1. 有趣的三角形数。如图，从顶点起依次为第1层、第2层……仔细研究下一层与上一层点数的关系，你能发现哪些规律？
（1）第20层有多少个点？
（2）第15层的点与第13层的点相差多少个？
（3）分别求出第1至3层、第1至4层、第1至5层点数的和。
分析与解:让我们进行有序的思考,根据每层数列的特点计算点的数量。


| 层数 | 图形 | 点的总数 |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | ● | 1 |
| 2 | △ | $1+2=(\quad)$ |
| 3 | △△△ | $1+2+3=(\quad)$ |
| 4 | △△△△△△△ | $1+(\quad)+(\quad)+(\quad)=(\quad)$ |
续表
| 层数 | 图形 | 点的总数 |
| ---- | ---- | ---- |
| 5 | △△△△△△△△△△△△△ | $1+2+3+4+5=\frac{(1+5)×5}{2}=(\quad)$ |
| 6 | △△△△△△△△△△△△△△△△△△△ | $1+2+(\quad)+(\quad)+(\quad)+(\quad)=\frac{[(\quad)+(\quad)]×(\quad)}{(\quad)}=(\quad)$ |
| … | … | … |
| $n$ | … | $\frac{(\quad)×[(\quad)+1]}{(\quad)}$ |
问题(1)和(2)你能解决了吗?
（1）第20层有$(\quad)$个点。
（2）第15层的点与第13层的点相差$(\quad)$个。
求从第1层开始的几层点数的和,可将每层点数相加,也可以利用相邻的两个三角形数的和就是一个正方形数来进行计算,还可以运用下面的公式进行计算:
$\mathrm{点的总数}=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)(n\mathrm{为层数})$
（3）第1至3层点数的和是$(\quad)$,第1至4层点数的和是$(\quad)$,第1至5层点数的和是$(\quad)$。

1. （1）$\frac{(1+20)×20}{2}=210$ （2）$14+15=29$ （3）10 20 35