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疑难点拨
已知一组数据70,29,71,72,81,73,105,69,用计算器求得这组数据的方差为(精确到0.01) (
A.378
B.377.69
C.378.70
D.378.69
点拨 熟知利用计算器求一组数据的方差的方法是解题的关键.
已知一组数据70,29,71,72,81,73,105,69,用计算器求得这组数据的方差为(精确到0.01) (
D
)A.378
B.377.69
C.378.70
D.378.69
点拨 熟知利用计算器求一组数据的方差的方法是解题的关键.
答案
D
解析
【分析】
要计算这组数据的方差，需先明确方差的计算方法：先求出数据的平均数，再计算每个数据与平均数差值的平方，最后求这些平方值的平均数（即总体方差）。本题可通过分步计算或借助计算器操作完成，核心是准确计算平均数和离均差平方和，再求方差并按要求精确。
【解析】
步骤1：计算数据的平均数。
这组数据为：70,29,71,72,81,73,105,69，共8个数据。
总和 = 70+29+71+72+81+73+105+69 = 570，
平均数 = 570÷8 = 71.25。
步骤2：计算每个数据与平均数差值的平方和。
(70-71.25)²=1.5625，
(29-71.25)²=1785.0625，
(71-71.25)²=0.0625，
(72-71.25)²=0.5625，
(81-71.25)²=95.0625，
(73-71.25)²=3.0625，
(105-71.25)²=1139.0625，
(69-71.25)²=5.0625，
平方和 = 1.5625+1785.0625+0.0625+0.5625+95.0625+3.0625+1139.0625+5.0625 = 3029.5。
步骤3：计算方差并精确。
方差 = 3029.5÷8 = 378.6875，精确到0.01为378.69。
【答案】
D
【知识点】
方差计算、计算器求方差
【点评】
本题考查方差的计算，核心是掌握方差的公式，计算时需注意数值的准确性，尤其是离均差平方和的求和过程，避免计算错误，属于基础计算类题目。
【难度系数】
0.5
要计算这组数据的方差，需先明确方差的计算方法：先求出数据的平均数，再计算每个数据与平均数差值的平方，最后求这些平方值的平均数（即总体方差）。本题可通过分步计算或借助计算器操作完成，核心是准确计算平均数和离均差平方和，再求方差并按要求精确。
【解析】
步骤1：计算数据的平均数。
这组数据为：70,29,71,72,81,73,105,69，共8个数据。
总和 = 70+29+71+72+81+73+105+69 = 570，
平均数 = 570÷8 = 71.25。
步骤2：计算每个数据与平均数差值的平方和。
(70-71.25)²=1.5625，
(29-71.25)²=1785.0625，
(71-71.25)²=0.0625，
(72-71.25)²=0.5625，
(81-71.25)²=95.0625，
(73-71.25)²=3.0625，
(105-71.25)²=1139.0625，
(69-71.25)²=5.0625，
平方和 = 1.5625+1785.0625+0.0625+0.5625+95.0625+3.0625+1139.0625+5.0625 = 3029.5。
步骤3：计算方差并精确。
方差 = 3029.5÷8 = 378.6875，精确到0.01为378.69。
【答案】
D
【知识点】
方差计算、计算器求方差
【点评】
本题考查方差的计算，核心是掌握方差的公式，计算时需注意数值的准确性，尤其是离均差平方和的求和过程，避免计算错误，属于基础计算类题目。
【难度系数】
0.5
1. 用计算器计算方差时,要首先进入统计模式,需要按键 (
A.$\boxed{2ndF}$ $\boxed{2}$
B.$\boxed{MODE}$ $\boxed{2}$
C.$\boxed{2ndF}$ $\boxed{DEL}$
D.$\boxed{DATA}$
B
)A.$\boxed{2ndF}$ $\boxed{2}$
B.$\boxed{MODE}$ $\boxed{2}$
C.$\boxed{2ndF}$ $\boxed{DEL}$
D.$\boxed{DATA}$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，需明确使用计算器计算方差时进入统计模式的正确操作步骤，逐一分析各选项对应的按键功能，找出符合要求的操作。
【解析】
使用计算器计算方差时，需先进入统计模式，正确操作是按下$\boxed{MODE}$键后选择对应统计模式的选项（通常为选项2）。对各选项分析如下：
选项A：$\boxed{2ndF}$ $\boxed{2}$，该按键组合并非进入统计模式的操作，不符合要求；
选项B：$\boxed{MODE}$ $\boxed{2}$，此操作是进入统计模式的正确按键组合，符合要求；
选项C：$\boxed{2ndF}$ $\boxed{DEL}$，该按键组合的功能与进入统计模式无关，不符合要求；
选项D：$\boxed{DATA}$，该按键用于输入统计数据，而非进入统计模式，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
计算器的使用、统计模式操作
【点评】
本题考查计算器的基础操作，是计算统计量（如方差）的前置步骤，属于需掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需明确使用计算器计算方差时进入统计模式的正确操作步骤，逐一分析各选项对应的按键功能，找出符合要求的操作。
【解析】
使用计算器计算方差时，需先进入统计模式，正确操作是按下$\boxed{MODE}$键后选择对应统计模式的选项（通常为选项2）。对各选项分析如下：
选项A：$\boxed{2ndF}$ $\boxed{2}$，该按键组合并非进入统计模式的操作，不符合要求；
选项B：$\boxed{MODE}$ $\boxed{2}$，此操作是进入统计模式的正确按键组合，符合要求；
选项C：$\boxed{2ndF}$ $\boxed{DEL}$，该按键组合的功能与进入统计模式无关，不符合要求；
选项D：$\boxed{DATA}$，该按键用于输入统计数据，而非进入统计模式，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
计算器的使用、统计模式操作
【点评】
本题考查计算器的基础操作，是计算统计量（如方差）的前置步骤，属于需掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.7
2. 体育课上,九年级(1)班和(3)班决定进行“1分钟跳绳”比赛,两个班各派出6名同学,成绩(单位:次)如下表:
(1) 九年级(1)班参赛选手成绩的众数为
(2) 九年级(3)班参赛选手成绩的方差为
(1) 九年级(1)班参赛选手成绩的众数为
187分
,中位数为183分
;(2) 九年级(3)班参赛选手成绩的方差为
5分²
.答案
2. (1) 187分 183分 (2) 5分²
解析
【分析】
要解决本题，需明确众数、中位数、方差的定义及计算规则：
1. 众数：一组数据中出现次数最多的数，直接统计各数出现次数即可；
2. 中位数：将数据从小到大排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数；若为奇数，取中间位置的数；
3. 方差：先计算数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方和，最后除以数据的总个数。
解题时先整理各班成绩，再按上述规则逐步计算对应统计量。
【解析】
(1) 九年级(1)班成绩为：187，178，175，179，187，191。
① 众数：统计各数出现次数，187出现2次，其余数各出现1次，因此众数为187；
② 中位数：将成绩从小到大排序：175，178，179，187，187，191，共6个数据，中间两个数是第3个179和第4个187，中位数为$\frac{179+187}{2}=183$。
(2) 九年级(3)班成绩为：181，180，180，181，186，184。
① 计算平均数：$\bar{x}=\frac{181+180+180+181+186+184}{6}=\frac{1092}{6}=182$；
② 计算方差：$s^2=\frac{1}{6}[(181-182)^2+(180-182)^2+(180-182)^2+(181-182)^2+(186-182)^2+(184-182)^2]$
$=\frac{1}{6}[(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2+(-1)^2+4^2+2^2]=\frac{1}{6}(1+4+4+1+16+4)=\frac{30}{6}=5$。
【答案】
(1) 187；183 (2) 5
【知识点】
众数；中位数；方差
【点评】
本题考查统计量的基本计算，需准确掌握众数、中位数、方差的定义和计算步骤，注意中位数在偶数个数据时的计算方法，方差计算时要先求平均数再算平方和，属于基础统计题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需明确众数、中位数、方差的定义及计算规则：
1. 众数：一组数据中出现次数最多的数，直接统计各数出现次数即可；
2. 中位数：将数据从小到大排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数；若为奇数，取中间位置的数；
3. 方差：先计算数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方和，最后除以数据的总个数。
解题时先整理各班成绩，再按上述规则逐步计算对应统计量。
【解析】
(1) 九年级(1)班成绩为：187，178，175，179，187，191。
① 众数：统计各数出现次数，187出现2次，其余数各出现1次，因此众数为187；
② 中位数：将成绩从小到大排序：175，178，179，187，187，191，共6个数据，中间两个数是第3个179和第4个187，中位数为$\frac{179+187}{2}=183$。
(2) 九年级(3)班成绩为：181，180，180，181，186，184。
① 计算平均数：$\bar{x}=\frac{181+180+180+181+186+184}{6}=\frac{1092}{6}=182$；
② 计算方差：$s^2=\frac{1}{6}[(181-182)^2+(180-182)^2+(180-182)^2+(181-182)^2+(186-182)^2+(184-182)^2]$
$=\frac{1}{6}[(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2+(-1)^2+4^2+2^2]=\frac{1}{6}(1+4+4+1+16+4)=\frac{30}{6}=5$。
【答案】
(1) 187；183 (2) 5
【知识点】
众数；中位数；方差
【点评】
本题考查统计量的基本计算，需准确掌握众数、中位数、方差的定义和计算步骤，注意中位数在偶数个数据时的计算方法，方差计算时要先求平均数再算平方和，属于基础统计题，难度适中。
【难度系数】
0.5
3. 把5个数据$-1,3,1,5,4$分成两组,第一组:$-1,1$;第二组:$3,4,5$,则这种分组情况下的组内离差平方和为
4
.答案
3. 4
解析
【分析】
要计算组内离差平方和，需先明确其计算规则：分别求出每组数据的平均值，再计算每组中每个数据与本组平均值的差的平方和，最后将两组的结果相加，即可得到总的组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组的平均值及组内离差平方和：
第一组数据为$-1,1$，平均值$\bar{x_1}=\frac{-1+1}{2}=0$，
组内离差平方和为$(-1-0)^2+(1-0)^2=1+1=2$；
2. 计算第二组的平均值及组内离差平方和：
第二组数据为$3,4,5$，平均值$\bar{x_2}=\frac{3+4+5}{3}=4$，
组内离差平方和为$(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2=1+0+1=2$；
3. 总的组内离差平方和为两组结果相加：$2+2=4$。
【答案】
4
【知识点】
组内离差平方和、平均值计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的基础计算，核心是掌握其计算步骤，属于统计类基础题目，计算过程简单直接。
【难度系数】
0.8
要计算组内离差平方和，需先明确其计算规则：分别求出每组数据的平均值，再计算每组中每个数据与本组平均值的差的平方和，最后将两组的结果相加，即可得到总的组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组的平均值及组内离差平方和：
第一组数据为$-1,1$，平均值$\bar{x_1}=\frac{-1+1}{2}=0$，
组内离差平方和为$(-1-0)^2+(1-0)^2=1+1=2$；
2. 计算第二组的平均值及组内离差平方和：
第二组数据为$3,4,5$，平均值$\bar{x_2}=\frac{3+4+5}{3}=4$，
组内离差平方和为$(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2=1+0+1=2$；
3. 总的组内离差平方和为两组结果相加：$2+2=4$。
【答案】
4
【知识点】
组内离差平方和、平均值计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的基础计算，核心是掌握其计算步骤，属于统计类基础题目，计算过程简单直接。
【难度系数】
0.8
4. 如图所示为A、B两个旅游点从2022~2026年“五一”的旅游人数变化情况,分别用实线和虚线表示.根据统计图解答以下问题:
(1) B旅游点的旅游人数相对上一年,增长最快的是哪一年?
(2) 求A、B两个旅游点从2022~2026年旅游人数的平均数和方差,并从平均数和方差的角度,用一句话对这两个旅游点的情况进行评价.
(1) B旅游点的旅游人数相对上一年,增长最快的是哪一年?
(2) 求A、B两个旅游点从2022~2026年旅游人数的平均数和方差,并从平均数和方差的角度,用一句话对这两个旅游点的情况进行评价.
答案
4. (1) B旅游点的旅游人数相对上一年,增长最快的是2025年.
(2) 从2022~2026年,A、B两个旅游点旅游人数的平均数
都为3万人,A旅游点人数的方差比B旅游点人数的方差
大,则A旅游点的人数比B旅游点的人数波动大.
(2) 从2022~2026年,A、B两个旅游点旅游人数的平均数
都为3万人,A旅游点人数的方差比B旅游点人数的方差
大,则A旅游点的人数比B旅游点的人数波动大.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需从折线统计图中准确读取A、B两个旅游点2022~2026年每年的旅游人数，再针对问题逐一分析：
1. 对于问题(1)，计算B旅游点每年相对上一年的旅游人数增长量，比较增长量的大小，增长量最大的年份即为增长最快的年份；
2. 对于问题(2)，先根据平均数公式计算A、B的平均数，再根据方差公式计算方差，最后结合平均数反映平均水平、方差反映数据波动程度的意义评价两个旅游点的情况。
【解析】
从折线图中提取数据：
A旅游点2022~2026年旅游人数（单位：万）：1，2，3，4，5；
B旅游点2022~2026年旅游人数（单位：万）：3，3，2，4，3。
(1) 计算B旅游点每年相对上一年的增长量：
2023年：$3-3=0$（万）；
2024年：$2-3=-1$（万，负增长）；
2025年：$4-2=2$（万）；
2026年：$3-4=-1$（万，负增长）；
比较可知，2025年增长量最大，故B旅游点增长最快的是2025年。
(2) 计算平均数和方差：
平均数公式：$\bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$，方差公式：$s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + ... + (x_n-\bar{x})^2]$。
A旅游点：
平均数$\bar{x}_A = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$（万）；
方差$s_A^2 = \frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{5} = \frac{4+1+0+1+4}{5} = 2$；
B旅游点：
平均数$\bar{x}_B = \frac{3+3+2+4+3}{5} = 3$（万）；
方差$s_B^2 = \frac{(3-3)^2 + (3-3)^2 + (2-3)^2 + (4-3)^2 + (3-3)^2}{5} = \frac{0+0+1+1+0}{5} = 0.4$；
评价：A、B两个旅游点的年平均旅游人数相同，均为3万，但A旅游点的旅游人数波动比B旅游点大。
【答案】
(1) B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是2025年；
(2) A、B两个旅游点从2022~2026年旅游人数的平均数都为3万人，A旅游点人数的方差比B旅游点人数的方差大，则A旅游点的人数比B旅游点的人数波动大。
【知识点】
折线统计图，平均数，方差
【点评】
本题考查从折线统计图中获取数据，结合平均数和方差的知识解决实际问题，属于统计基础题，需准确读取数据并掌握相关公式，难度适中。
【难度系数】
0.3
要解决这道题，首先需从折线统计图中准确读取A、B两个旅游点2022~2026年每年的旅游人数，再针对问题逐一分析：
1. 对于问题(1)，计算B旅游点每年相对上一年的旅游人数增长量，比较增长量的大小，增长量最大的年份即为增长最快的年份；
2. 对于问题(2)，先根据平均数公式计算A、B的平均数，再根据方差公式计算方差，最后结合平均数反映平均水平、方差反映数据波动程度的意义评价两个旅游点的情况。
【解析】
从折线图中提取数据：
A旅游点2022~2026年旅游人数（单位：万）：1，2，3，4，5；
B旅游点2022~2026年旅游人数（单位：万）：3，3，2，4，3。
(1) 计算B旅游点每年相对上一年的增长量：
2023年：$3-3=0$（万）；
2024年：$2-3=-1$（万，负增长）；
2025年：$4-2=2$（万）；
2026年：$3-4=-1$（万，负增长）；
比较可知，2025年增长量最大，故B旅游点增长最快的是2025年。
(2) 计算平均数和方差：
平均数公式：$\bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$，方差公式：$s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + ... + (x_n-\bar{x})^2]$。
A旅游点：
平均数$\bar{x}_A = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$（万）；
方差$s_A^2 = \frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{5} = \frac{4+1+0+1+4}{5} = 2$；
B旅游点：
平均数$\bar{x}_B = \frac{3+3+2+4+3}{5} = 3$（万）；
方差$s_B^2 = \frac{(3-3)^2 + (3-3)^2 + (2-3)^2 + (4-3)^2 + (3-3)^2}{5} = \frac{0+0+1+1+0}{5} = 0.4$；
评价：A、B两个旅游点的年平均旅游人数相同，均为3万，但A旅游点的旅游人数波动比B旅游点大。
【答案】
(1) B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是2025年；
(2) A、B两个旅游点从2022~2026年旅游人数的平均数都为3万人，A旅游点人数的方差比B旅游点人数的方差大，则A旅游点的人数比B旅游点的人数波动大。
【知识点】
折线统计图，平均数，方差
【点评】
本题考查从折线统计图中获取数据，结合平均数和方差的知识解决实际问题，属于统计基础题，需准确读取数据并掌握相关公式，难度适中。
【难度系数】
0.3
