误的选项。
【答案】
C
【知识点】
同位角识别，内错角识别，同旁内角识别
【点评】
本题是三线八角的基础判断题，解题核心是先确定每对角对应的截线和被截线，再结合三类角的位置特征判断，注意不要将不是同一组截线、被截线形成的角归为这三类角。
【难度系数】
0.7
要判断各选项的正误，首先需明确同位角、内错角、同旁内角的定义：三类角都是两条直线被第三条直线（截线）所截形成的，其中同位角在截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧；内错角在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间；同旁内角在截线的同旁，且夹在两条被截直线之间。解题时先找每对角对应的截线和被截线，再结合定义逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. ∠1与∠2是水平直线、最上方斜线被中间斜线所截形成的角，二者在截线同旁，且夹在两条被截线之间，属于同旁内角，结论正确，不符合题意；
B. ∠1与∠6是最上方斜线、中间斜线被水平直线所截形成的角，二者在截线两侧，且夹在两条被截线之间，属于内错角，结论正确，不符合题意；
C. ∠2与∠5不是两条直线被同一条截线所截形成的角，不满足内错角的定义，结论错误，符合题意；
D. ∠3与∠5是水平直线、最下方斜线被中间斜线所截形成的角，二者在截线同旁，且在两条被截线的同一侧，属于同位角，结论正确，不符合题意。
综上，本题选结论错误的选项。
【答案】
C
【知识点】
同位角识别，内错角识别，同旁内角识别
【点评】
本题是三线八角的基础判断题，解题核心是先确定每对角对应的截线和被截线，再结合三类角的位置特征判断，注意不要将不是同一组截线、被截线形成的角归为这三类角。
【难度系数】
0.7
6.如图,下列条件不能判定直线 $ l_1 // l_2 $ 的是 （
A.$ ∠1 = ∠3 $
B.$ ∠2 + ∠4 = 180° $
C.$ ∠2 = ∠3 $
D.$ ∠4 = ∠5 $
C
）A.$ ∠1 = ∠3 $
B.$ ∠2 + ∠4 = 180° $
C.$ ∠2 = ∠3 $
D.$ ∠4 = ∠5 $
答案
6.C
解析
【分析】
要判定直线$l_1// l_2$，需结合平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行，逐个分析各选项中角的位置关系，判断是否满足平行线的判定条件即可。
【解析】
A选项：$∠1$和$∠3$是直线$l_1$、$l_2$被截线所形成的内错角，若$∠1=∠3$，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$l_1// l_2$，不符合题意；
B选项：$∠2$和$∠4$是直线$l_1$、$l_2$被截线所形成的同旁内角，若$∠2+∠4=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定$l_1// l_2$，不符合题意；
C选项：$∠2$和$∠3$不是$l_1$、$l_2$被同一条截线截得的同位角、内错角，二者相等无法推出$l_1// l_2$，符合题意；
D选项：$∠4$和$∠5$是直线$l_1$、$l_2$被截线所形成的同位角，若$∠4=∠5$，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定$l_1// l_2$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；同位角；内错角
【点评】
本题考查平行线的判定，解题关键是正确区分同位角、内错角、同旁内角的位置关系，再结合判定定理判断即可，属于基础题型，熟练掌握相关定理就能快速作答。
【难度系数】
0.8
要判定直线$l_1// l_2$，需结合平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行，逐个分析各选项中角的位置关系，判断是否满足平行线的判定条件即可。
【解析】
A选项：$∠1$和$∠3$是直线$l_1$、$l_2$被截线所形成的内错角，若$∠1=∠3$，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$l_1// l_2$，不符合题意；
B选项：$∠2$和$∠4$是直线$l_1$、$l_2$被截线所形成的同旁内角，若$∠2+∠4=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定$l_1// l_2$，不符合题意；
C选项：$∠2$和$∠3$不是$l_1$、$l_2$被同一条截线截得的同位角、内错角，二者相等无法推出$l_1// l_2$，符合题意；
D选项：$∠4$和$∠5$是直线$l_1$、$l_2$被截线所形成的同位角，若$∠4=∠5$，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定$l_1// l_2$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；同位角；内错角
【点评】
本题考查平行线的判定，解题关键是正确区分同位角、内错角、同旁内角的位置关系，再结合判定定理判断即可，属于基础题型，熟练掌握相关定理就能快速作答。
【难度系数】
0.8
