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3.【问题提出】(1) 小明通过“直线与圆的位置关系”的学习,已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线.在对这一知识的学习过程进行反思时,小明突发奇想:如图1,直线$l$与$\odot O$相离,点$P$在直线$l$上运动,过点$P$作$\odot O$的切线,切点为$A$,则$PA$的长是否存在最小值?
小明探究后发现,当$OP⊥$直线$l$时,$PA$的长最小.
请帮小明证明该结论；
【理解内化】(2)如图2,正方形$ABCD$的边长为4,以$D$为圆心,2为半径作圆.点$P$是$BC$边上的动点,过点$P$作$\odot O$的切线,切点为$E$,则$PE$的取值范围为.
【拓展应用】(3)如图3,直线$y=\frac{3}{4}x+3$与$x$轴和$y$轴分别相交于$A,B$两点,$P$是该直线上的任一点.将直线$y=\frac{3}{4}x+3$向下平移5个单位长度,与$x$轴和$y$轴分别相交于$D,C$两点,过点$D$向以$P$为圆心,2为半径的$\odot P$右侧作切线,切点为$E$.则四边形$CPED$面积的最小值为.
(4) 在平面直角坐标系中,$\odot A$的半径为2,$A(0,4)$,过直线$y=kx(k≠0)$上一点$P$,作$\odot A$的切线,切点为$E$,$△ PAE$的最小面积为$S$.若$1≤ S≤\frac{3}{2}$,请直接写出$k$的取值范围.
小明探究后发现,当$OP⊥$直线$l$时,$PA$的长最小.
请帮小明证明该结论；
【理解内化】(2)如图2,正方形$ABCD$的边长为4,以$D$为圆心,2为半径作圆.点$P$是$BC$边上的动点,过点$P$作$\odot O$的切线,切点为$E$,则$PE$的取值范围为.
【拓展应用】(3)如图3,直线$y=\frac{3}{4}x+3$与$x$轴和$y$轴分别相交于$A,B$两点,$P$是该直线上的任一点.将直线$y=\frac{3}{4}x+3$向下平移5个单位长度,与$x$轴和$y$轴分别相交于$D,C$两点,过点$D$向以$P$为圆心,2为半径的$\odot P$右侧作切线,切点为$E$.则四边形$CPED$面积的最小值为.
(4) 在平面直角坐标系中,$\odot A$的半径为2,$A(0,4)$,过直线$y=kx(k≠0)$上一点$P$,作$\odot A$的切线,切点为$E$,$△ PAE$的最小面积为$S$.若$1≤ S≤\frac{3}{2}$,请直接写出$k$的取值范围.
答案
3. (1) 在直线$l$上任取不同于点$P$的一点$P_{1}$,则有$OP_{1}＞OP$.
过$P_{1}$作$\odot O$的切线,切点为$B$.连接$OA,OB,OP_{1}$.
$\because PA,P_{1}B$都是$\odot O$的切线,
$\therefore OA⊥ PA,OB⊥ P_{1}B$.
$\therefore P_{1}B=\sqrt{P_{1}O^{2}-OB^{2}},PA=\sqrt{PO^{2}-OA^{2}}$.
$\because OA=OB$,
$\therefore \sqrt{P_{1}O^{2}-OB^{2}}＞\sqrt{PO^{2}-OA^{2}}$,即$P_{1}B＞PA$.
$\therefore PA$的长最小.
(2) $2\sqrt{3}≤ PE≤ 2\sqrt{7}$;
(3) $\frac{20+6\sqrt{3}}{3}$;
(4) $-\frac{\sqrt{55}}{5}≤ k≤ -\frac{\sqrt{39}}{5}$或$\frac{\sqrt{39}}{5}≤ k≤ \frac{\sqrt{55}}{5}$.
过$P_{1}$作$\odot O$的切线,切点为$B$.连接$OA,OB,OP_{1}$.
$\because PA,P_{1}B$都是$\odot O$的切线,
$\therefore OA⊥ PA,OB⊥ P_{1}B$.
$\therefore P_{1}B=\sqrt{P_{1}O^{2}-OB^{2}},PA=\sqrt{PO^{2}-OA^{2}}$.
$\because OA=OB$,
$\therefore \sqrt{P_{1}O^{2}-OB^{2}}＞\sqrt{PO^{2}-OA^{2}}$,即$P_{1}B＞PA$.
$\therefore PA$的长最小.
(2) $2\sqrt{3}≤ PE≤ 2\sqrt{7}$;
(3) $\frac{20+6\sqrt{3}}{3}$;
(4) $-\frac{\sqrt{55}}{5}≤ k≤ -\frac{\sqrt{39}}{5}$或$\frac{\sqrt{39}}{5}≤ k≤ \frac{\sqrt{55}}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证明PA最小，利用切线性质得PA=√(OP² - r²)，因圆半径r固定，故OP最小时PA最小；根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当OP⊥直线l时，OP最小，从而PA最小。
(2) 由切线性质得PE=√(PD² - r²)，r=2，故需先求PD的取值范围；P在BC上，D为定点，计算PD的最大、最小值，代入得PE范围。
(3) 先求平移后直线及D、C坐标，利用切线性质得△PDE为直角三角形，四边形CPED面积=S△PCD + S△PDE，其中S△PCD为定值，故需PD最小（即D到直线AB的距离），代入计算得最小面积。
(4) △PAE为直角三角形，面积S=PE，而PE=√(PA² - AE²)，PA最小为A到直线y=kx的距离，据此建立关于k的不等式，求解得k的范围。
【解析】
(1) 证明：如图1，在直线l上任取异于P的点P₁，过P₁作⊙O的切线，切点为B，连接OA、OB、OP₁。
∵PA、P₁B是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥P₁B，即△OAP、△OBP₁均为直角三角形。
由勾股定理得：PA=√(OP² - OA²)，P₁B=√(OP₁² - OB²)。
∵OA=OB（⊙O半径），
∴PA=√(OP² - r²)，P₁B=√(OP₁² - r²)（r为⊙O半径）。
根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当OP⊥l时，OP是点O到直线l的最短距离，即OP＜OP₁，故√(OP² - r²)＜√(OP₁² - r²)，即PA＜P₁B。
因此，当OP⊥直线l时，PA的长最小。
(2) 如图2，连接PD、DE，
∵PE是⊙D的切线，
∴DE⊥PE，DE=2（⊙D半径）。
在Rt△PDE中，PE=√(PD² - DE²)=√(PD² - 4)。
设正方形ABCD坐标：B(0,0)、C(4,0)、D(4,4)，P在BC上，坐标为(x,0)（0≤x≤4），则PD=√[(4 - x)² + (4 - 0)²]=√[(4 - x)² + 16]。
当x=4时，PD最小=4，此时PE最小=√(4² -4)=2√3；
当x=0时，PD最大=√(4² +16)=4√2，此时PE最大=√[(4√2)² -4]=2√7；
故PE的取值范围为2√3 ≤ PE ≤2√7。
(3) 如图3，直线y=3/4x+3向下平移5个单位得CD所在直线：y=3/4x -2。
求交点：D为与x轴交点，令y=0，得x=8/3，即D(8/3,0)；C为与y轴交点，令x=0，得y=-2，即C(0,-2)。
∵DE是⊙P的切线，
∴PE⊥DE，PE=2，S△PDE=1/2×PE×DE=√(PD² -4)。
计算△PCD面积：用坐标公式得S△PCD=20/3（定值）。
四边形CPED面积=S△PCD + S△PDE=20/3 +√(PD² -4)，要使面积最小，需PD最小，即PD为D到直线AB的距离。
直线AB：3x -4y +12=0，D到AB的距离=|3×8/3 -4×0 +12|/5=4，故PD最小=4，此时S△PDE最小=√(16-4)=2√3。
因此，四边形CPED面积最小值=20/3 +2√3=(20+6√3)/3。
(4) ⊙A半径AE=2，△PAE为直角三角形，S△PAE=1/2×AE×PE=PE，故S=PE。
在Rt△PAE中，PE=√(PA² -4)，PA最小值为A(0,4)到直线y=kx的距离d=4/√(k²+1)，因此S=√[(12-4k²)/(k²+1)]。
由1≤S≤3/2，平方得1 ≤(12-4k²)/(k²+1) ≤9/4，解得：
左边：5k² ≤11 →|k|≤√55/5；右边：25k²≥39 →|k|≥√39/5；
又k≠0，故k的取值范围为：-√55/5 ≤k ≤-√39/5 或 √39/5 ≤k ≤√55/5。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 2√3 ≤ PE ≤2√7；(3) (20+6√3)/3；(4) -√55/5 ≤k ≤-√39/5 或 √39/5 ≤k ≤√55/5
【知识点】
切线性质、勾股定理、点到直线距离、一元二次不等式
【点评】
本题综合考查直线与圆的位置关系，涉及切线性质、最值问题，需熟练运用几何定理与代数运算，对知识综合应用能力要求较高，属于中档偏难题目。
【难度系数】
0.3
(1) 要证明PA最小，利用切线性质得PA=√(OP² - r²)，因圆半径r固定，故OP最小时PA最小；根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当OP⊥直线l时，OP最小，从而PA最小。
(2) 由切线性质得PE=√(PD² - r²)，r=2，故需先求PD的取值范围；P在BC上，D为定点，计算PD的最大、最小值，代入得PE范围。
(3) 先求平移后直线及D、C坐标，利用切线性质得△PDE为直角三角形，四边形CPED面积=S△PCD + S△PDE，其中S△PCD为定值，故需PD最小（即D到直线AB的距离），代入计算得最小面积。
(4) △PAE为直角三角形，面积S=PE，而PE=√(PA² - AE²)，PA最小为A到直线y=kx的距离，据此建立关于k的不等式，求解得k的范围。
【解析】
(1) 证明：如图1，在直线l上任取异于P的点P₁，过P₁作⊙O的切线，切点为B，连接OA、OB、OP₁。
∵PA、P₁B是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥P₁B，即△OAP、△OBP₁均为直角三角形。
由勾股定理得：PA=√(OP² - OA²)，P₁B=√(OP₁² - OB²)。
∵OA=OB（⊙O半径），
∴PA=√(OP² - r²)，P₁B=√(OP₁² - r²)（r为⊙O半径）。
根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当OP⊥l时，OP是点O到直线l的最短距离，即OP＜OP₁，故√(OP² - r²)＜√(OP₁² - r²)，即PA＜P₁B。
因此，当OP⊥直线l时，PA的长最小。
(2) 如图2，连接PD、DE，
∵PE是⊙D的切线，
∴DE⊥PE，DE=2（⊙D半径）。
在Rt△PDE中，PE=√(PD² - DE²)=√(PD² - 4)。
设正方形ABCD坐标：B(0,0)、C(4,0)、D(4,4)，P在BC上，坐标为(x,0)（0≤x≤4），则PD=√[(4 - x)² + (4 - 0)²]=√[(4 - x)² + 16]。
当x=4时，PD最小=4，此时PE最小=√(4² -4)=2√3；
当x=0时，PD最大=√(4² +16)=4√2，此时PE最大=√[(4√2)² -4]=2√7；
故PE的取值范围为2√3 ≤ PE ≤2√7。
(3) 如图3，直线y=3/4x+3向下平移5个单位得CD所在直线：y=3/4x -2。
求交点：D为与x轴交点，令y=0，得x=8/3，即D(8/3,0)；C为与y轴交点，令x=0，得y=-2，即C(0,-2)。
∵DE是⊙P的切线，
∴PE⊥DE，PE=2，S△PDE=1/2×PE×DE=√(PD² -4)。
计算△PCD面积：用坐标公式得S△PCD=20/3（定值）。
四边形CPED面积=S△PCD + S△PDE=20/3 +√(PD² -4)，要使面积最小，需PD最小，即PD为D到直线AB的距离。
直线AB：3x -4y +12=0，D到AB的距离=|3×8/3 -4×0 +12|/5=4，故PD最小=4，此时S△PDE最小=√(16-4)=2√3。
因此，四边形CPED面积最小值=20/3 +2√3=(20+6√3)/3。
(4) ⊙A半径AE=2，△PAE为直角三角形，S△PAE=1/2×AE×PE=PE，故S=PE。
在Rt△PAE中，PE=√(PA² -4)，PA最小值为A(0,4)到直线y=kx的距离d=4/√(k²+1)，因此S=√[(12-4k²)/(k²+1)]。
由1≤S≤3/2，平方得1 ≤(12-4k²)/(k²+1) ≤9/4，解得：
左边：5k² ≤11 →|k|≤√55/5；右边：25k²≥39 →|k|≥√39/5；
又k≠0，故k的取值范围为：-√55/5 ≤k ≤-√39/5 或 √39/5 ≤k ≤√55/5。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 2√3 ≤ PE ≤2√7；(3) (20+6√3)/3；(4) -√55/5 ≤k ≤-√39/5 或 √39/5 ≤k ≤√55/5
【知识点】
切线性质、勾股定理、点到直线距离、一元二次不等式
【点评】
本题综合考查直线与圆的位置关系，涉及切线性质、最值问题，需熟练运用几何定理与代数运算，对知识综合应用能力要求较高，属于中档偏难题目。
【难度系数】
0.3
