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1. 使$\sqrt{3x - 1}$有意义的$x$的取值范围是（
A.$x＞\dfrac{1}{3}$
B.$x＞-\dfrac{1}{3}$
C.$x≥\dfrac{1}{3}$
D.$x≥-\dfrac{1}{3}$
C
）.A.$x＞\dfrac{1}{3}$
B.$x＞-\dfrac{1}{3}$
C.$x≥\dfrac{1}{3}$
D.$x≥-\dfrac{1}{3}$
答案
1.C
解析
【分析】
要确定使二次根式有意义的x的取值范围，首先回忆二次根式的性质：只有被开方数为非负数时，二次根式才有意义。我们先根据这个性质列出关于x的不等式，再正确解不等式就能得到x的取值范围，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，
因此$\sqrt{3x - 1}$有意义时，需满足：
$3x - 1 ≥ 0$
移项得：$3x ≥ 1$
两边同时除以3得：$x ≥ \frac{1}{3}$
因此符合条件的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查二次根式的成立条件，解题时需注意不要遗漏被开方数可以等于0的情况，正确求解不等式即可得分。
【难度系数】
0.9
要确定使二次根式有意义的x的取值范围，首先回忆二次根式的性质：只有被开方数为非负数时，二次根式才有意义。我们先根据这个性质列出关于x的不等式，再正确解不等式就能得到x的取值范围，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，
因此$\sqrt{3x - 1}$有意义时，需满足：
$3x - 1 ≥ 0$
移项得：$3x ≥ 1$
两边同时除以3得：$x ≥ \frac{1}{3}$
因此符合条件的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查二次根式的成立条件，解题时需注意不要遗漏被开方数可以等于0的情况，正确求解不等式即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 下面的二次根式中，最简二次根式是（
A.$\sqrt{\dfrac{a}{3}}$
B.$\sqrt{a + 5}$
C.$\sqrt{5a^2}$
D.$\sqrt{8a}$
B
）.A.$\sqrt{\dfrac{a}{3}}$
B.$\sqrt{a + 5}$
C.$\sqrt{5a^2}$
D.$\sqrt{8a}$
答案
2.B
解析
【分析】
判断最简二次根式需要依据两个核心标准：第一，被开方数不含分母；第二，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需逐一验证四个选项是否同时满足这两个标准，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{\dfrac{a}{3}}$的被开方数含有分母3，不符合条件①，不是最简二次根式，可化简为$\dfrac{\sqrt{3a}}{3}$，排除A；
选项B：$\sqrt{a+5}$的被开方数是整式$a+5$，且不存在能开得尽方的因式，同时满足两个条件，是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{5a^2}$的被开方数含有能开得尽方的因式$a^2$，不符合条件②，可化简为$|a|\sqrt{5}$，不是最简二次根式，排除C；
选项D：$\sqrt{8a}$的被开方数中8可拆为$4×2$，4是能开得尽方的因数，不符合条件②，可化简为$2\sqrt{2a}$，不是最简二次根式，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式章节的基础题型，核心考查对最简二次根式定义的理解和运用，牢记判定的两个标准就能快速解题。
【难度系数】
0.8
判断最简二次根式需要依据两个核心标准：第一，被开方数不含分母；第二，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需逐一验证四个选项是否同时满足这两个标准，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{\dfrac{a}{3}}$的被开方数含有分母3，不符合条件①，不是最简二次根式，可化简为$\dfrac{\sqrt{3a}}{3}$，排除A；
选项B：$\sqrt{a+5}$的被开方数是整式$a+5$，且不存在能开得尽方的因式，同时满足两个条件，是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{5a^2}$的被开方数含有能开得尽方的因式$a^2$，不符合条件②，可化简为$|a|\sqrt{5}$，不是最简二次根式，排除C；
选项D：$\sqrt{8a}$的被开方数中8可拆为$4×2$，4是能开得尽方的因数，不符合条件②，可化简为$2\sqrt{2a}$，不是最简二次根式，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式章节的基础题型，核心考查对最简二次根式定义的理解和运用，牢记判定的两个标准就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 下列二次根式中与$\sqrt{24}$是同类二次根式的是（
A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{30}$
C.$\sqrt{48}$
D.$\sqrt{54}$
D
）.A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{30}$
C.$\sqrt{48}$
D.$\sqrt{54}$
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确同类二次根式的判定规则：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。解题思路分为两步：第一步先将题干中的$\sqrt{24}$化为最简二次根式，第二步依次把四个选项的二次根式也化为最简形式，对比被开方数，和$\sqrt{24}$化简后的被开方数相同的就是正确答案。
【解析】
首先化简题干中的二次根式：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，化简后被开方数为6。
接下来分别化简四个选项：
A选项：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，不符合要求；
B选项：$\sqrt{30}$已经是最简二次根式，被开方数为30，不符合要求；
C选项：$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，被开方数为3，不符合要求；
D选项：$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$，被开方数为6，和$\sqrt{24}$是同类二次根式。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式判定；二次根式化简；最简二次根式
【点评】
本题是同类二次根式判定的基础题型，解题核心是先将所有二次根式化为最简形式，再对比被开方数，掌握二次根式的化简规则是得分的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确同类二次根式的判定规则：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。解题思路分为两步：第一步先将题干中的$\sqrt{24}$化为最简二次根式，第二步依次把四个选项的二次根式也化为最简形式，对比被开方数，和$\sqrt{24}$化简后的被开方数相同的就是正确答案。
【解析】
首先化简题干中的二次根式：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，化简后被开方数为6。
接下来分别化简四个选项：
A选项：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，不符合要求；
B选项：$\sqrt{30}$已经是最简二次根式，被开方数为30，不符合要求；
C选项：$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，被开方数为3，不符合要求；
D选项：$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$，被开方数为6，和$\sqrt{24}$是同类二次根式。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式判定；二次根式化简；最简二次根式
【点评】
本题是同类二次根式判定的基础题型，解题核心是先将所有二次根式化为最简形式，再对比被开方数，掌握二次根式的化简规则是得分的关键。
【难度系数】
0.8
4.若$m$为实数，则$\sqrt{m^2 + 4m + 5}$的值一定是（
A.整数
B.正整数
C.正数
D.非负数
C
）.A.整数
B.正整数
C.正数
D.非负数
答案
4.C
解析
【分析】
要判断二次根式$\sqrt{m^2 + 4m + 5}$的取值，首先需要确定被开方数的取值范围。被开方数是二次三项式，可通过配方法将其变形为完全平方式加常数的形式，再结合实数平方的非负性判断被开方数的范围，最后根据二次根式的性质得到原式的取值，逐一排除错误选项即可。
【解析】
首先对被开方数进行配方：
$m^2 + 4m + 5 = m^2 + 4m + 4 + 1 = (m+2)^2 + 1$
∵$m$为实数，根据平方的非负性，得$(m+2)^2 ≥ 0$
∴$(m+2)^2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1$，即被开方数的取值范围是大于等于1，恒大于0
根据二次根式的性质，$\sqrt{a} ≥ 0$（$a≥0$），可得：
$\sqrt{m^2 + 4m + 5} ≥ \sqrt{1} = 1 ＞ 0$，因此原式的值一定是正数。
再验证其他选项：
当$m=0$时，原式=$\sqrt{0+0+5}=\sqrt{5}$，不是整数也不是正整数，排除A、B；
原式最小值为1，不可能等于0，因此不属于非负数（非负数包含0），排除D。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
配方法的应用，平方的非负性，二次根式的性质
【点评】
本题核心考察对配方法的掌握以及非负性概念的理解，解题关键是通过配方准确判断被开方数的取值范围，注意区分正数和非负数的差异，避免因忽略0的情况误选D。
【难度系数】
0.7
要判断二次根式$\sqrt{m^2 + 4m + 5}$的取值，首先需要确定被开方数的取值范围。被开方数是二次三项式，可通过配方法将其变形为完全平方式加常数的形式，再结合实数平方的非负性判断被开方数的范围，最后根据二次根式的性质得到原式的取值，逐一排除错误选项即可。
【解析】
首先对被开方数进行配方：
$m^2 + 4m + 5 = m^2 + 4m + 4 + 1 = (m+2)^2 + 1$
∵$m$为实数，根据平方的非负性，得$(m+2)^2 ≥ 0$
∴$(m+2)^2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1$，即被开方数的取值范围是大于等于1，恒大于0
根据二次根式的性质，$\sqrt{a} ≥ 0$（$a≥0$），可得：
$\sqrt{m^2 + 4m + 5} ≥ \sqrt{1} = 1 ＞ 0$，因此原式的值一定是正数。
再验证其他选项：
当$m=0$时，原式=$\sqrt{0+0+5}=\sqrt{5}$，不是整数也不是正整数，排除A、B；
原式最小值为1，不可能等于0，因此不属于非负数（非负数包含0），排除D。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
配方法的应用，平方的非负性，二次根式的性质
【点评】
本题核心考察对配方法的掌握以及非负性概念的理解，解题关键是通过配方准确判断被开方数的取值范围，注意区分正数和非负数的差异，避免因忽略0的情况误选D。
【难度系数】
0.7
5. 下列各数分别与$(2-\sqrt{3})$相乘，结果为有理数的是（
A.$\sqrt{3}$
B.$2+\sqrt{3}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$-2+\sqrt{3}$
B
）.A.$\sqrt{3}$
B.$2+\sqrt{3}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$-2+\sqrt{3}$
答案
5.B
解析
【分析】
要找出与$(2-\sqrt{3})$相乘结果为有理数的数，有两种解题思路：一是根据有理化因式的特征，形如$a-\sqrt{b}$的式子的有理化因式为$a+\sqrt{b}$，二者相乘可利用平方差公式消去根号得到有理数；二是逐个计算每个选项与$(2-\sqrt{3})$的乘积，判断结果是否为有理数。
【解析】
我们逐个计算各选项与$(2-\sqrt{3})$的乘积：
选项A：$(2-\sqrt{3})×\sqrt{3}=2\sqrt{3}-3$，结果含二次根式，是无理数，不符合要求；
选项B：利用平方差公式计算，$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2 - (\sqrt{3})^2=4-3=1$，1是有理数，符合要求；
选项C：$(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=(2-\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$，结果含二次根式，是无理数，不符合要求；
选项D：$(2-\sqrt{3})(-2+\sqrt{3})=-(2-\sqrt{3})^2=-7+4\sqrt{3}$，结果含二次根式，是无理数，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；平方差公式；有理化因式
【点评】
本题是基础运算类题目，既可以通过有理化因式的特征快速定位答案，也可以通过逐一计算验证结果，掌握平方差公式的结构特点能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要找出与$(2-\sqrt{3})$相乘结果为有理数的数，有两种解题思路：一是根据有理化因式的特征，形如$a-\sqrt{b}$的式子的有理化因式为$a+\sqrt{b}$，二者相乘可利用平方差公式消去根号得到有理数；二是逐个计算每个选项与$(2-\sqrt{3})$的乘积，判断结果是否为有理数。
【解析】
我们逐个计算各选项与$(2-\sqrt{3})$的乘积：
选项A：$(2-\sqrt{3})×\sqrt{3}=2\sqrt{3}-3$，结果含二次根式，是无理数，不符合要求；
选项B：利用平方差公式计算，$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2 - (\sqrt{3})^2=4-3=1$，1是有理数，符合要求；
选项C：$(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=(2-\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$，结果含二次根式，是无理数，不符合要求；
选项D：$(2-\sqrt{3})(-2+\sqrt{3})=-(2-\sqrt{3})^2=-7+4\sqrt{3}$，结果含二次根式，是无理数，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；平方差公式；有理化因式
【点评】
本题是基础运算类题目，既可以通过有理化因式的特征快速定位答案，也可以通过逐一计算验证结果，掌握平方差公式的结构特点能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
6. 下列运算错误的是（
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}·\sqrt{3}=\sqrt{6}$
C.$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{3}$
D.$(-\sqrt{2})^2=2$
A
）.A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}·\sqrt{3}=\sqrt{6}$
C.$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{3}$
D.$(-\sqrt{2})^2=2$
答案
6.A
解析
【分析】
这道题考查二次根式的基本运算规则，解题时需要逐个分析每个选项，结合二次根式加减、乘除、乘方的运算法则判断对错。解题的关键是区分二次根式加减和乘除的不同要求：只有同类二次根式才能合并，而乘除运算可以直接将根号内的数进行对应运算后再开方。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接相加合并，$\sqrt{2}+\sqrt{3}$无法化简为$\sqrt{5}$，因此该运算错误。
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2}·\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，运算正确。
C选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{6÷2}=\sqrt{3}$，运算正确。
D选项：根据平方的性质，$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2$，运算正确。
综上，运算错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算；二次根式的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的基本运算规则，需要注意区分加减和乘除的运算差异，不要混淆合并同类二次根式和乘除运算的要求。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次根式的基本运算规则，解题时需要逐个分析每个选项，结合二次根式加减、乘除、乘方的运算法则判断对错。解题的关键是区分二次根式加减和乘除的不同要求：只有同类二次根式才能合并，而乘除运算可以直接将根号内的数进行对应运算后再开方。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接相加合并，$\sqrt{2}+\sqrt{3}$无法化简为$\sqrt{5}$，因此该运算错误。
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2}·\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，运算正确。
C选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{6÷2}=\sqrt{3}$，运算正确。
D选项：根据平方的性质，$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2$，运算正确。
综上，运算错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算；二次根式的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的基本运算规则，需要注意区分加减和乘除的运算差异，不要混淆合并同类二次根式和乘除运算的要求。
【难度系数】
0.9
7. $\sqrt{16}$的平方根是________.
答案
7.±2
解析
【分析】
解题时要先理清两个核心概念，避免踩坑：①$\sqrt{a}$表示非负数$a$的算术平方根，结果一定是非负的；②正数的平方根有2个，且互为相反数。解题步骤分为两步，首先要先化简$\sqrt{16}$得到具体数值，再对这个数值求平方根，不能直接对16求平方根哦。
【解析】
第一步：先计算$\sqrt{16}$的值
根据算术平方根的定义，$\sqrt{16}$是16的算术平方根，因此$\sqrt{16}=4$。
第二步：求4的平方根
根据平方根的定义，如果$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根。
因为$(\pm2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$，即$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题是典型的易错题，很多同学会混淆算术平方根和平方根的概念，直接求16的平方根得到错误答案$\pm4$，解题时一定要注意先化简根号内的式子，再求最终的平方根。
【难度系数】
0.5
解题时要先理清两个核心概念，避免踩坑：①$\sqrt{a}$表示非负数$a$的算术平方根，结果一定是非负的；②正数的平方根有2个，且互为相反数。解题步骤分为两步，首先要先化简$\sqrt{16}$得到具体数值，再对这个数值求平方根，不能直接对16求平方根哦。
【解析】
第一步：先计算$\sqrt{16}$的值
根据算术平方根的定义，$\sqrt{16}$是16的算术平方根，因此$\sqrt{16}=4$。
第二步：求4的平方根
根据平方根的定义，如果$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根。
因为$(\pm2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$，即$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题是典型的易错题，很多同学会混淆算术平方根和平方根的概念，直接求16的平方根得到错误答案$\pm4$，解题时一定要注意先化简根号内的式子，再求最终的平方根。
【难度系数】
0.5
