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【典例1】(教材P118T7变式)已知$a+b=6$，$ab=4$，求$a^2 -6ab +b^2$的值。
答案
解:$\because a+b=6$,
$\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=36$,
又$\because ab=4,\therefore a^2+b^2=36-8=28$,
$\therefore a^2-6ab+b^2=28-24=4$.
$\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=36$,
又$\because ab=4,\therefore a^2+b^2=36-8=28$,
$\therefore a^2-6ab+b^2=28-24=4$.
解析
【分析】
本题已知$a+b$与$ab$的值，待求式包含$a^2$、$b^2$和$ab$项，可结合完全平方公式的变形求解。首先回忆完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，我们可以先通过该公式求出$a^2+b^2$的值，再将$a^2+b^2$和$ab$的值整体代入待求式计算即可。
【解析】
$\because a+b=6$
$\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=6^2=36$
又$\because ab=4$
$\therefore a^2+b^2=36-2ab=36-2×4=28$
将$a^2+b^2=28$，$ab=4$代入$a^2 -6ab +b^2$得：
$a^2 -6ab +b^2=(a^2+b^2)-6ab=28-6×4=28-24=4$
【答案】
$4$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是乘法公式求值的基础题型，核心是灵活运用完全平方公式的变形，将未知代数式转化为可由已知条件直接计算的形式，运用整体代入的方法简化计算，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题已知$a+b$与$ab$的值，待求式包含$a^2$、$b^2$和$ab$项，可结合完全平方公式的变形求解。首先回忆完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，我们可以先通过该公式求出$a^2+b^2$的值，再将$a^2+b^2$和$ab$的值整体代入待求式计算即可。
【解析】
$\because a+b=6$
$\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=6^2=36$
又$\because ab=4$
$\therefore a^2+b^2=36-2ab=36-2×4=28$
将$a^2+b^2=28$，$ab=4$代入$a^2 -6ab +b^2$得：
$a^2 -6ab +b^2=(a^2+b^2)-6ab=28-6×4=28-24=4$
【答案】
$4$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是乘法公式求值的基础题型，核心是灵活运用完全平方公式的变形，将未知代数式转化为可由已知条件直接计算的形式，运用整体代入的方法简化计算，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
变式.已知$a-b=3,ab=2$,求$(a+b)^2$的值.
答案
解:$\because a-b=3$,
$\therefore (a-b)^2=9$,
$\therefore a^2+b^2-2ab=9$,
$\therefore a^2+b^2=9+4=13$,
$\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=17$.
$\therefore (a-b)^2=9$,
$\therefore a^2+b^2-2ab=9$,
$\therefore a^2+b^2=9+4=13$,
$\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=17$.
解析
【分析】
本题要求$(a+b)^2$的值，可利用完全平方公式的变形关系求解。首先回忆完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，两个展开式都包含$a^2+b^2$和$ab$这两个部分，已知$a-b$和$ab$的值，我们可以先将$a-b=3$两边平方，求出$a^2+b^2$的值，再代入$(a+b)^2$的展开式即可算出结果。
【解析】
$\because a-b=3$
$\therefore (a-b)^2=3^2=9$
根据完全平方公式展开得：$a^2+b^2-2ab=9$
把$ab=2$代入上式，得：$a^2+b^2-2×2=9$
$\therefore a^2+b^2=9+4=13$
再根据完全平方公式，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
把$a^2+b^2=13$，$ab=2$代入得：
$(a+b)^2=13 + 2×2=13+4=17$
【答案】
$17$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是整式乘法中常见的求值题型，核心是对完全平方公式的灵活变形运用，掌握两个完全平方公式的结构特征和相互转化关系是解题的关键，熟练记忆公式变形可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题要求$(a+b)^2$的值，可利用完全平方公式的变形关系求解。首先回忆完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，两个展开式都包含$a^2+b^2$和$ab$这两个部分，已知$a-b$和$ab$的值，我们可以先将$a-b=3$两边平方，求出$a^2+b^2$的值，再代入$(a+b)^2$的展开式即可算出结果。
【解析】
$\because a-b=3$
$\therefore (a-b)^2=3^2=9$
根据完全平方公式展开得：$a^2+b^2-2ab=9$
把$ab=2$代入上式，得：$a^2+b^2-2×2=9$
$\therefore a^2+b^2=9+4=13$
再根据完全平方公式，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
把$a^2+b^2=13$，$ab=2$代入得：
$(a+b)^2=13 + 2×2=13+4=17$
【答案】
$17$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是整式乘法中常见的求值题型，核心是对完全平方公式的灵活变形运用，掌握两个完全平方公式的结构特征和相互转化关系是解题的关键，熟练记忆公式变形可快速求解。
【难度系数】
0.8
【典例2】已知$a-\frac{2}{a}=4$。
(1)求$a^2+\frac{4}{a^2}$的值；
(2)求$(a+\frac{2}{a})^2$的值。
(1)求$a^2+\frac{4}{a^2}$的值；
(2)求$(a+\frac{2}{a})^2$的值。
答案
解:(1)$\because (a-\frac{2}{a})^2=a^2+\frac{4}{a^2}-4=16$,
$\therefore a^2+\frac{4}{a^2}=20$.
(2)$(a+\frac{2}{a})^2$
$=a^2+\frac{4}{a^2}+4$
$=24$.
$\therefore a^2+\frac{4}{a^2}=20$.
(2)$(a+\frac{2}{a})^2$
$=a^2+\frac{4}{a^2}+4$
$=24$.
解析
【分析】
本题可利用完全平方公式的变形建立已知式与待求式的联系求解。
(1)观察已知条件是$a-\frac{2}{a}$的结果，待求式是$a^2+\frac{4}{a^2}$，回忆完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，将$x=a$、$y=\frac{2}{a}$代入公式，可得$(a-\frac{2}{a})^2=a^2-2· a· \frac{2}{a}+(\frac{2}{a})^2=a^2+\frac{4}{a^2}-4$，只需将已知等式两边平方，整理即可求出待求式的值。
(2)待求式是$(a+\frac{2}{a})^2$，用完全平方公式展开后为$a^2+\frac{4}{a^2}+4$，直接代入(1)中求出的$a^2+\frac{4}{a^2}$的值计算即可。
【解析】
(1)根据完全平方公式可得：
$(a-\frac{2}{a})^2=a^2-2· a· \frac{2}{a}+(\frac{2}{a})^2=a^2+\frac{4}{a^2}-4$
已知$a-\frac{2}{a}=4$，将等式两边平方得：
$(a-\frac{2}{a})^2=4^2=16$
即$a^2+\frac{4}{a^2}-4=16$，移项得：
$a^2+\frac{4}{a^2}=16+4=20$
(2)根据完全平方公式展开待求式：
$(a+\frac{2}{a})^2=a^2+2· a· \frac{2}{a}+(\frac{2}{a})^2=a^2+\frac{4}{a^2}+4$
将(1)中得到的$a^2+\frac{4}{a^2}=20$代入上式：
$(a+\frac{2}{a})^2=20+4=24$
【答案】
(1)$20$；(2)$24$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是乘法公式求值的常见题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过对已知条件平方变形，建立已知与待求式的关联，再用整体代入的方法计算即可，解题时注意区分和的完全平方与差的完全平方的中间项符号。
【难度系数】
0.75
本题可利用完全平方公式的变形建立已知式与待求式的联系求解。
(1)观察已知条件是$a-\frac{2}{a}$的结果，待求式是$a^2+\frac{4}{a^2}$，回忆完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，将$x=a$、$y=\frac{2}{a}$代入公式，可得$(a-\frac{2}{a})^2=a^2-2· a· \frac{2}{a}+(\frac{2}{a})^2=a^2+\frac{4}{a^2}-4$，只需将已知等式两边平方，整理即可求出待求式的值。
(2)待求式是$(a+\frac{2}{a})^2$，用完全平方公式展开后为$a^2+\frac{4}{a^2}+4$，直接代入(1)中求出的$a^2+\frac{4}{a^2}$的值计算即可。
【解析】
(1)根据完全平方公式可得：
$(a-\frac{2}{a})^2=a^2-2· a· \frac{2}{a}+(\frac{2}{a})^2=a^2+\frac{4}{a^2}-4$
已知$a-\frac{2}{a}=4$，将等式两边平方得：
$(a-\frac{2}{a})^2=4^2=16$
即$a^2+\frac{4}{a^2}-4=16$，移项得：
$a^2+\frac{4}{a^2}=16+4=20$
(2)根据完全平方公式展开待求式：
$(a+\frac{2}{a})^2=a^2+2· a· \frac{2}{a}+(\frac{2}{a})^2=a^2+\frac{4}{a^2}+4$
将(1)中得到的$a^2+\frac{4}{a^2}=20$代入上式：
$(a+\frac{2}{a})^2=20+4=24$
【答案】
(1)$20$；(2)$24$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是乘法公式求值的常见题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过对已知条件平方变形，建立已知与待求式的关联，再用整体代入的方法计算即可，解题时注意区分和的完全平方与差的完全平方的中间项符号。
【难度系数】
0.75
变式1.已知$a+\frac{1}{a}=5$。
(1)求$a^2+\frac{1}{a^2}$的值；
(2)求$(a-\frac{1}{a})^2$的值。
(1)求$a^2+\frac{1}{a^2}$的值；
(2)求$(a-\frac{1}{a})^2$的值。
答案
解:(1)$\because a+\frac{1}{a}=5$,
$\therefore (a+\frac{1}{a})^2=25$,
$\therefore a^2+\frac{1}{a^2}=23$.
(2)$(a-\frac{1}{a})^2$
$=a^2+\frac{1}{a^2}-2$
$=21$.
$\therefore (a+\frac{1}{a})^2=25$,
$\therefore a^2+\frac{1}{a^2}=23$.
(2)$(a-\frac{1}{a})^2$
$=a^2+\frac{1}{a^2}-2$
$=21$.
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：
(1) 已知$a+\frac{1}{a}$的值，要求$a^2+\frac{1}{a^2}$，可联想到完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将已知等式两边同时平方，展开后$a·\frac{1}{a}=1$，因此展开式中交叉项为常数2，移项即可求出$a^2+\frac{1}{a^2}$的值。
(2) 要求$(a-\frac{1}{a})^2$，先根据完全平方公式将其展开为$a^2+\frac{1}{a^2}-2$，直接代入第(1)问求出的$a^2+\frac{1}{a^2}$的值计算即可，体现整体代入的思想。
【解析】
(1) 已知$a+\frac{1}{a}=5$，将等式两边同时平方，得：
$(a+\frac{1}{a})^2=5^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a·\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=25$
化简得：$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}=25$
移项计算得：$a^2+\frac{1}{a^2}=25-2=23$
(2) 根据完全平方公式展开$(a-\frac{1}{a})^2$：
$(a-\frac{1}{a})^2=a^2 - 2· a·\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}-2$
将$a^2+\frac{1}{a^2}=23$代入上式：
原式$=23-2=21$
【答案】
(1)$\boxed{23}$；(2)$\boxed{21}$
【知识点】
完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是乘法公式应用的典型题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用整体代入的思想简化计算，不需要单独求出$a$的值即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：
(1) 已知$a+\frac{1}{a}$的值，要求$a^2+\frac{1}{a^2}$，可联想到完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将已知等式两边同时平方，展开后$a·\frac{1}{a}=1$，因此展开式中交叉项为常数2，移项即可求出$a^2+\frac{1}{a^2}$的值。
(2) 要求$(a-\frac{1}{a})^2$，先根据完全平方公式将其展开为$a^2+\frac{1}{a^2}-2$，直接代入第(1)问求出的$a^2+\frac{1}{a^2}$的值计算即可，体现整体代入的思想。
【解析】
(1) 已知$a+\frac{1}{a}=5$，将等式两边同时平方，得：
$(a+\frac{1}{a})^2=5^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a·\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=25$
化简得：$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}=25$
移项计算得：$a^2+\frac{1}{a^2}=25-2=23$
(2) 根据完全平方公式展开$(a-\frac{1}{a})^2$：
$(a-\frac{1}{a})^2=a^2 - 2· a·\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}-2$
将$a^2+\frac{1}{a^2}=23$代入上式：
原式$=23-2=21$
【答案】
(1)$\boxed{23}$；(2)$\boxed{21}$
【知识点】
完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是乘法公式应用的典型题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用整体代入的思想简化计算，不需要单独求出$a$的值即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
变式2.已知$x+\frac{1}{x}=4$。
(1)求$x^4+\frac{1}{x^4}$的值；
(2)求$x^3+\frac{1}{x^3}$的值。
(1)求$x^4+\frac{1}{x^4}$的值；
(2)求$x^3+\frac{1}{x^3}$的值。
答案
解:(1)$\because x+\frac{1}{x}=4,\therefore (x+\frac{1}{x})^2=16$,
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=14,\therefore (x^2+\frac{1}{x^2})^2=196$,
$\therefore x^4+\frac{1}{x^4}=194$.
(2)$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})-(x+\frac{1}{x})$
$=4×14-4$
$=52$.
$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=14,\therefore (x^2+\frac{1}{x^2})^2=196$,
$\therefore x^4+\frac{1}{x^4}=194$.
(2)$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})-(x+\frac{1}{x})$
$=4×14-4$
$=52$.
解析
【分析】
本题已知$x+\frac{1}{x}$的值，求二者高次幂的和，核心是灵活运用乘法公式，采用从低次到高次递推的思路求解：(1)求四次方和时，先将已知的一次和平方得到二次方和，再将二次方和平方，整理即可得到四次方和；(2)求三次方和时，利用立方和公式将其变形为用一次和、二次方和表示的形式，代入已知和已求的数值计算即可，全程运用整体代入思想简化运算。
【解析】
(1) 已知$x+\frac{1}{x}=4$，将等式两边同时平方，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$得：
$(x+\frac{1}{x})^2=x^2+2· x·\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+2+\frac{1}{x^2}=16$
移项计算得：$x^2+\frac{1}{x^2}=16-2=14$
再将$x^2+\frac{1}{x^2}=14$两边同时平方：
$(x^2+\frac{1}{x^2})^2=x^4+2· x^2·\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}=x^4+2+\frac{1}{x^4}=196$
移项计算得：$x^4+\frac{1}{x^4}=196-2=194$
(2) 根据立方和公式$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，令$a=x$，$b=\frac{1}{x}$，可得：
$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2 - x·\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})=(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2}-1)$
将$x+\frac{1}{x}=4$，$x^2+\frac{1}{x^2}=14$代入上式：
原式$=4×(14-1)=4×13=52$
【答案】
(1)$\boxed{194}$；(2)$\boxed{52}$
【知识点】
完全平方公式，立方和公式，整体代入求值
【点评】
本题重点考查乘法公式的变形应用，解题时需熟练掌握公式的常见变形形式，通过从低次到高次的递推逻辑，结合整体代入思想可快速求解，避免直接求解x的值带来的复杂运算。
【难度系数】
0.6
本题已知$x+\frac{1}{x}$的值，求二者高次幂的和，核心是灵活运用乘法公式，采用从低次到高次递推的思路求解：(1)求四次方和时，先将已知的一次和平方得到二次方和，再将二次方和平方，整理即可得到四次方和；(2)求三次方和时，利用立方和公式将其变形为用一次和、二次方和表示的形式，代入已知和已求的数值计算即可，全程运用整体代入思想简化运算。
【解析】
(1) 已知$x+\frac{1}{x}=4$，将等式两边同时平方，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$得：
$(x+\frac{1}{x})^2=x^2+2· x·\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+2+\frac{1}{x^2}=16$
移项计算得：$x^2+\frac{1}{x^2}=16-2=14$
再将$x^2+\frac{1}{x^2}=14$两边同时平方：
$(x^2+\frac{1}{x^2})^2=x^4+2· x^2·\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}=x^4+2+\frac{1}{x^4}=196$
移项计算得：$x^4+\frac{1}{x^4}=196-2=194$
(2) 根据立方和公式$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，令$a=x$，$b=\frac{1}{x}$，可得：
$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2 - x·\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})=(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2}-1)$
将$x+\frac{1}{x}=4$，$x^2+\frac{1}{x^2}=14$代入上式：
原式$=4×(14-1)=4×13=52$
【答案】
(1)$\boxed{194}$；(2)$\boxed{52}$
【知识点】
完全平方公式，立方和公式，整体代入求值
【点评】
本题重点考查乘法公式的变形应用，解题时需熟练掌握公式的常见变形形式，通过从低次到高次的递推逻辑，结合整体代入思想可快速求解，避免直接求解x的值带来的复杂运算。
【难度系数】
0.6
【典例3】已知$(x-518)(x-512)=-12$，求$(x-518)^2 + (x-512)^2$的值。
答案
解:设$x-518=a,x-512=b$,
$ab=-12$,
$\therefore b-a=6,\therefore (b-a)^2=36$
$⇒ a^2+b^2-2ab=36$,
$a^2+b^2=36-24=12$,
$\therefore (x-518)^2+(x-512)^2=12$.
$ab=-12$,
$\therefore b-a=6,\therefore (b-a)^2=36$
$⇒ a^2+b^2-2ab=36$,
$a^2+b^2=36-24=12$,
$\therefore (x-518)^2+(x-512)^2=12$.
解析
【分析】
观察到待求式和已知式中都重复出现$(x-518)$和$(x-512)$两个因式，可先用换元法将这两个因式替换为简单字母，简化式子结构。再计算两个换元后字母的固定差值，结合完全平方差公式的变形关系：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，代入已知的乘积和差值就能直接求出结果，避免直接展开计算的繁琐。
【解析】
设$x-518=a$，$x-512=b$，
由题意得$ab=-12$，
计算两式的差：$b-a=(x-512)-(x-518)=6$，因此$(b-a)^2=36$，
根据完全平方公式展开得：$a^2 + b^2 - 2ab = 36$，
将$ab=-12$代入上式：$a^2 + b^2 = 36 + 2ab = 36 + 2×(-12) = 36 - 24 = 12$，
因此$(x-518)^2 + (x-512)^2 = a^2 + b^2 = 12$。
【答案】
$12$
【知识点】
换元法，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是乘法公式用于代数式求值的典型题型，通过换元将复杂的代数式转化为熟悉的完全平方公式结构，利用公式变形建立已知和待求的联系，能够大幅降低计算难度，是整式求值的常见考法。
【难度系数】
0.7
观察到待求式和已知式中都重复出现$(x-518)$和$(x-512)$两个因式，可先用换元法将这两个因式替换为简单字母，简化式子结构。再计算两个换元后字母的固定差值，结合完全平方差公式的变形关系：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，代入已知的乘积和差值就能直接求出结果，避免直接展开计算的繁琐。
【解析】
设$x-518=a$，$x-512=b$，
由题意得$ab=-12$，
计算两式的差：$b-a=(x-512)-(x-518)=6$，因此$(b-a)^2=36$，
根据完全平方公式展开得：$a^2 + b^2 - 2ab = 36$，
将$ab=-12$代入上式：$a^2 + b^2 = 36 + 2ab = 36 + 2×(-12) = 36 - 24 = 12$，
因此$(x-518)^2 + (x-512)^2 = a^2 + b^2 = 12$。
【答案】
$12$
【知识点】
换元法，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是乘法公式用于代数式求值的典型题型，通过换元将复杂的代数式转化为熟悉的完全平方公式结构，利用公式变形建立已知和待求的联系，能够大幅降低计算难度，是整式求值的常见考法。
【难度系数】
0.7
变式.已知$(2026-x)(2024-x)=2025$,求$(2026-x)^2+(2024-x)^2$的值.
答案
解:设$a=2026-x,b=2024-x$,
$a-b=2,ab=2025$,
$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
$=4+4050$
$=4054$
$a-b=2,ab=2025$,
$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
$=4+4050$
$=4054$
解析
【分析】
观察所求式子是两个结构相似的多项式的平方和，已知条件为这两个多项式的乘积。首先可以用换元法将两个复杂的多项式替换为简单的字母，简化运算逻辑；再计算两个换元后字母的差，可发现差为固定常数，此时结合完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，代入已知的差和乘积的值即可求出结果，无需展开复杂的多项式计算。
【解析】
解：设$a=2026-x$，$b=2024-x$，
则$a-b=(2026-x)-(2024-x)=2$，由题可知$ab=2025$，
根据完全平方公式的变形可得：
$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
将$a-b=2$、$ab=2025$代入上式：
原式$=2^2 + 2×2025=4+4050=4054$
【答案】
4054
【知识点】
完全平方公式，换元法，代数式求值
【点评】
本题考查乘法公式的灵活运用，通过换元法可简化复杂代数式的运算，降低计算出错的概率，熟练掌握完全平方公式的各类变形是解决这类代数式求值问题的关键。
【难度系数】
0.7
观察所求式子是两个结构相似的多项式的平方和，已知条件为这两个多项式的乘积。首先可以用换元法将两个复杂的多项式替换为简单的字母，简化运算逻辑；再计算两个换元后字母的差，可发现差为固定常数，此时结合完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，代入已知的差和乘积的值即可求出结果，无需展开复杂的多项式计算。
【解析】
解：设$a=2026-x$，$b=2024-x$，
则$a-b=(2026-x)-(2024-x)=2$，由题可知$ab=2025$，
根据完全平方公式的变形可得：
$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
将$a-b=2$、$ab=2025$代入上式：
原式$=2^2 + 2×2025=4+4050=4054$
【答案】
4054
【知识点】
完全平方公式，换元法，代数式求值
【点评】
本题考查乘法公式的灵活运用，通过换元法可简化复杂代数式的运算，降低计算出错的概率，熟练掌握完全平方公式的各类变形是解决这类代数式求值问题的关键。
【难度系数】
0.7
