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8.若$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$是方程$2x+ay=5$的一组解，则$a=$ ______ 。
答案
$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
解析
【分析】
解题的核心是理解二元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们只需将已知的x、y的值代入原方程，就能得到只含未知数a的一元一次方程，再按一元一次方程的解法步骤计算，即可求出a的值。
【解析】
解：因为$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$是方程$2x+ay=5$的一组解，将其代入原方程得：
$2×1 + a×2 = 5$
化简得：$2 + 2a = 5$
移项计算得：$2a = 5 - 2 = 3$
系数化为1得：$a = \frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
二元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念应用题，只要掌握方程的解满足原方程这一核心逻辑，代入转化为一元一次方程求解即可，难度很低。
【难度系数】
0.9
解题的核心是理解二元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们只需将已知的x、y的值代入原方程，就能得到只含未知数a的一元一次方程，再按一元一次方程的解法步骤计算，即可求出a的值。
【解析】
解：因为$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$是方程$2x+ay=5$的一组解，将其代入原方程得：
$2×1 + a×2 = 5$
化简得：$2 + 2a = 5$
移项计算得：$2a = 5 - 2 = 3$
系数化为1得：$a = \frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
二元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念应用题，只要掌握方程的解满足原方程这一核心逻辑，代入转化为一元一次方程求解即可，难度很低。
【难度系数】
0.9
9. 已知$\begin{cases}x=3, \\ y=2\end{cases}$是二元一次方程$ax - by = 1$的一组解，则$6a - 4b + 2024 =$ ______ 。
答案
$\boldsymbol{2026}$
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先根据二元一次方程的解的定义，将已知的解代入原方程，得到关于a、b的关系式；其次观察待求代数式的结构，发现待求式中含字母的部分是刚才得到的关系式的整数倍，因此采用整体代入法计算即可，不需要单独求出a、b的具体值。
【解析】
解：
∵ $\begin{cases}x=3, \\ y=2\end{cases}$是二元一次方程$ax - by = 1$的解，
∴ 将$x=3$，$y=2$代入方程得：$3a - 2b = 1$。
对待求式变形可得：$6a - 4b + 2024 = 2(3a - 2b) + 2024$，
将$3a - 2b = 1$整体代入上式得：
原式$= 2×1 + 2024 = 2 + 2024 = 2026$。
【答案】
$\boldsymbol{2026}$
【知识点】
二元一次方程的解的定义；整体代入求值
【点评】
本题核心考查二元一次方程解的应用，运用整体代入的思想可简化计算过程，避免单独求解未知数带来的不必要计算，是代数式求值类的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：首先根据二元一次方程的解的定义，将已知的解代入原方程，得到关于a、b的关系式；其次观察待求代数式的结构，发现待求式中含字母的部分是刚才得到的关系式的整数倍，因此采用整体代入法计算即可，不需要单独求出a、b的具体值。
【解析】
解：
∵ $\begin{cases}x=3, \\ y=2\end{cases}$是二元一次方程$ax - by = 1$的解，
∴ 将$x=3$，$y=2$代入方程得：$3a - 2b = 1$。
对待求式变形可得：$6a - 4b + 2024 = 2(3a - 2b) + 2024$，
将$3a - 2b = 1$整体代入上式得：
原式$= 2×1 + 2024 = 2 + 2024 = 2026$。
【答案】
$\boldsymbol{2026}$
【知识点】
二元一次方程的解的定义；整体代入求值
【点评】
本题核心考查二元一次方程解的应用，运用整体代入的思想可简化计算过程，避免单独求解未知数带来的不必要计算，是代数式求值类的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
10.已知甲、乙两种物品共有13个，甲种物品每个重4 kg，乙种物品每个重7 kg，设有甲种物品$x$个，乙种物品$y$个，共重76 kg.
(1)列出关于$x$，$y$的二元一次方程组；
(2)$\begin{cases} x=12, \\ y=4 \end{cases}$与$\begin{cases} x=5, \\ y=8, \end{cases}$哪组是(1)中所列方程组的解？
(1)列出关于$x$，$y$的二元一次方程组；
(2)$\begin{cases} x=12, \\ y=4 \end{cases}$与$\begin{cases} x=5, \\ y=8, \end{cases}$哪组是(1)中所列方程组的解？
答案
解：
(1) 根据题意，可得二元一次方程组：
$\begin{cases}x + y = 13 \\4x + 7y = 76\end{cases}$
(2) 把$\begin{cases} x=12 \\ y=4 \end{cases}$代入$x+y=13$，左边$=12+4=16 ≠ 13$，不满足第一个方程，因此该组不是方程组的解；
把$\begin{cases} x=5 \\ y=8 \end{cases}$代入$x+y=13$，左边$=5+8=13$，等于右边；
代入$4x+7y=76$，左边$=4×5 + 7×8=76$，等于右边，两个方程均成立。
因此$\begin{cases} x=5 \\ y=8 \end{cases}$是(1)中所列方程组的解。
(1) 根据题意，可得二元一次方程组：
$\begin{cases}x + y = 13 \\4x + 7y = 76\end{cases}$
(2) 把$\begin{cases} x=12 \\ y=4 \end{cases}$代入$x+y=13$，左边$=12+4=16 ≠ 13$，不满足第一个方程，因此该组不是方程组的解；
把$\begin{cases} x=5 \\ y=8 \end{cases}$代入$x+y=13$，左边$=5+8=13$，等于右边；
代入$4x+7y=76$，左边$=4×5 + 7×8=76$，等于右边，两个方程均成立。
因此$\begin{cases} x=5 \\ y=8 \end{cases}$是(1)中所列方程组的解。
解析
【分析】
(1) 列二元一次方程组首先要提取题目中的等量关系：一是甲、乙两种物品总个数为13个，二是两种物品总重量为76kg，结合已设的未知数x、y，将等量关系转化为方程即可组成方程组。(2) 判断一组数值是否为方程组的解，需要把数值分别代入方程组的两个方程，若同时满足两个方程（代入后左右两边相等），则是方程组的解，只要有一个方程不满足就不是方程组的解。
【解析】
(1) 由甲乙两种物品共有13个，可得方程：$x+y=13$；
甲物品总重量为$4x$kg，乙物品总重量为$7y$kg，由总重76kg可得方程：$4x+7y=76$；
因此列出的二元一次方程组为$\begin{cases}x + y = 13 \\4x + 7y = 76\end{cases}$。
(2) 先检验$\begin{cases} x=12 \\ y=4 \end{cases}$：
将其代入$x+y=13$，左边$=12+4=16$，右边$=13$，左边≠右边，不满足第一个方程，因此该组不是方程组的解。
再检验$\begin{cases} x=5 \\ y=8 \end{cases}$：
将其代入$x+y=13$，左边$=5+8=13$，右边$=13$，左边=右边，满足第一个方程；
再代入$4x+7y=76$，左边$=4×5+7×8=20+56=76$，右边$=76$，左边=右边，满足第二个方程。
两个方程均成立，因此该组是(1)中所列方程组的解。
【答案】
(1) $\begin{cases}x + y = 13 \\4x + 7y = 76\end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=5 \\ y=8 \end{cases}$是所列方程组的解。
【知识点】
列二元一次方程组，二元一次方程组的解的检验
【点评】
本题为基础类题目，解题关键是找准实际问题中的等量关系，掌握代入验证法判断方程组解的方法，熟练掌握相关基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.85
(1) 列二元一次方程组首先要提取题目中的等量关系：一是甲、乙两种物品总个数为13个，二是两种物品总重量为76kg，结合已设的未知数x、y，将等量关系转化为方程即可组成方程组。(2) 判断一组数值是否为方程组的解，需要把数值分别代入方程组的两个方程，若同时满足两个方程（代入后左右两边相等），则是方程组的解，只要有一个方程不满足就不是方程组的解。
【解析】
(1) 由甲乙两种物品共有13个，可得方程：$x+y=13$；
甲物品总重量为$4x$kg，乙物品总重量为$7y$kg，由总重76kg可得方程：$4x+7y=76$；
因此列出的二元一次方程组为$\begin{cases}x + y = 13 \\4x + 7y = 76\end{cases}$。
(2) 先检验$\begin{cases} x=12 \\ y=4 \end{cases}$：
将其代入$x+y=13$，左边$=12+4=16$，右边$=13$，左边≠右边，不满足第一个方程，因此该组不是方程组的解。
再检验$\begin{cases} x=5 \\ y=8 \end{cases}$：
将其代入$x+y=13$，左边$=5+8=13$，右边$=13$，左边=右边，满足第一个方程；
再代入$4x+7y=76$，左边$=4×5+7×8=20+56=76$，右边$=76$，左边=右边，满足第二个方程。
两个方程均成立，因此该组是(1)中所列方程组的解。
【答案】
(1) $\begin{cases}x + y = 13 \\4x + 7y = 76\end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=5 \\ y=8 \end{cases}$是所列方程组的解。
【知识点】
列二元一次方程组，二元一次方程组的解的检验
【点评】
本题为基础类题目，解题关键是找准实际问题中的等量关系，掌握代入验证法判断方程组解的方法，熟练掌握相关基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.85
11. 下列方程中是二元一次方程的是 （）
A.$2x - y = 3$
B.$3x - 1 = 2$
C.$2x + y^2 = 0$
D.$2y + \frac{3}{y} = 1$
A.$2x - y = 3$
B.$3x - 1 = 2$
C.$2x + y^2 = 0$
D.$2y + \frac{3}{y} = 1$
答案
A
解析
【分析】
要判断一个方程是不是二元一次方程，首先要明确二元一次方程的三个判定条件：①方程中含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的次数都为1；③方程是整式方程（即分母中不含未知数）。解题时我们只需要把每个选项依次对照这三个条件排查，全部满足的就是正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
逐一分析选项：
A. $2x - y = 3$：含有x、y两个未知数，含x的项次数为1，含y的项次数为1，且是整式方程，满足二元一次方程的所有条件，符合要求；
B. $3x - 1 = 2$：只含有x一个未知数，属于一元一次方程，不符合二元一次方程的要求；
C. $2x + y^2 = 0$：含y的项$y^2$的次数为2，不满足“含未知数的项次数都是1”的要求，不符合；
D. $2y + \frac{3}{y} = 1$：分母中含有未知数y，属于分式方程，且只含有y一个未知数，不符合二元一次方程的要求。
综上，只有A选项是二元一次方程。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义、整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对二元一次方程判定条件的掌握，解题时牢记三个判定要点逐一排查即可，需注意区分“未知数的次数”和“含未知数的项的次数”，同时要注意分母含未知数的方程不属于整式方程，不满足二元一次方程的前提要求。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是不是二元一次方程，首先要明确二元一次方程的三个判定条件：①方程中含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的次数都为1；③方程是整式方程（即分母中不含未知数）。解题时我们只需要把每个选项依次对照这三个条件排查，全部满足的就是正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
逐一分析选项：
A. $2x - y = 3$：含有x、y两个未知数，含x的项次数为1，含y的项次数为1，且是整式方程，满足二元一次方程的所有条件，符合要求；
B. $3x - 1 = 2$：只含有x一个未知数，属于一元一次方程，不符合二元一次方程的要求；
C. $2x + y^2 = 0$：含y的项$y^2$的次数为2，不满足“含未知数的项次数都是1”的要求，不符合；
D. $2y + \frac{3}{y} = 1$：分母中含有未知数y，属于分式方程，且只含有y一个未知数，不符合二元一次方程的要求。
综上，只有A选项是二元一次方程。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义、整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对二元一次方程判定条件的掌握，解题时牢记三个判定要点逐一排查即可，需注意区分“未知数的次数”和“含未知数的项的次数”，同时要注意分母含未知数的方程不属于整式方程，不满足二元一次方程的前提要求。
【难度系数】
0.8
12.若$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$5x - ay = -3$的一组解，则$a$的值为（ ）
A.$-1$
B.$1$
C.$-4$
D.$4$
A.$-1$
B.$1$
C.$-4$
D.$4$
答案
A
解析
【分析】
本题可根据二元一次方程解的定义求解：已知一组未知数的值是二元一次方程的解，说明将这组值代入方程后，方程左右两边相等，因此我们只需把x、y的值代入原方程，就能得到只含参数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
将$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$代入方程$5x - ay = -3$，可得：
$5×(-1) - a×2 = -3$
计算得：$-5 - 2a = -3$
移项合并同类项：$-2a = -3 + 5$，即$-2a = 2$
两边同时除以$-2$得：$a = -1$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查代入法求参数的思路，只要准确理解方程的解的含义，正确计算一元一次方程即可得分。
【难度系数】
0.8
本题可根据二元一次方程解的定义求解：已知一组未知数的值是二元一次方程的解，说明将这组值代入方程后，方程左右两边相等，因此我们只需把x、y的值代入原方程，就能得到只含参数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
将$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$代入方程$5x - ay = -3$，可得：
$5×(-1) - a×2 = -3$
计算得：$-5 - 2a = -3$
移项合并同类项：$-2a = -3 + 5$，即$-2a = 2$
两边同时除以$-2$得：$a = -1$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查代入法求参数的思路，只要准确理解方程的解的含义，正确计算一元一次方程即可得分。
【难度系数】
0.8
