11.在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,P是对角线BD上一动点,过点P作PQ⊥AP,交射线CB于点Q.如图1,当点P与点O重合时,易证得$CQ=\sqrt{2} PD;$当点P在线段DO上时,如图2.

(1)连结CP,求证:CP=AP;
(2)求证$:CQ=\sqrt{2} PD.$

11.(1)解 如图,连结CP,
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADP = ∠CDP=45°,AD=CD.
在△ADP 和△CDP中，
{AD=CD,
∠ADP=∠CDP,
PD=PD,
∴△ADP≌△CDP(SAS),
∴AP=CP.
(2)证明 过点P作AB的平行线交AD于点G,交BC于点H,过点P作AD的平行线交AB于点S,交CD于点R,连结PC,
∵四边形ABCD是正方形,BD是对角线，
∴∠PBA = ∠PBC = 45°, ∠ABC = ∠BAD=90°.
∵GH // AB, SR // AD,
∴∠ABC = ∠BAD=∠PHB=∠PSB=90°，
∴∠PBA = ∠PBC = ∠SPB = ∠BPH=45°,
∴△BPH 和△BPS 为等腰直角三角形，
∴四边形SPHB为正方形，
∴RC=SP=BH=AG=PH，
同理可证四边形GPRD为正方形，
∴PG=PR.
∵PQ⊥AP,
∴∠APQ=90°，
∴∠APG+∠QPH=90°.
∵∠QPH+∠PQH=90°，
∴∠APG=∠PQH，
在△PGA 和△QHP 中，
{∠APG=∠PQH,
∠PGA=∠PHQ,
AG=PH,
∴△PGA≌△QHP(AAS),
∴PA=PQ.
由(1)得PA=PC，
∴PQ=PC,
∴QH=HC=1/2 QC.
∵在Rt△DPR 中,PR²+RD²=PD²，
∴2PR²=PD²,
∴PR=√2/2 PD，
∴CQ=2HC=2PR=2×√2/2 PD=√2 PD.