6. 图甲、乙、丙分别表示小李、小王、小张三人由A地到B地的路线图.
已知小李的路线为：A→C→B（其中符号“→”表示“直线前进”）.
小王的路线为：A→D→E→F→B，其中E为AB的中点.
小张的路线为：A→I→J→K→B，其中J在AB上，且$AJ＞JB$.
根据图中给出的数据，请你试着比较三人行进路线的长短，并证明你的结论.

三人行进路线长度相等。

三人行进路线长度相等，证明如下：
1. 先分析小李的路线长度：小李的路线为$A\to C\to B$，总长度为AC+BC。
2. 比较小李和小王的路线长度：
在△ ADE中，∠ A=50°，∠ ADE=70°，因此∠ AED=180°-50°-70°=60°，△ ADE的三个内角与△ ACB的三个内角分别相等，可得△ ADE ∽ △ ACB。
已知E是AB中点，即$AE=\frac{1}{2}AB$，相似比为$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$，因此：
$ \frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2} \implies AD=\frac{1}{2}AC,\ DE=\frac{1}{2}BC $同理可证△ EFB ∽ △ ACB，相似比为$\frac{EB}{AB}=\frac{1}{2}$，因此：$ \frac{EF}{AC}=\frac{FB}{BC}=\frac{1}{2} \implies EF=\frac{1}{2}AC,\ FB=\frac{1}{2}BC$
小王的总路线长度为：
$ AD+DE+EF+FB=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=AC+BC $即小王的路线长度与小李相等。3. 比较小李和小张的路线长度： 在△ AIJ中，∠ A=50°，∠ I=70°，因此∠ AJI=180°-50°-70°=60°，△ AIJ的三个内角与△ ACB的三个内角分别相等，可得△ AIJ ∽ △ ACB，相似比为$\frac{AJ}{AB}$，因此：$ \frac{AI}{AC}=\frac{IJ}{BC}=\frac{AJ}{AB} \implies AI=AC·\frac{AJ}{AB},\ IJ=BC·\frac{AJ}{AB}$
同理可证△ JKB ∽ △ ACB，相似比为$\frac{JB}{AB}$，因此：
$ \frac{JK}{AC}=\frac{KB}{BC}=\frac{JB}{AB} \implies JK=AC·\frac{JB}{AB},\ KB=BC·\frac{JB}{AB} $小张的总路线长度为：$ AI+IJ+JK+KB=AC·\frac{AJ}{AB}+BC·\frac{AJ}{AB}+AC·\frac{JB}{AB}+BC·\frac{JB}{AB}$
整理得：
$ =AC·\frac{AJ+JB}{AB}+BC·\frac{AJ+JB}{AB}=AC·\frac{AB}{AB}+BC·\frac{AB}{AB}=AC+BC$
即小张的路线长度也与小李相等。
综上三人行进路线的长度完全相等。

1. 在四边形ABCD中，$AD // BC$，若四边形ABCD是平行四边形，则还应满足（）.

A.$∠ A + ∠ C = 180°$
B.$∠ B + ∠ D = 180°$
C.$∠ A + ∠ B = 180°$
D.$∠ A + ∠ D = 180°$

D

已知AD//BC，平行四边形的定义是两组对边分别平行，因此只需额外推出AB//CD即可判定该四边形是平行四边形：
A选项：∠A+∠C=180°，无法推出AB//CD，不能判定为平行四边形；
B选项：∠B+∠D=180°，无法推出AB//CD，等腰梯形也满足该条件，不能判定为平行四边形；
C选项：AD//BC时，由两直线平行同旁内角互补，天然满足∠A+∠B=180°，无法得到另一组对边平行，不能判定为平行四边形；
D选项：∠A+∠D=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得AB//CD，结合已知AD//BC，两组对边分别平行，可判定四边形ABCD是平行四边形。

2. 四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）.

A.$AD // BC$，$AD=BC$
B.$OA=OC$，$OB=OD$
C.$AD=BC$，$AB=CD$
D.$AD // BC$，$AB=CD$

D

根据平行四边形的判定定理逐一分析：
1. 选项A：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形；
2. 选项B：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形；
3. 选项C：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形；
4. 选项D：仅满足一组对边平行、另一组对边相等，无法判定是平行四边形，例如等腰梯形符合该条件但不是平行四边形。
因此不能判定四边形ABCD为平行四边形的是D。

3. 在平面直角坐标系中，以$O(0,0)$，$A(1,1)$，$B(3,0)$为顶点，构造$□ OABC$，下列各点中不能作为平行四边形顶点$C$的坐标是（$\quad\quad$）.

A.$(-3,1)$
B.$(4,1)$
C.$(-2,1)$
D.$(2,-1)$

A

根据平行四边形对边平行且相等的性质，已知三个顶点O(0,0)、A(1,1)、B(3,0)，分三类计算第四个顶点坐标：
1. 以OA、OB为邻边，得C(4,1)，对应选项B符合要求；
2. 以AO、AB为邻边，得C(-2,1)，对应选项C符合要求；
3. 以BO、BA为邻边，得C(2,-1)，对应选项D符合要求；
验证可知(-3,1)无法构成符合条件的平行四边形，不能作为顶点。

4. 如图,请在下列四个边角关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明.(填序号,写出一种即可)
①$AD// BC$;②$AB=CD$;③$∠A=∠C$;④$∠B+∠C=180^{\circ }$.
已知:在四边形ABCD中，，.
求证:四边形ABCD是平行四边形.

示例：①；③，四边形ABCD是平行四边形（答案不唯一）

本题答案不唯一，以下以选取条件①$AD// BC$、③$∠ A=∠ C$为例进行证明：
1. 因为$AD// BC$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ A + ∠ B = 180°$。
2. 又已知$∠ A = ∠ C$，通过等量代换可得$∠ C + ∠ B = 180°$。
3. 根据同旁内角互补，两直线平行，可推出$AB// CD$。
4. 此时四边形ABCD两组对边分别平行：$AD// BC$且$AB// CD$，依据平行四边形的定义，即可判定四边形ABCD是平行四边形。
其余合法可选的条件组合还有①与④、②与④、③与④，均可对应平行四边形判定定理完成证明。