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8. 关于x的一元二次方程$(m-2)x^{2}+4x+2=0$有两个实数根,则m的取值范围是 (
A. $m≤4$
B. $m≥4$
C. $m≥-4$且$m≠2$
D. $m≤4$且$m≠2$
D
)A. $m≤4$
B. $m≥4$
C. $m≥-4$且$m≠2$
D. $m≤4$且$m≠2$
答案
8. D
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确一元二次方程有两个实数根的两个关键条件：①二次项系数不为0（保证是一元二次方程）；②判别式Δ≥0（保证有两个实数根）。先根据这两个条件列出不等式，再求解即可。
【解析】
解：
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴二次项系数不为0，即 $ m - 2 ≠ 0 $，得 $ m ≠ 2 $；
又
∵方程有两个实数根，
∴判别式 $ Δ = b² - 4ac ≥ 0 $，其中 $ a = m - 2 $，$ b = 4 $，$ c = 2 $，
代入得：$ Δ = 4² - 4×(m - 2)×2 = 16 - 8(m - 2) = 32 - 8m ≥ 0 $，
解不等式 $ 32 - 8m ≥ 0 $，得 $ m ≤ 4 $；
结合 $ m ≠ 2 $，故m的取值范围是 $ m ≤ 4 $ 且 $ m ≠ 2 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式，易错点是忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的条件，需同时满足两个条件才能正确求解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需明确一元二次方程有两个实数根的两个关键条件：①二次项系数不为0（保证是一元二次方程）；②判别式Δ≥0（保证有两个实数根）。先根据这两个条件列出不等式，再求解即可。
【解析】
解：
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴二次项系数不为0，即 $ m - 2 ≠ 0 $，得 $ m ≠ 2 $；
又
∵方程有两个实数根，
∴判别式 $ Δ = b² - 4ac ≥ 0 $，其中 $ a = m - 2 $，$ b = 4 $，$ c = 2 $，
代入得：$ Δ = 4² - 4×(m - 2)×2 = 16 - 8(m - 2) = 32 - 8m ≥ 0 $，
解不等式 $ 32 - 8m ≥ 0 $，得 $ m ≤ 4 $；
结合 $ m ≠ 2 $，故m的取值范围是 $ m ≤ 4 $ 且 $ m ≠ 2 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式，易错点是忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的条件，需同时满足两个条件才能正确求解。
【难度系数】
0.6
9. 对于任意4个实数a、b、c、d定义一种新的运算:$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d\end{vmatrix} =ad-bc$.例如:$\begin{vmatrix} 3&4\\ 5&6\end{vmatrix} =3×6-4×5=$
2.则关于x的方程$\begin{vmatrix} k-x&-3\\ 2&x\end{vmatrix} =0$的根的情况为 ( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
2.则关于x的方程$\begin{vmatrix} k-x&-3\\ 2&x\end{vmatrix} =0$的根的情况为 ( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
答案
9. A
解析
【分析】首先，明确题目定义的二阶行列式运算规则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，需先将方程中的行列式按此规则转化为一元二次方程；再利用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，判别式大于0时方程有两个不相等的实数根，等于0时两个相等，小于0时无实根。
【解析】根据新运算规则，方程$\begin{vmatrix}k-x&-3\\2&x\end{vmatrix}=0$可转化为：
$(k-x)· x - (-3)· 2 = 0$
展开并整理得：
$-x^2 + kx + 6 = 0$，即$x^2 - kx -6 =0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），这里$a=1$，$b=-k$，$c=-6$，计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-k)^2 -4×1×(-6) = k^2 +24$
因为$k^2≥0$，所以$\Delta =k^2 +24＞0$，因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】A
【知识点】新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是正确将行列式转化为方程，再准确计算判别式并判断符号，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】根据新运算规则，方程$\begin{vmatrix}k-x&-3\\2&x\end{vmatrix}=0$可转化为：
$(k-x)· x - (-3)· 2 = 0$
展开并整理得：
$-x^2 + kx + 6 = 0$，即$x^2 - kx -6 =0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），这里$a=1$，$b=-k$，$c=-6$，计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-k)^2 -4×1×(-6) = k^2 +24$
因为$k^2≥0$，所以$\Delta =k^2 +24＞0$，因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】A
【知识点】新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是正确将行列式转化为方程，再准确计算判别式并判断符号，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
10. [教材改编]若关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+a=0$有实数根,则a的值可以是
答案不唯一,满足 $a≤1$ 即可
.(填一个即可)答案
10. 答案不唯一,满足 $a≤1$ 即可
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，当判别式$\Delta = B^2 - 4AC ≥ 0$时，方程有实数根。先确定题目中方程的系数，代入判别式得到关于$a$的不等式，解不等式后取一个符合条件的$a$值即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$，其中二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-2$，常数项$C=a$。
因为方程有实数根，所以判别式$\Delta = B^2 - 4AC ≥ 0$，代入系数得：
$(-2)^2 - 4×1×a ≥ 0$
计算得：$4 - 4a ≥ 0$
化简不等式：两边同时除以4得$1 - a ≥ 0$，即$a ≤ 1$。
因此，取一个满足$a ≤ 1$的数即可，例如$a=0$（答案不唯一）。
【答案】
0（答案不唯一，满足$a≤1$即可）
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，只需牢记判别式与根的关系，通过解简单不等式就能得到结果，对学生的基础概念掌握要求不高。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，当判别式$\Delta = B^2 - 4AC ≥ 0$时，方程有实数根。先确定题目中方程的系数，代入判别式得到关于$a$的不等式，解不等式后取一个符合条件的$a$值即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$，其中二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-2$，常数项$C=a$。
因为方程有实数根，所以判别式$\Delta = B^2 - 4AC ≥ 0$，代入系数得：
$(-2)^2 - 4×1×a ≥ 0$
计算得：$4 - 4a ≥ 0$
化简不等式：两边同时除以4得$1 - a ≥ 0$，即$a ≤ 1$。
因此，取一个满足$a ≤ 1$的数即可，例如$a=0$（答案不唯一）。
【答案】
0（答案不唯一，满足$a≤1$即可）
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，只需牢记判别式与根的关系，通过解简单不等式就能得到结果，对学生的基础概念掌握要求不高。
【难度系数】
0.8
11. 已知x,y满足$2x^{2}-2xy+y^{2}=1$,则$x+2y$的最大值为
$\sqrt{13}$
.答案
11. $\sqrt{13}$
解析
【分析】
要求$x+2y$的最大值，可设目标式$t=x+2y$，将$x$用$t$和$y$表示后代入已知等式，得到关于$y$的一元二次方程；由于$y$为实数，该方程的判别式需非负，据此可求出$t$的取值范围，进而得到最大值。
【解析】
设$ t = x + 2y $，则$ x = t - 2y $，将其代入$ 2x^2 - 2xy + y^2 = 1 $得：
$\begin{aligned}2(t - 2y)^2 - 2(t - 2y)y + y^2 &= 1 \\2(t^2 - 4ty + 4y^2) - 2ty + 4y^2 + y^2 &= 1 \\2t^2 - 8ty + 8y^2 - 2ty + 5y^2 &= 1 \\13y^2 - 10ty + 2t^2 - 1 &= 0\end{aligned}$
因为$ y $是实数，所以关于$ y $的一元二次方程的判别式$ \Delta ≥ 0 $，计算判别式：
$\Delta = (-10t)^2 - 4 × 13 × (2t^2 - 1) = 100t^2 - 104t^2 + 52 = -4t^2 + 52$
令$ \Delta ≥ 0 $，即$ -4t^2 + 52 ≥ 0 $，解得$ t^2 ≤ 13 $，故$ -\sqrt{13} ≤ t ≤ \sqrt{13} $，因此$ x + 2y $的最大值为$ \sqrt{13} $。
【答案】
$ \sqrt{13} $
【知识点】
二元函数最值、判别式法、二次方程性质
【点评】
本题通过设目标式将条件最值问题转化为一元二次方程有实根的问题，利用判别式求解范围，是解决此类最值问题的常用方法，关键在于合理进行代数变形。
【难度系数】
0.5
要求$x+2y$的最大值，可设目标式$t=x+2y$，将$x$用$t$和$y$表示后代入已知等式，得到关于$y$的一元二次方程；由于$y$为实数，该方程的判别式需非负，据此可求出$t$的取值范围，进而得到最大值。
【解析】
设$ t = x + 2y $，则$ x = t - 2y $，将其代入$ 2x^2 - 2xy + y^2 = 1 $得：
$\begin{aligned}2(t - 2y)^2 - 2(t - 2y)y + y^2 &= 1 \\2(t^2 - 4ty + 4y^2) - 2ty + 4y^2 + y^2 &= 1 \\2t^2 - 8ty + 8y^2 - 2ty + 5y^2 &= 1 \\13y^2 - 10ty + 2t^2 - 1 &= 0\end{aligned}$
因为$ y $是实数，所以关于$ y $的一元二次方程的判别式$ \Delta ≥ 0 $，计算判别式：
$\Delta = (-10t)^2 - 4 × 13 × (2t^2 - 1) = 100t^2 - 104t^2 + 52 = -4t^2 + 52$
令$ \Delta ≥ 0 $，即$ -4t^2 + 52 ≥ 0 $，解得$ t^2 ≤ 13 $，故$ -\sqrt{13} ≤ t ≤ \sqrt{13} $，因此$ x + 2y $的最大值为$ \sqrt{13} $。
【答案】
$ \sqrt{13} $
【知识点】
二元函数最值、判别式法、二次方程性质
【点评】
本题通过设目标式将条件最值问题转化为一元二次方程有实根的问题，利用判别式求解范围，是解决此类最值问题的常用方法，关键在于合理进行代数变形。
【难度系数】
0.5
12. 已知关于x的一元二次方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$,其中a、b、c分别为$△ ABC$的三边长.
(1) 若$x=-1$是方程的根,试判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
(2) 若方程有两个相等的实数根,试判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
(3) 若$△ ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
(1) 若$x=-1$是方程的根,试判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
(2) 若方程有两个相等的实数根,试判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
(3) 若$△ ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
答案
12. (1) $△ ABC$ 是等腰三角形 (2) $△ ABC$ 是直角三角形
(3) $x_1=0,x_2=-1$.
(3) $x_1=0,x_2=-1$.
解析
【分析】
本题结合一元二次方程与三角形的性质，分三小问逐步推导：第(1)问利用方程根的定义，将已知根代入方程整理，得到三角形两边的关系判断形状；第(2)问利用一元二次方程根的判别式等于0，推导三边平方关系判断形状；第(3)问利用等边三角形三边相等的性质，代入方程化简求解根。
【解析】
(1) 把$x=-1$代入方程$(a+c)x^2+2bx+(a-c)=0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a-c) = 0$
展开计算：$a+c - 2b + a - c = 0$
合并同类项：$2a - 2b = 0$，即$a=b$
因为$a、b$是$△ ABC$的边长，所以$△ ABC$是等腰三角形。
(2) 因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta=0$，其中$\Delta=(2b)^2 - 4(a+c)(a-c)$，计算得：
$\Delta=4b^2 - 4(a^2 - c^2)=0$
两边除以4：$b^2 - a^2 + c^2=0$，即$b^2 + c^2=a^2$
根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形。
(3) 若$△ ABC$是等边三角形，则$a=b=c$，代入原方程得：
$(a+a)x^2 + 2ax + (a-a)=0$，即$2ax^2 + 2ax=0$
因为$a≠0$，两边除以$2a$得：$x^2 + x=0$
因式分解：$x(x+1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰三角形；(2) $△ ABC$是直角三角形；(3) $x_1=0,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的根的定义、根的判别式、三角形形状判定
【点评】
本题将代数知识（一元二次方程）与几何知识（三角形性质）结合，考察基础知识点的综合应用，题型常规，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题结合一元二次方程与三角形的性质，分三小问逐步推导：第(1)问利用方程根的定义，将已知根代入方程整理，得到三角形两边的关系判断形状；第(2)问利用一元二次方程根的判别式等于0，推导三边平方关系判断形状；第(3)问利用等边三角形三边相等的性质，代入方程化简求解根。
【解析】
(1) 把$x=-1$代入方程$(a+c)x^2+2bx+(a-c)=0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a-c) = 0$
展开计算：$a+c - 2b + a - c = 0$
合并同类项：$2a - 2b = 0$，即$a=b$
因为$a、b$是$△ ABC$的边长，所以$△ ABC$是等腰三角形。
(2) 因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta=0$，其中$\Delta=(2b)^2 - 4(a+c)(a-c)$，计算得：
$\Delta=4b^2 - 4(a^2 - c^2)=0$
两边除以4：$b^2 - a^2 + c^2=0$，即$b^2 + c^2=a^2$
根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形。
(3) 若$△ ABC$是等边三角形，则$a=b=c$，代入原方程得：
$(a+a)x^2 + 2ax + (a-a)=0$，即$2ax^2 + 2ax=0$
因为$a≠0$，两边除以$2a$得：$x^2 + x=0$
因式分解：$x(x+1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰三角形；(2) $△ ABC$是直角三角形；(3) $x_1=0,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的根的定义、根的判别式、三角形形状判定
【点评】
本题将代数知识（一元二次方程）与几何知识（三角形性质）结合，考察基础知识点的综合应用，题型常规，难度适中。
【难度系数】
0.6
13. 我们规定:对于任意实数a、b、c、d有$[a,b]*[c,d]=ac-bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:$[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13$.
(1) 求$[-4,3]*[2,-6]$的值;
(2) 已知关于x的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根,求m的取值范围.
(1) 求$[-4,3]*[2,-6]$的值;
(2) 已知关于x的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根,求m的取值范围.
答案
13. (1) 10 (2) $m≤\frac{1}{4}$ 且 $m≠0$
解析
【分析】首先明确题目规定的新运算规则：对于任意实数a、b、c、d，$[a,b]*[c,d]=ac-bd$。第(1)问直接代入对应数值按规则计算；第(2)问先根据新运算写出方程，整理为一元二次方程的一般形式，再结合一元二次方程有两个实数根的条件（二次项系数不为0、判别式≥0）求解m的取值范围。
【解析】(1) 根据新运算规则：
$[-4,3]*[2,-6] = (-4)×2 - 3×(-6) = -8 + 18 = 10$；
(2) 根据新运算规则，方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$可转化为：
$x·(mx+1) - (2x-1)·m = 0$，
整理得：$mx² + x - 2mx + m = 0$，即$mx² + (1-2m)x + m = 0$。
因为该方程有两个实数根，所以需满足：
① 是一元二次方程，即二次项系数$m≠0$；
② 判别式$Δ≥0$，计算判别式：
$Δ=(1-2m)² - 4·m·m = 1 - 4m + 4m² - 4m² = 1 - 4m$，
由$Δ≥0$得$1 - 4m ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{1}{4}$。
综上，m的取值范围是$m ≤ \frac{1}{4}$且$m≠0$。
【答案】(1) 10；(2) $m≤\frac{1}{4}$且$m≠0$
【知识点】新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合新定义运算考查一元二次方程根的性质，核心是正确理解新运算规则，将方程转化为标准形式后，利用一元二次方程有两个实数根的两个限制条件（二次项系数不为0、判别式非负）求解，属于中等难度的综合题。
【难度系数】0.5
【解析】(1) 根据新运算规则：
$[-4,3]*[2,-6] = (-4)×2 - 3×(-6) = -8 + 18 = 10$；
(2) 根据新运算规则，方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$可转化为：
$x·(mx+1) - (2x-1)·m = 0$，
整理得：$mx² + x - 2mx + m = 0$，即$mx² + (1-2m)x + m = 0$。
因为该方程有两个实数根，所以需满足：
① 是一元二次方程，即二次项系数$m≠0$；
② 判别式$Δ≥0$，计算判别式：
$Δ=(1-2m)² - 4·m·m = 1 - 4m + 4m² - 4m² = 1 - 4m$，
由$Δ≥0$得$1 - 4m ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{1}{4}$。
综上，m的取值范围是$m ≤ \frac{1}{4}$且$m≠0$。
【答案】(1) 10；(2) $m≤\frac{1}{4}$且$m≠0$
【知识点】新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合新定义运算考查一元二次方程根的性质，核心是正确理解新运算规则，将方程转化为标准形式后，利用一元二次方程有两个实数根的两个限制条件（二次项系数不为0、判别式非负）求解，属于中等难度的综合题。
【难度系数】0.5
