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1.“16 的算术平方根”这句话用数学符号表示为 （
A.$\sqrt{16}$
B.$\pm\sqrt{16}$
C.$\sqrt{4}$
D.$\pm\sqrt{4}$
A
）A.$\sqrt{16}$
B.$\pm\sqrt{16}$
C.$\sqrt{4}$
D.$\pm\sqrt{4}$
答案
1.A
解析
【分析】
首先回忆算术平方根的核心定义：算术平方根是一个非负数的正的平方根，其专用的数学符号是不带±的√a，其中根号下的数a是被开方数，也就是题目中给出的16。解题时先根据算术平方根只有非负结果的特点，排除带±的错误选项，再根据被开方数是16，排除根号下数字错误的选项，就能得到正确答案。
【解析】
根据算术平方根的定义：若非负数x满足x²=a，则x叫做a的算术平方根，用符号表示为√a，注意算术平方根仅表示正的平方根，平方根才需要加±号。
本题要求表示16的算术平方根，即被开方数a=16，且符号不带±，因此数学符号为√16。
对各选项逐一判断：
A：√16，符合16的算术平方根的表示，正确；
B：±√16是16的平方根的表示，不符合题意，错误；
C：√4是4的算术平方根的表示，被开方数错误，不符合题意，错误；
D：±√4是4的平方根的表示，既带错符号也选错被开方数，不符合题意，错误。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的概念；算术平方根的符号表示；平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分算术平方根和平方根的符号差异，牢记算术平方根仅表示正的非负根，只有平方根才需要加±号，掌握概念就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
首先回忆算术平方根的核心定义：算术平方根是一个非负数的正的平方根，其专用的数学符号是不带±的√a，其中根号下的数a是被开方数，也就是题目中给出的16。解题时先根据算术平方根只有非负结果的特点，排除带±的错误选项，再根据被开方数是16，排除根号下数字错误的选项，就能得到正确答案。
【解析】
根据算术平方根的定义：若非负数x满足x²=a，则x叫做a的算术平方根，用符号表示为√a，注意算术平方根仅表示正的平方根，平方根才需要加±号。
本题要求表示16的算术平方根，即被开方数a=16，且符号不带±，因此数学符号为√16。
对各选项逐一判断：
A：√16，符合16的算术平方根的表示，正确；
B：±√16是16的平方根的表示，不符合题意，错误；
C：√4是4的算术平方根的表示，被开方数错误，不符合题意，错误；
D：±√4是4的平方根的表示，既带错符号也选错被开方数，不符合题意，错误。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的概念；算术平方根的符号表示；平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分算术平方根和平方根的符号差异，牢记算术平方根仅表示正的非负根，只有平方根才需要加±号，掌握概念就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
2. 下列等式正确的是 （
A.$(\sqrt{3})^{2}=3$
B.$\sqrt{(-3)^{2}}=-3$
C.$\sqrt{3^{3}}=3$
D.$(-\sqrt{3})^{2}=-3$
A
）A.$(\sqrt{3})^{2}=3$
B.$\sqrt{(-3)^{2}}=-3$
C.$\sqrt{3^{3}}=3$
D.$(-\sqrt{3})^{2}=-3$
答案
2.A
解析
【分析】
这道题考查二次根式的性质与算术平方根的相关知识，解题时需要逐个对四个选项运用对应的性质计算，再判断结果是否正确。首先明确两个核心依据：①$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，②$\sqrt{a^2}=|a|$，且算术平方根的运算结果一定是非负数，结合这两点即可依次验证每个选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，此处$a=3≥0$，因此$(\sqrt{3})^2=3$，该选项计算正确。
B选项：先计算根号内的乘方得$(-3)^2=9$，再求算术平方根得$\sqrt{9}=3$，结果应为3不是-3，该选项错误。
C选项：先计算$3^3=27$，可得$\sqrt{27}=3\sqrt{3}≠3$，该选项错误。
D选项：平方运算中负号会消去，因此$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$，结果应为3不是-3，该选项错误。
综上，只有A选项的等式正确。
【答案】A
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 算术平方根的定义
3. 有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对二次根式性质和算术平方根非负性的理解与应用，做题时要注意区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算规则，避免因混淆性质或者忽略算术平方根的非负性出现符号错误。
【难度系数】
0.85
这道题考查二次根式的性质与算术平方根的相关知识，解题时需要逐个对四个选项运用对应的性质计算，再判断结果是否正确。首先明确两个核心依据：①$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，②$\sqrt{a^2}=|a|$，且算术平方根的运算结果一定是非负数，结合这两点即可依次验证每个选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，此处$a=3≥0$，因此$(\sqrt{3})^2=3$，该选项计算正确。
B选项：先计算根号内的乘方得$(-3)^2=9$，再求算术平方根得$\sqrt{9}=3$，结果应为3不是-3，该选项错误。
C选项：先计算$3^3=27$，可得$\sqrt{27}=3\sqrt{3}≠3$，该选项错误。
D选项：平方运算中负号会消去，因此$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$，结果应为3不是-3，该选项错误。
综上，只有A选项的等式正确。
【答案】A
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 算术平方根的定义
3. 有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对二次根式性质和算术平方根非负性的理解与应用，做题时要注意区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算规则，避免因混淆性质或者忽略算术平方根的非负性出现符号错误。
【难度系数】
0.85
3.(1)(2025·青海)4 的算术平方根是
(3)5 的算术平方根是
2
;(2)0 的算术平方根是0
;(3)5 的算术平方根是
$\sqrt{5}$
;(4)0.04 的算术平方根是0.2
.答案
3.(1)2 (2)0 (3)$\sqrt{5}$ (4)0.2
解析
【分析】
解题需先明确算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，特别规定0的算术平方根是0。解题时对每个小问，找到满足平方等于对应数的非负数即可，若该数不是完全平方数，直接用带根号的形式表示其算术平方根即可。
【解析】
(1) 因为$2^2=4$，且2是正数，所以4的算术平方根是2；
(2) 根据算术平方根的相关规定，0的算术平方根是0；
(3) 不存在有理数的平方等于5，因此5的算术平方根是$\sqrt{5}$；
(4) 因为$0.2^2=0.04$，且0.2是正数，所以0.04的算术平方根是0.2。
【答案】
(1)2；(2)0；(3)$\sqrt{5}$；(4)0.2
【知识点】
算术平方根的定义，算术平方根的计算
【点评】
本题是基础概念应用题，主要考查算术平方根的基础计算，解题时需牢记0的算术平方根的特殊规定，开方开不尽的数注意用最简二次根式表示结果。
【难度系数】
0.9
解题需先明确算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，特别规定0的算术平方根是0。解题时对每个小问，找到满足平方等于对应数的非负数即可，若该数不是完全平方数，直接用带根号的形式表示其算术平方根即可。
【解析】
(1) 因为$2^2=4$，且2是正数，所以4的算术平方根是2；
(2) 根据算术平方根的相关规定，0的算术平方根是0；
(3) 不存在有理数的平方等于5，因此5的算术平方根是$\sqrt{5}$；
(4) 因为$0.2^2=0.04$，且0.2是正数，所以0.04的算术平方根是0.2。
【答案】
(1)2；(2)0；(3)$\sqrt{5}$；(4)0.2
【知识点】
算术平方根的定义，算术平方根的计算
【点评】
本题是基础概念应用题，主要考查算术平方根的基础计算，解题时需牢记0的算术平方根的特殊规定，开方开不尽的数注意用最简二次根式表示结果。
【难度系数】
0.9
4.(1) ______的算术平方根是7;(2) ______的算术平方根是$\sqrt{7}$.
答案
4.(1)49 (2)7
解析
【分析】
这道题考查算术平方根定义的逆用。首先回忆算术平方根的定义：如果一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$就叫做$a$的算术平方根，记作$x=\sqrt{a}(a≥0)$。现在已知算术平方根$x$的值，反过来求对应的被开方数$a$，只需要将给出的算术平方根平方即可，也就是$a=x^2$，按照这个思路分别计算两小问即可。
【解析】
(1) 设第一空所求的数为$x$，根据算术平方根的定义可得$\sqrt{x}=7$，
等式两边同时平方，得$x=7^2=49$；
(2) 设第二空所求的数为$y$，根据算术平方根的定义可得$\sqrt{y}=\sqrt{7}$，
等式两边同时平方，得$y=(\sqrt{7})^2=7$。
【答案】
(1)49；(2)7
【知识点】
算术平方根的定义，平方运算
【点评】
本题是算术平方根的基础概念题，核心是理解算术平方根和被开方数的对应关系，逆用定义就能快速求解，计算量小，重点考察对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.9
这道题考查算术平方根定义的逆用。首先回忆算术平方根的定义：如果一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$就叫做$a$的算术平方根，记作$x=\sqrt{a}(a≥0)$。现在已知算术平方根$x$的值，反过来求对应的被开方数$a$，只需要将给出的算术平方根平方即可，也就是$a=x^2$，按照这个思路分别计算两小问即可。
【解析】
(1) 设第一空所求的数为$x$，根据算术平方根的定义可得$\sqrt{x}=7$，
等式两边同时平方，得$x=7^2=49$；
(2) 设第二空所求的数为$y$，根据算术平方根的定义可得$\sqrt{y}=\sqrt{7}$，
等式两边同时平方，得$y=(\sqrt{7})^2=7$。
【答案】
(1)49；(2)7
【知识点】
算术平方根的定义，平方运算
【点评】
本题是算术平方根的基础概念题，核心是理解算术平方根和被开方数的对应关系，逆用定义就能快速求解，计算量小，重点考察对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.9
5.正方形的面积为10,则这个正方形的边长为$\boldsymbol{\sqrt{10}}$.
答案
5.$\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题时先回忆正方形的面积计算公式，明确正方形面积等于边长的平方。已知面积求边长，本质是找一个正数，使其平方等于已知面积10，这个正数就是10的算术平方根，结合算术平方根的定义就能求出边长。
【解析】
设该正方形的边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得：
$a^2=10$
根据算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$y$，即$x^2=y$，则正数$x$叫做$y$的算术平方根。
因此正数$a$是10的算术平方根，即$a=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
正方形面积公式；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础应用题，将几何图形面积计算和算术平方根的概念结合考察，熟记相关公式和概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆正方形的面积计算公式，明确正方形面积等于边长的平方。已知面积求边长，本质是找一个正数，使其平方等于已知面积10，这个正数就是10的算术平方根，结合算术平方根的定义就能求出边长。
【解析】
设该正方形的边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得：
$a^2=10$
根据算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$y$，即$x^2=y$，则正数$x$叫做$y$的算术平方根。
因此正数$a$是10的算术平方根，即$a=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
正方形面积公式；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础应用题，将几何图形面积计算和算术平方根的概念结合考察，熟记相关公式和概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6. 求下列各数的算术平方根：
(1)49；
(2)121；
(3)$(-5)^2$；
(4)$10^{-2}$；
(5)$(-\dfrac{1}{3})^2$。
(1)49；
(2)121；
(3)$(-5)^2$；
(4)$10^{-2}$；
(5)$(-\dfrac{1}{3})^2$。
答案
6.(1)7 (2)11 (3)5 (4)$\dfrac{1}{10}$ (5)$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$就叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。解题时先将每个待求的数化简为最简形式，再找到对应平方等于该数的非负数，即为所求的算术平方根。
【解析】
(1) 因为$7^2=49$，根据算术平方根的定义，可得49的算术平方根是7；
(2) 因为$11^2=121$，根据算术平方根的定义，可得121的算术平方根是11；
(3) 先化简得$(-5)^2=25$，又因为$5^2=25$，根据算术平方根的定义，可得$(-5)^2$的算术平方根是5；
(4) 先化简得$10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}$，又因为$(\frac{1}{10})^2=\frac{1}{100}$，根据算术平方根的定义，可得$10^{-2}$的算术平方根是$\frac{1}{10}$；
(5) 先化简得$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，又因为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，根据算术平方根的定义，可得$(-\frac{1}{3})^2$的算术平方根是$\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)7；(2)11；(3)5；(4)$\dfrac{1}{10}$；(5)$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
算术平方根的定义；有理数乘方运算；负整数指数幂运算
【点评】
本题是算术平方根的基础练习题，解题时需注意算术平方根的非负性，遇到含有乘方、负指数的数时要先化简原数，再求算术平方根，避免直接对底数开方出现错误。
【难度系数】
0.85
解决本题的核心是牢记算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$就叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。解题时先将每个待求的数化简为最简形式，再找到对应平方等于该数的非负数，即为所求的算术平方根。
【解析】
(1) 因为$7^2=49$，根据算术平方根的定义，可得49的算术平方根是7；
(2) 因为$11^2=121$，根据算术平方根的定义，可得121的算术平方根是11；
(3) 先化简得$(-5)^2=25$，又因为$5^2=25$，根据算术平方根的定义，可得$(-5)^2$的算术平方根是5；
(4) 先化简得$10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}$，又因为$(\frac{1}{10})^2=\frac{1}{100}$，根据算术平方根的定义，可得$10^{-2}$的算术平方根是$\frac{1}{10}$；
(5) 先化简得$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，又因为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，根据算术平方根的定义，可得$(-\frac{1}{3})^2$的算术平方根是$\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)7；(2)11；(3)5；(4)$\dfrac{1}{10}$；(5)$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
算术平方根的定义；有理数乘方运算；负整数指数幂运算
【点评】
本题是算术平方根的基础练习题，解题时需注意算术平方根的非负性，遇到含有乘方、负指数的数时要先化简原数，再求算术平方根，避免直接对底数开方出现错误。
【难度系数】
0.85
7. 求下列各式的值：
(1)$\sqrt{\dfrac{49}{81}}$；
(2)$\sqrt{625}$；
(3)$-\sqrt{144}$；
(4)$\sqrt{16}-\sqrt{4}$；
(5)$\sqrt{12\dfrac{1}{4}}$；
(6)$\sqrt{41^2 - 40^2}$.
(1)$\sqrt{\dfrac{49}{81}}$；
(2)$\sqrt{625}$；
(3)$-\sqrt{144}$；
(4)$\sqrt{16}-\sqrt{4}$；
(5)$\sqrt{12\dfrac{1}{4}}$；
(6)$\sqrt{41^2 - 40^2}$.
答案
7.(1)$\dfrac{7}{9}$ (2)25 (3)$-12$ (4)2 (5)$\dfrac{7}{2}$ (6)9
解析
【分析】
这组题目主要考查算术平方根的概念及相关运算，解题思路如下：①首先明确算术平方根的定义：若正数x的平方等于a（即$x^2=a$），则x叫做a的算术平方根，记作$\sqrt{a}$，算术平方根的结果为非负数；②针对不同形式的式子分类处理：对于分数形式的被开方数，分别求分子、分母的算术平方根；对于整数被开方数，找到平方等于该数的正数即可；带分数先化为假分数再开方；含有运算的被开方数，先计算出被开方数的结果再开方，也可以结合运算律简便计算；注意根号前的符号要保留在最终结果中。
【解析】
(1) 因为$(\dfrac{7}{9})^2=\dfrac{49}{81}$，根据算术平方根的定义可得：$\sqrt{\dfrac{49}{81}}=\dfrac{7}{9}$；
(2) 因为$25^2=625$，所以$\sqrt{625}=25$；
(3) 因为$12^2=144$，所以$\sqrt{144}=12$，因此$-\sqrt{144}=-12$；
(4) 先分别计算两个算术平方根：$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{4}=2$，所以$\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$；
(5) 先把带分数化为假分数：$12\dfrac{1}{4}=\dfrac{49}{4}$，因为$(\dfrac{7}{2})^2=\dfrac{49}{4}$，所以$\sqrt{12\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{49}{4}}=\dfrac{7}{2}$；
(6) 先计算被开方数的结果：$41^2-40^2=(41+40)×(41-40)=81×1=81$，因为$9^2=81$，所以$\sqrt{41^2-40^2}=\sqrt{81}=9$。
【答案】
(1)$\dfrac{7}{9}$；(2)$25$；(3)$-12$；(4)$2$；(5)$\dfrac{7}{2}$；(6)$9$
【知识点】
算术平方根定义，二次根式运算，平方差公式
【点评】
本题属于算术平方根的基础运算题，解题的关键是牢记算术平方根的非负性，熟练记忆常见的平方数可提升解题速度，注意带分数要先转化为假分数再开方，不要忽略根号前的负号。
【难度系数】
0.9
这组题目主要考查算术平方根的概念及相关运算，解题思路如下：①首先明确算术平方根的定义：若正数x的平方等于a（即$x^2=a$），则x叫做a的算术平方根，记作$\sqrt{a}$，算术平方根的结果为非负数；②针对不同形式的式子分类处理：对于分数形式的被开方数，分别求分子、分母的算术平方根；对于整数被开方数，找到平方等于该数的正数即可；带分数先化为假分数再开方；含有运算的被开方数，先计算出被开方数的结果再开方，也可以结合运算律简便计算；注意根号前的符号要保留在最终结果中。
【解析】
(1) 因为$(\dfrac{7}{9})^2=\dfrac{49}{81}$，根据算术平方根的定义可得：$\sqrt{\dfrac{49}{81}}=\dfrac{7}{9}$；
(2) 因为$25^2=625$，所以$\sqrt{625}=25$；
(3) 因为$12^2=144$，所以$\sqrt{144}=12$，因此$-\sqrt{144}=-12$；
(4) 先分别计算两个算术平方根：$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{4}=2$，所以$\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$；
(5) 先把带分数化为假分数：$12\dfrac{1}{4}=\dfrac{49}{4}$，因为$(\dfrac{7}{2})^2=\dfrac{49}{4}$，所以$\sqrt{12\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{49}{4}}=\dfrac{7}{2}$；
(6) 先计算被开方数的结果：$41^2-40^2=(41+40)×(41-40)=81×1=81$，因为$9^2=81$，所以$\sqrt{41^2-40^2}=\sqrt{81}=9$。
【答案】
(1)$\dfrac{7}{9}$；(2)$25$；(3)$-12$；(4)$2$；(5)$\dfrac{7}{2}$；(6)$9$
【知识点】
算术平方根定义，二次根式运算，平方差公式
【点评】
本题属于算术平方根的基础运算题，解题的关键是牢记算术平方根的非负性，熟练记忆常见的平方数可提升解题速度，注意带分数要先转化为假分数再开方，不要忽略根号前的负号。
【难度系数】
0.9
