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11. AB 是一条街道,要从点 P 修一条小路通向街道 AB,怎样修最省工省料?
(用线段在图上画出这条线路)如果这幅图的比例尺是 1:20000,这条小路实际长多少米?(测量时取整毫米)
(用线段在图上画出这条线路)如果这幅图的比例尺是 1:20000,这条小路实际长多少米?(测量时取整毫米)
答案
过点P作街道AB的垂线段，即为最省工省料的小路（在图上画出该线段）。
测量得图上垂线段长度为2毫米。
实际长度：2×20000=40000毫米=40米。
答：这条小路实际长40米。
测量得图上垂线段长度为2毫米。
实际长度：2×20000=40000毫米=40米。
答：这条小路实际长40米。
解析
【分析】
解题分两个步骤思考：第一步确定最短路线，要修小路最省工省料，就是要让小路的长度最短，我们学过点到直线的所有连线中，垂线段最短，所以只要过点P向街道AB作垂线段，就是最优的修路路线；第二步计算实际长度，已知比例尺是1:20000，代表图上1单位长度对应实际20000个同样的单位长度，我们先测量出图上垂线段的长度，再乘20000得到实际长度，最后换算成米的单位即可。
【解析】
1. 绘制路线：根据“点到直线的线段中，垂线段最短”的性质，过点P向街道AB作垂线段，这条垂线段就是最省工省料的小路，在图中画出该垂线段即可。
2. 测量计算：经测量，图上这条垂线段的长度为2毫米。
根据比例尺的定义，实际长度=图上长度×20000，代入数据计算：
实际长度=2×20000=40000毫米
换算单位：1米=1000毫米，所以40000毫米=40000÷1000=40米。
【答案】
过点P作AB的垂线段即为所求小路，这条小路实际长40米。
【知识点】
垂线段最短、比例尺应用、长度单位换算
【点评】
本题结合生活实际场景，同时考察了最短路径判断和比例尺的实际计算，解题时需要注意单位换算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解题分两个步骤思考：第一步确定最短路线，要修小路最省工省料，就是要让小路的长度最短，我们学过点到直线的所有连线中，垂线段最短，所以只要过点P向街道AB作垂线段，就是最优的修路路线；第二步计算实际长度，已知比例尺是1:20000，代表图上1单位长度对应实际20000个同样的单位长度，我们先测量出图上垂线段的长度，再乘20000得到实际长度，最后换算成米的单位即可。
【解析】
1. 绘制路线：根据“点到直线的线段中，垂线段最短”的性质，过点P向街道AB作垂线段，这条垂线段就是最省工省料的小路，在图中画出该垂线段即可。
2. 测量计算：经测量，图上这条垂线段的长度为2毫米。
根据比例尺的定义，实际长度=图上长度×20000，代入数据计算：
实际长度=2×20000=40000毫米
换算单位：1米=1000毫米，所以40000毫米=40000÷1000=40米。
【答案】
过点P作AB的垂线段即为所求小路，这条小路实际长40米。
【知识点】
垂线段最短、比例尺应用、长度单位换算
【点评】
本题结合生活实际场景，同时考察了最短路径判断和比例尺的实际计算，解题时需要注意单位换算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
12. 画出下列各图形底边上的高。
200 550
800 550
答案
解：
分别画出各图形底边上的高：
1. 三角形：过底边相对的顶点向底边作垂直线段，该线段即为三角形底边上的高，标注直角符号。
2. 平行四边形：过与底边相对的边上任意一点向底边作垂直线段，该线段即为平行四边形底边上的高，标注直角符号。
3. 梯形：过与底边相对的边上任意一点向底边作垂直线段，该线段即为梯形底边上的高，标注直角符号。
分别画出各图形底边上的高：
1. 三角形：过底边相对的顶点向底边作垂直线段，该线段即为三角形底边上的高，标注直角符号。
2. 平行四边形：过与底边相对的边上任意一点向底边作垂直线段，该线段即为平行四边形底边上的高，标注直角符号。
3. 梯形：过与底边相对的边上任意一点向底边作垂直线段，该线段即为梯形底边上的高，标注直角符号。
解析
【分析】
要画出各图形底边上的高，首先要明确不同图形高的定义：三角形的高是底边相对的顶点到底边的垂线段，平行四边形、梯形的高是底边对边到这条底边的垂线段。作图时借助三角尺即可：第一步把三角尺的一条直角边和已知底边完全重合，第二步平移三角尺，让另一条直角边对准三角形的对应顶点，或者对准平行四边形、梯形底边的对边，第三步沿这条直角边画出垂线段，最后标注直角符号就完成作图。
【解析】
1. 三角形作高：将三角尺的一条直角边与三角形标注的底边重合，平移三角尺，使另一条直角边对齐底边相对的顶点，沿直角边从顶点向底边画垂线段，在垂足位置标注直角符号，得到的就是三角形该底边上的高。
2. 平行四边形作高：将三角尺的一条直角边与平行四边形标注的底边重合，平移三角尺，使另一条直角边和底边的对边相交于任意一点，沿直角边从交点向底边画垂线段，在垂足位置标注直角符号，得到的就是平行四边形该底边上的高，画法不唯一。
3. 梯形作高：将三角尺的一条直角边与梯形标注的底边重合，平移三角尺，使另一条直角边和底边相对的边相交于任意一点，沿直角边从交点向底边画垂线段，在垂足位置标注直角符号，得到的就是梯形该底边上的高，画法不唯一。
【答案】
分别画出各图形底边上的高：
1. 三角形：过底边相对的顶点向底边作垂直线段，该线段即为三角形底边上的高，标注直角符号。
2. 平行四边形：过与底边相对的边上任意一点向底边作垂直线段，该线段即为平行四边形底边上的高，标注直角符号。
3. 梯形：过与底边相对的边上任意一点向底边作垂直线段，该线段即为梯形底边上的高，标注直角符号。
【知识点】
三角形高的画法；平行四边形高的画法；梯形高的画法
【点评】
本题考查基础平面图形高的绘制，核心是理解高是对应底边的垂线段，作图时要规范使用工具，注意标注直角符号，平行四边形和梯形同一底边上的高有无数条，画法不唯一。
【难度系数】
0.8
要画出各图形底边上的高，首先要明确不同图形高的定义：三角形的高是底边相对的顶点到底边的垂线段，平行四边形、梯形的高是底边对边到这条底边的垂线段。作图时借助三角尺即可：第一步把三角尺的一条直角边和已知底边完全重合，第二步平移三角尺，让另一条直角边对准三角形的对应顶点，或者对准平行四边形、梯形底边的对边，第三步沿这条直角边画出垂线段，最后标注直角符号就完成作图。
【解析】
1. 三角形作高：将三角尺的一条直角边与三角形标注的底边重合，平移三角尺，使另一条直角边对齐底边相对的顶点，沿直角边从顶点向底边画垂线段，在垂足位置标注直角符号，得到的就是三角形该底边上的高。
2. 平行四边形作高：将三角尺的一条直角边与平行四边形标注的底边重合，平移三角尺，使另一条直角边和底边的对边相交于任意一点，沿直角边从交点向底边画垂线段，在垂足位置标注直角符号，得到的就是平行四边形该底边上的高，画法不唯一。
3. 梯形作高：将三角尺的一条直角边与梯形标注的底边重合，平移三角尺，使另一条直角边和底边相对的边相交于任意一点，沿直角边从交点向底边画垂线段，在垂足位置标注直角符号，得到的就是梯形该底边上的高，画法不唯一。
【答案】
分别画出各图形底边上的高：
1. 三角形：过底边相对的顶点向底边作垂直线段，该线段即为三角形底边上的高，标注直角符号。
2. 平行四边形：过与底边相对的边上任意一点向底边作垂直线段，该线段即为平行四边形底边上的高，标注直角符号。
3. 梯形：过与底边相对的边上任意一点向底边作垂直线段，该线段即为梯形底边上的高，标注直角符号。
【知识点】
三角形高的画法；平行四边形高的画法；梯形高的画法
【点评】
本题考查基础平面图形高的绘制，核心是理解高是对应底边的垂线段，作图时要规范使用工具，注意标注直角符号，平行四边形和梯形同一底边上的高有无数条，画法不唯一。
【难度系数】
0.8
13. 如图，$△ ABC$ 是等腰三角形，$AB=AC$，求$∠ A$ 的度数。
答案
13. 40°
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，观察到∠ACB和110°角共同组成平角，根据平角为180°可先算出底角∠ACB的度数；第二步，已知△ABC是等腰三角形且AB=AC，根据等腰三角形两个底角相等的性质，可得到另一个底角∠B的度数；第三步，结合三角形内角和为180°，用内角和减去两个底角的度数，即可求出顶角∠A的度数。
【解析】
1. 计算∠ACB的度数：
∠ACB和110°的角组成平角，平角为180°，因此
$∠ ACB = 180° - 110° = 70°$
2. 确定底角∠B的度数：
因为$AB=AC$，△ABC是等腰三角形，等腰三角形两个底角相等，因此
$∠ B = ∠ ACB = 70°$
3. 计算∠A的度数：
三角形内角和为180°，因此
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 70° - 70° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
平角的特征、等腰三角形的性质、三角形内角和
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题的核心是先结合平角特征求出等腰三角形的底角度数，再利用内角和计算顶角度数，掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题思路分三步：第一步，观察到∠ACB和110°角共同组成平角，根据平角为180°可先算出底角∠ACB的度数；第二步，已知△ABC是等腰三角形且AB=AC，根据等腰三角形两个底角相等的性质，可得到另一个底角∠B的度数；第三步，结合三角形内角和为180°，用内角和减去两个底角的度数，即可求出顶角∠A的度数。
【解析】
1. 计算∠ACB的度数：
∠ACB和110°的角组成平角，平角为180°，因此
$∠ ACB = 180° - 110° = 70°$
2. 确定底角∠B的度数：
因为$AB=AC$，△ABC是等腰三角形，等腰三角形两个底角相等，因此
$∠ B = ∠ ACB = 70°$
3. 计算∠A的度数：
三角形内角和为180°，因此
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 70° - 70° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
平角的特征、等腰三角形的性质、三角形内角和
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题的核心是先结合平角特征求出等腰三角形的底角度数，再利用内角和计算顶角度数，掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
14. 已知一条直线 $ l $ 和直线外的 $ A,B $ 两点，以 $ A,B $ 两点和直线 $ l $ 上的某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形 $ ABC $。除此之外，还能画出(
4
)个符合条件的等腰三角形。答案
14. 4
解析
【分析】
要找出直线l上除已知点C外，能和A、B组成等腰三角形的点，我们根据等腰三角形两腰相等的特点，分三类情况讨论：①以AB为腰，A为顶角顶点；②以AB为腰，B为顶角顶点；③以AB为底边，分别用画图的方法找交点，排除已有的那个点，就能得到剩余符合条件的数量。
【解析】
我们分情况找直线l上的点：
1. 当AC=AB时：以A为圆心，AB长为半径画弧，和直线l共有2个交点，其中1个是题目给出的点C，还剩1个新的符合条件的点。
2. 当BC=AB时：以B为圆心，AB长为半径画弧，和直线l共有2个交点，这两个点都不是题目给出的C点，是2个新的符合条件的点。
3. 当AC=BC时：作线段AB的垂直平分线，和直线l有1个交点，这个点也不是题目给出的C点，是1个新的符合条件的点。
把新的点加起来：1+2+1=4（个）
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形特征；圆的性质；垂直平分线性质
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，解题时要注意分类讨论，避免漏解，通过画图找交点的方法能更直观得到结果，有助于培养分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
要找出直线l上除已知点C外，能和A、B组成等腰三角形的点，我们根据等腰三角形两腰相等的特点，分三类情况讨论：①以AB为腰，A为顶角顶点；②以AB为腰，B为顶角顶点；③以AB为底边，分别用画图的方法找交点，排除已有的那个点，就能得到剩余符合条件的数量。
【解析】
我们分情况找直线l上的点：
1. 当AC=AB时：以A为圆心，AB长为半径画弧，和直线l共有2个交点，其中1个是题目给出的点C，还剩1个新的符合条件的点。
2. 当BC=AB时：以B为圆心，AB长为半径画弧，和直线l共有2个交点，这两个点都不是题目给出的C点，是2个新的符合条件的点。
3. 当AC=BC时：作线段AB的垂直平分线，和直线l有1个交点，这个点也不是题目给出的C点，是1个新的符合条件的点。
把新的点加起来：1+2+1=4（个）
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形特征；圆的性质；垂直平分线性质
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，解题时要注意分类讨论，避免漏解，通过画图找交点的方法能更直观得到结果，有助于培养分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
