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5. 甲、乙两名队员参加射击训练,每人射击10次,成绩分别如下:
根据以上信息,整理分析数据如下:
(1) $a=$
(2) 从平均数和中位数的角度来比较,成绩较好的是
(3) 若需从甲、乙两名队员中选择一人参加比赛,你认为选谁更加合适? 请说明理由.
根据以上信息,整理分析数据如下:
(1) $a=$
7
,$b=$7.5
,$c=$4.2
;(2) 从平均数和中位数的角度来比较,成绩较好的是
乙
(填“甲”或“乙”);(3) 若需从甲、乙两名队员中选择一人参加比赛,你认为选谁更加合适? 请说明理由.
答案
5. (1) 7 7.5 4.2 (2) 乙 (3) 选择乙参加比赛更加合适,
理由略.
理由略.
解析
【分析】
要解决本题，需先计算甲的平均数、乙的中位数和乙的方差，再对比平均数、中位数判断成绩优劣，最后结合数据特点确定参赛人选。首先根据条形图整理甲的成绩，折线图整理乙的成绩，再利用对应统计量的公式计算，最后分析数据的实际意义。
【解析】
(1) 计算甲的平均数$a$：
甲10次射击成绩为：5环1次，6环2次，7环4次，8环2次，9环1次。
根据平均数公式：$a=\frac{5×1 + 6×2 + 7×4 + 8×2 + 9×1}{10}=\frac{5+12+28+16+9}{10}=7$。
计算乙的中位数$b$：
乙10次射击成绩依次为：3,6,4,8,7,8,7,8,10,9，将成绩从小到大排序为：3,4,6,7,7,8,8,8,9,10。
中位数为排序后第5、6个数的平均数，故$b=\frac{7+8}{2}=7.5$。
计算乙的方差$c$：
乙的平均数为$\frac{3+6+4+8+7+8+7+8+10+9}{10}=7$，根据方差公式：
$c=\frac{(3-7)^2+(6-7)^2+(4-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(10-7)^2+(9-7)^2}{10}$
$=\frac{16+1+9+1+0+1+0+1+9+4}{10}=4.2$。
(2) 对比平均数和中位数：
甲的平均数为7，乙的平均数也为7，两者平均数相同；甲的成绩排序后中位数为7，乙的中位数为7.5，因此从平均数和中位数角度，成绩较好的是乙。
(3) 选择乙参加比赛更合适。理由：甲、乙的平均数相同，乙的中位数更高，且乙的成绩整体呈上升趋势，后期成绩越来越好，潜力更大，更适合参加比赛。
【答案】
(1) $7$；$7.5$；$4.2$ (2) 乙 (3) 选择乙参加比赛更加合适，理由：甲、乙平均数相同，乙的中位数更高，且乙的成绩呈上升趋势，潜力较大，适合参赛。
【知识点】
平均数；中位数；方差
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需掌握平均数、中位数、方差的计算方法，能结合数据特点分析问题，是基础统计应用题，注重对统计概念的理解与运用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先计算甲的平均数、乙的中位数和乙的方差，再对比平均数、中位数判断成绩优劣，最后结合数据特点确定参赛人选。首先根据条形图整理甲的成绩，折线图整理乙的成绩，再利用对应统计量的公式计算，最后分析数据的实际意义。
【解析】
(1) 计算甲的平均数$a$：
甲10次射击成绩为：5环1次，6环2次，7环4次，8环2次，9环1次。
根据平均数公式：$a=\frac{5×1 + 6×2 + 7×4 + 8×2 + 9×1}{10}=\frac{5+12+28+16+9}{10}=7$。
计算乙的中位数$b$：
乙10次射击成绩依次为：3,6,4,8,7,8,7,8,10,9，将成绩从小到大排序为：3,4,6,7,7,8,8,8,9,10。
中位数为排序后第5、6个数的平均数，故$b=\frac{7+8}{2}=7.5$。
计算乙的方差$c$：
乙的平均数为$\frac{3+6+4+8+7+8+7+8+10+9}{10}=7$，根据方差公式：
$c=\frac{(3-7)^2+(6-7)^2+(4-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(10-7)^2+(9-7)^2}{10}$
$=\frac{16+1+9+1+0+1+0+1+9+4}{10}=4.2$。
(2) 对比平均数和中位数：
甲的平均数为7，乙的平均数也为7，两者平均数相同；甲的成绩排序后中位数为7，乙的中位数为7.5，因此从平均数和中位数角度，成绩较好的是乙。
(3) 选择乙参加比赛更合适。理由：甲、乙的平均数相同，乙的中位数更高，且乙的成绩整体呈上升趋势，后期成绩越来越好，潜力更大，更适合参加比赛。
【答案】
(1) $7$；$7.5$；$4.2$ (2) 乙 (3) 选择乙参加比赛更加合适，理由：甲、乙平均数相同，乙的中位数更高，且乙的成绩呈上升趋势，潜力较大，适合参赛。
【知识点】
平均数；中位数；方差
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需掌握平均数、中位数、方差的计算方法，能结合数据特点分析问题，是基础统计应用题，注重对统计概念的理解与运用。
【难度系数】
0.5
6. [原创题]在学校“绿色环保·爱心义卖”主题活动中,某社团计划将7种不同进价的文创书签分成两组,对同组书签统一定价销售(定价可略高于进价,保证义卖利润).请根据进价将这7种书签分成两组,并说明分组的理由(分组需具备合理性,可参考进价区间或定价策略).
答案
6. 将7种书签分为低价组和高价组两组,具体分组如下:
低价组(进价≤4.0元):绿植书签(3.2元)、动物书签(3.5
元)、卡通书签(2.9元)
高价组(进价＞4.0元):星空书签(4.8元)、古风书签(5.6
元)、运动书签(4.2元)、科技书签(6.3元)
分组理由(合理性说明)
(1)基于进价区间划分:以4.0元为分组界限,低价组书签进
价均在4.0元及以下,高价组书签进价均在4.0元以上,分
组界限清晰,符合"同组进价相近"的合理性原则.
(2)适配义卖定价策略:义卖活动中,低价组书签可统一定价
为4.5元(保证0.5~1.6元的合理利润),高价组书签可统
一定价为7元(保证0.8~2.8元的合理利润),两组定价差
距适中,既不会让低价组利润过低,也不会让高价组定价过
高,符合义卖的亲民性和盈利需求.
(3)兼顾销售效率:低价组书签进价低、定价亲民,更易被学
生选购,能快速完成销售以筹集爱心资金;高价组书签进价
高、定价稍高,针对有购买能力的学生,两组搭配销售,兼顾
义卖的效率与利润.
低价组(进价≤4.0元):绿植书签(3.2元)、动物书签(3.5
元)、卡通书签(2.9元)
高价组(进价＞4.0元):星空书签(4.8元)、古风书签(5.6
元)、运动书签(4.2元)、科技书签(6.3元)
分组理由(合理性说明)
(1)基于进价区间划分:以4.0元为分组界限,低价组书签进
价均在4.0元及以下,高价组书签进价均在4.0元以上,分
组界限清晰,符合"同组进价相近"的合理性原则.
(2)适配义卖定价策略:义卖活动中,低价组书签可统一定价
为4.5元(保证0.5~1.6元的合理利润),高价组书签可统
一定价为7元(保证0.8~2.8元的合理利润),两组定价差
距适中,既不会让低价组利润过低,也不会让高价组定价过
高,符合义卖的亲民性和盈利需求.
(3)兼顾销售效率:低价组书签进价低、定价亲民,更易被学
生选购,能快速完成销售以筹集爱心资金;高价组书签进价
高、定价稍高,针对有购买能力的学生,两组搭配销售,兼顾
义卖的效率与利润.
解析
【分析】
要解决书签分组问题，需先整理7种书签的进价数据，结合义卖活动的特点（亲民性、利润需求、销售效率），找到合理的进价分界点，使两组书签进价相近，同时适配义卖的定价策略，保证分组具备合理性。
【解析】
首先整理7种书签的进价：绿植书签3.2元、星空书签4.8元、动物书签3.5元、古风书签5.6元、运动书签4.2元、卡通书签2.9元、科技书签6.3元。以4.0元为分界点分组：
1. 低价组：包含进价≤4.0元的绿植书签（3.2元）、动物书签（3.5元）、卡通书签（2.9元），同组进价相近，可统一定价为4.5元，保证0.5~1.6元的合理利润，符合义卖亲民性，易被学生选购，能快速销售筹集爱心资金。
2. 高价组：包含进价＞4.0元的星空书签（4.8元）、古风书签（5.6元）、运动书签（4.2元）、科技书签（6.3元），同组进价差异适中，可统一定价为7元，保证0.8~2.8元的合理利润，针对有购买能力的学生，兼顾义卖的盈利需求。
分组理由：（1）以4.0元为分界，同组进价相近，分组界限清晰；（2）适配义卖定价策略，两组定价差距适中，兼顾亲民性与利润；（3）兼顾销售效率，低价组快速走量，高价组补充利润，符合义卖的双重目标。
【答案】
低价组（进价≤4.0元）：绿植书签（3.2元）、动物书签（3.5元）、卡通书签（2.9元）；高价组（进价＞4.0元）：星空书签（4.8元）、古风书签（5.6元）、运动书签（4.2元）、科技书签（6.3元）。分组理由：（1）以4.0元为分界，同组进价相近，分组清晰合理；（2）低价组定价亲民，保证合理利润，易销售；高价组定价适中，保证利润，兼顾义卖的亲民性与盈利需求；（3）低价组快速销售筹集爱心资金，高价组补充利润，兼顾销售效率与义卖目标。
【知识点】
数据分类整理、实际应用问题分析
【点评】
本题结合校园义卖的实际场景，考查数据的合理分类，需结合进价特点和义卖需求分组，体现了数学在生活中的应用，分组理由需兼顾合理性与实用性，是一道贴近生活的开放型应用题目。
【难度系数】
0.5
要解决书签分组问题，需先整理7种书签的进价数据，结合义卖活动的特点（亲民性、利润需求、销售效率），找到合理的进价分界点，使两组书签进价相近，同时适配义卖的定价策略，保证分组具备合理性。
【解析】
首先整理7种书签的进价：绿植书签3.2元、星空书签4.8元、动物书签3.5元、古风书签5.6元、运动书签4.2元、卡通书签2.9元、科技书签6.3元。以4.0元为分界点分组：
1. 低价组：包含进价≤4.0元的绿植书签（3.2元）、动物书签（3.5元）、卡通书签（2.9元），同组进价相近，可统一定价为4.5元，保证0.5~1.6元的合理利润，符合义卖亲民性，易被学生选购，能快速销售筹集爱心资金。
2. 高价组：包含进价＞4.0元的星空书签（4.8元）、古风书签（5.6元）、运动书签（4.2元）、科技书签（6.3元），同组进价差异适中，可统一定价为7元，保证0.8~2.8元的合理利润，针对有购买能力的学生，兼顾义卖的盈利需求。
分组理由：（1）以4.0元为分界，同组进价相近，分组界限清晰；（2）适配义卖定价策略，两组定价差距适中，兼顾亲民性与利润；（3）兼顾销售效率，低价组快速走量，高价组补充利润，符合义卖的双重目标。
【答案】
低价组（进价≤4.0元）：绿植书签（3.2元）、动物书签（3.5元）、卡通书签（2.9元）；高价组（进价＞4.0元）：星空书签（4.8元）、古风书签（5.6元）、运动书签（4.2元）、科技书签（6.3元）。分组理由：（1）以4.0元为分界，同组进价相近，分组清晰合理；（2）低价组定价亲民，保证合理利润，易销售；高价组定价适中，保证利润，兼顾义卖的亲民性与盈利需求；（3）低价组快速销售筹集爱心资金，高价组补充利润，兼顾销售效率与义卖目标。
【知识点】
数据分类整理、实际应用问题分析
【点评】
本题结合校园义卖的实际场景，考查数据的合理分类，需结合进价特点和义卖需求分组，体现了数学在生活中的应用，分组理由需兼顾合理性与实用性，是一道贴近生活的开放型应用题目。
【难度系数】
0.5
7. 某校要从新入学的两名体育特长生李勇、张浩中挑选一人参加校际跳远比赛,在跳远专项测试以及6次跳远选拔赛中,他们的成绩(单位:cm)如下表所示:
(1) 求张浩同学7次测试成绩的平均数,李勇同学7次测试成绩的方差.
(2) 请你分别从平均数和方差的角度分析两人成绩的特点.
(3) 经查阅历届比赛的资料,成绩若达到6.00 m,就很可能得到冠军,你认为应选谁去参赛夺冠比较有把握? 请说明理由.
(4) 以往的该项最好成绩的纪录是6.15 m,若要想打破纪录,你认为应选谁去参赛?
(1) 求张浩同学7次测试成绩的平均数,李勇同学7次测试成绩的方差.
(2) 请你分别从平均数和方差的角度分析两人成绩的特点.
(3) 经查阅历届比赛的资料,成绩若达到6.00 m,就很可能得到冠军,你认为应选谁去参赛夺冠比较有把握? 请说明理由.
(4) 以往的该项最好成绩的纪录是6.15 m,若要想打破纪录,你认为应选谁去参赛?
答案
7. (1) 张浩同学7次测试成绩的平均数为603 cm,李勇同学7
次测试成绩的方差为$\frac{346}{7}\ \mathrm{cm}^{2}$.
(2) 从成绩的平均数来看,张浩成绩的"平均水平"比李勇的
高;从成绩的方差来看,李勇的成绩比张浩稳定.
(3) 在跳远专项测试以及6次跳远选拔赛中,李勇有5次成
绩超过6 m,而张浩只有两次超过6 m,从成绩的方差来看,
李勇的成绩比张浩的稳定,故选李勇更有把握夺冠.
(4) 张浩有两次成绩为6.30 m和6.31 m,超过6.15 m,而
李勇没有一次达到6.15 m,故选张浩.
次测试成绩的方差为$\frac{346}{7}\ \mathrm{cm}^{2}$.
(2) 从成绩的平均数来看,张浩成绩的"平均水平"比李勇的
高;从成绩的方差来看,李勇的成绩比张浩稳定.
(3) 在跳远专项测试以及6次跳远选拔赛中,李勇有5次成
绩超过6 m,而张浩只有两次超过6 m,从成绩的方差来看,
李勇的成绩比张浩的稳定,故选李勇更有把握夺冠.
(4) 张浩有两次成绩为6.30 m和6.31 m,超过6.15 m,而
李勇没有一次达到6.15 m,故选张浩.
解析
【分析】
本题需分步骤解决：第(1)问根据平均数公式和方差公式分别计算张浩的平均数、李勇的方差；第(2)问结合计算出的平均数和方差，分析两人成绩的平均水平与稳定性；第(3)问统计两人成绩达到6.00m的次数，结合稳定性判断夺冠人选；第(4)问统计两人成绩超过6.15m的次数，判断打破纪录的人选。
【解析】
(1) 计算张浩7次成绩的平均数：
张浩的成绩为：597、580、597、630、590、631、596，
平均数 = $\frac{597 + 580 + 597 + 630 + 590 + 631 + 596}{7} = \frac{4221}{7} = 603\ (cm)$。
计算李勇7次成绩的方差：
李勇的平均数为602 cm，方差公式为$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$，代入数据：
$s^2 = \frac{1}{7}[(603-602)^2 + (589-602)^2 + (602-602)^2 + (596-602)^2 + (604-602)^2 + (612-602)^2 + (608-602)^2]$
$= \frac{1}{7}[1 + 169 + 0 + 36 + 4 + 100 + 36] = \frac{346}{7}\ (cm^2)$。
(2) 分析平均数和方差：
从平均数看，张浩的平均数603 cm高于李勇的602 cm，说明张浩成绩的平均水平更高；
从方差看，李勇的方差为$\frac{346}{7}$，张浩的方差为$\frac{2332}{7}$，李勇的方差更小，说明李勇的成绩更稳定。
(3) 分析夺冠人选：
成绩达到6.00 m（即600 cm）的次数：李勇有5次成绩超过600 cm，张浩仅有2次超过600 cm，且李勇成绩更稳定，因此选李勇参赛夺冠更有把握。
(4) 分析打破纪录人选：
纪录为6.15 m（即615 cm），张浩有2次成绩（630 cm、631 cm）超过615 cm，李勇没有一次达到615 cm，因此选张浩参赛更有可能打破纪录。
【答案】
(1) 张浩的平均数为603 cm，李勇的方差为$\frac{346}{7}\ cm^2$；
(2) 张浩成绩的平均水平更高，李勇的成绩更稳定；
(3) 选李勇；
(4) 选张浩。
【知识点】
平均数、方差、数据的分析应用
【点评】
本题考查统计中平均数、方差的计算及实际应用，需准确掌握公式，结合题目要求分析数据，是统计部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题需分步骤解决：第(1)问根据平均数公式和方差公式分别计算张浩的平均数、李勇的方差；第(2)问结合计算出的平均数和方差，分析两人成绩的平均水平与稳定性；第(3)问统计两人成绩达到6.00m的次数，结合稳定性判断夺冠人选；第(4)问统计两人成绩超过6.15m的次数，判断打破纪录的人选。
【解析】
(1) 计算张浩7次成绩的平均数：
张浩的成绩为：597、580、597、630、590、631、596，
平均数 = $\frac{597 + 580 + 597 + 630 + 590 + 631 + 596}{7} = \frac{4221}{7} = 603\ (cm)$。
计算李勇7次成绩的方差：
李勇的平均数为602 cm，方差公式为$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$，代入数据：
$s^2 = \frac{1}{7}[(603-602)^2 + (589-602)^2 + (602-602)^2 + (596-602)^2 + (604-602)^2 + (612-602)^2 + (608-602)^2]$
$= \frac{1}{7}[1 + 169 + 0 + 36 + 4 + 100 + 36] = \frac{346}{7}\ (cm^2)$。
(2) 分析平均数和方差：
从平均数看，张浩的平均数603 cm高于李勇的602 cm，说明张浩成绩的平均水平更高；
从方差看，李勇的方差为$\frac{346}{7}$，张浩的方差为$\frac{2332}{7}$，李勇的方差更小，说明李勇的成绩更稳定。
(3) 分析夺冠人选：
成绩达到6.00 m（即600 cm）的次数：李勇有5次成绩超过600 cm，张浩仅有2次超过600 cm，且李勇成绩更稳定，因此选李勇参赛夺冠更有把握。
(4) 分析打破纪录人选：
纪录为6.15 m（即615 cm），张浩有2次成绩（630 cm、631 cm）超过615 cm，李勇没有一次达到615 cm，因此选张浩参赛更有可能打破纪录。
【答案】
(1) 张浩的平均数为603 cm，李勇的方差为$\frac{346}{7}\ cm^2$；
(2) 张浩成绩的平均水平更高，李勇的成绩更稳定；
(3) 选李勇；
(4) 选张浩。
【知识点】
平均数、方差、数据的分析应用
【点评】
本题考查统计中平均数、方差的计算及实际应用，需准确掌握公式，结合题目要求分析数据，是统计部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
