【例1】如图,$AC$是$\odot O$内接正六边形的一边,点$B$在$\overset{\frown}{AC}$上,且$BC$是$\odot O$内接正八边形的一边.
此时$AB$是$\odot O$内接正$n$边形的一边,则$n$的值是 ()


A.12
B.16
C.20
D.24

D

【分析】要解决这个问题，需利用圆内接正多边形的中心角性质：圆内接正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$。首先分别求出正六边形、正八边形对应的中心角，再计算出AB边对应的中心角，最后根据中心角与边数的关系求出n的值。
【解析】因为AC是$\odot O$内接正六边形的一边，所以AC所对的中心角$∠ AOC = \frac{360°}{6} = 60°$；又因为BC是$\odot O$内接正八边形的一边，所以BC所对的中心角$∠ BOC = \frac{360°}{8} = 45°$。由于点B在$\overset{\frown}{AC}$上，因此AB所对的中心角$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC = 60° - 45° = 15°$。因为AB是$\odot O$内接正n边形的一边，所以该正n边形的中心角为$15°$，根据中心角公式可得：$\frac{360°}{n} = 15°$，解得$n = \frac{360°}{15°} = 24$。
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形、中心角计算
【点评】本题考查圆内接正多边形中心角的计算，核心是掌握正多边形中心角的公式，通过已知正多边形的中心角推导未知边对应的中心角，进而求出边数，属于基础几何应用题型，难度适中。
【难度系数】0.5

1. 如图,在正六边形$ABCDEF$中,$G$、$H$分别是$AF$和$CD$的中点,$P$是$GH$上的动点,连接$AP$、$BP$,当$AP+BP$的值最小时,$BP$与$HG$的夹角(锐角)度数为。

1. $60°$

【分析】
要解决该问题，需利用最短路径的对称原理确定动点P的位置：正六边形中GH是AF、CD中点的连线，为图形的对称轴，点A关于GH的对称点为F，因此AP=FP，AP+BP转化为FP+BP，根据两点之间线段最短，连接FB与GH的交点即为使AP+BP最小的P点。之后通过几何关系或向量计算BP与HG的夹角，利用三角函数求出锐角角度。
【解析】
1. 确定动点P的位置：正六边形ABCDEF中，GH是AF、CD中点的连线，为图形的对称轴，点A关于直线GH的对称点为F，故AP=FP，因此AP+BP=FP+BP。根据两点之间线段最短，连接FB，线段FB与GH的交点即为使AP+BP最小的P点。
2. 计算夹角：设正六边形边长为2，建立平面直角坐标系，各点坐标为A(2,0)、B(1,√3)、F(1,-√3)。直线GH的方程为y=-√3/3 x，直线FB为x=1，联立得P点坐标为(1, -√3/3)。
3. 求夹角：向量BP=(0, -4√3/3)，HG的方向向量为(3, -√3)，取单位向量分别为(0,-1)和(√3/2, -1/2)，两单位向量的点积为1/2，故夹角的余弦值为1/2，对应锐角为60°。
【答案】
60°
【知识点】
轴对称最短路径、正六边形性质、向量夹角计算
【点评】
本题结合正六边形的对称性，利用最短路径的对称法确定动点位置，再通过几何关系求解夹角，综合考察几何知识的应用能力，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

【例2】已知在半径为$R$的圆中,长为$l$的弧所对的圆心角为$n°$,则下列关系式不正确的是 ()

A.$l=\dfrac{nπ R}{180}$
B.$n=\dfrac{180l}{π R}$
C.$R=\dfrac{180l}{nπ}$
D.$l=2nR$

D

【分析】
这道题考查弧长公式的应用，解题思路是先回忆弧长公式，再将公式进行变形，逐一验证每个选项是否正确，找出不符合的关系式。
【解析】
弧长公式为 $ l = \frac{nπ R}{180} $（其中$ l $是弧长，$ n° $是圆心角度数，$ R $是圆的半径）。
选项A：直接对应弧长公式，故A正确；
选项B：对弧长公式变形，两边同乘180得 $ 180l = nπ R $，两边除以$ π R $得 $ n = \frac{180l}{π R} $，故B正确；
选项C：对弧长公式变形，两边同乘180得 $ 180l = nπ R $，两边除以$ nπ $得 $ R = \frac{180l}{nπ} $，故C正确；
选项D：弧长公式为 $ l = \frac{nπ R}{180} $，并非$ l=2nR $，故D错误。
【答案】
D
【知识点】
弧长公式、圆心角与弧长的关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查弧长公式的记忆与变形应用，需要学生熟练掌握公式并灵活变形，难度较低。
【难度系数】
0.7

2. 如图,用一个半径为12 cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了$150°$,假设绳索粗细不计,且与轮滑之间没有滑动,则重物上升的高度为cm.(结果保留$π$)

2. $10π$

【分析】本题需明确：绳索与滑轮无滑动时，重物上升的高度等于定滑轮边缘转过的弧长。解题时运用弧长计算公式，代入旋转角度和滑轮半径计算弧长，即可得到重物上升的高度。
【解析】因为绳索与滑轮之间没有滑动，所以重物上升的高度等于定滑轮旋转150°时滑轮边缘转过的弧长。根据弧长公式 $ l = \frac{nπ r}{180} $（n为圆心角度数，r为半径），代入n=150°，r=12cm，计算得：
$ l = \frac{150 × π × 12}{180} = 10π $（cm），即重物上升的高度为10π cm。
【答案】10π
【知识点】弧长公式、定滑轮应用
【点评】本题结合定滑轮实际场景考查弧长公式的应用，核心是理解重物上升高度与滑轮边缘弧长的等量关系，属于基础几何应用题型，难度适中。
【难度系数】0.5

3. 一块含$30°$角的直角三角板$ABC$按如图所示的方式摆放,边$AB$与直线$l$重合,$AB=12$ cm.现将该三角板绕点$B$顺时针旋转,使点$C$的对应点$C'$落在直线$l$上,则点$A$经过的路径长至少为cm.(结果保留$π$)

3. $8π$

【分析】
要计算点A经过的路径长，需明确点A的运动轨迹是一段圆弧，旋转中心为点B，半径为AB的长度，旋转角是点A绕B旋转的角度。首先根据直角三角板的角度关系求出旋转角，再利用弧长公式计算路径长。
步骤：1. 确定直角三角板的内角度数，得到∠ABC的大小；2. 分析旋转后C'落在直线l上时，旋转角的数值；3. 确定点A旋转的半径和旋转角，代入弧长公式计算结果。
【解析】
在含30°角的直角三角板ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12 cm，因此∠ABC=60°。
三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线l（AB所在直线）上，旋转角为∠CBC'，由于∠ABC=60°，故旋转角∠CBC'=180°-60°=120°，即点A绕点B旋转的旋转角为120°，旋转半径为AB=12 cm。
根据弧长公式：弧长= $\frac{nπr}{180}$（n为旋转角度，r为半径），代入得点A经过的路径长为：$\frac{120×π×12}{180}=8π$ cm。
【答案】
8π
【知识点】
弧长计算；旋转的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题结合直角三角板的旋转考查弧长公式的应用，关键是确定旋转角和旋转半径，需熟练掌握直角三角形的角度关系及弧长公式，属于基础几何题。
【难度系数】
0.4