8.(★★)如图,在

$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC≠AB$,
$AD$是斜边上的高,
$DE⊥AC,DF⊥AB$,垂
足分别为$E,F$,则图
中与$∠C$($∠C$除外)相等的角有 【 】

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

A

在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AD⊥BC$，$DE⊥AC$，$DF⊥AB$：
1. 因为$∠ C+∠ CDE=90°$，$∠ ADE+∠ CDE=90°$，所以$∠ C=∠ ADE$；
2. 因为$∠ C+∠ B=90°$，$∠ BAD+∠ B=90°$，所以$∠ C=∠ BAD$；
3. 因为$∠ C+∠ B=90°$，$∠ FDB+∠ B=90°$，所以$∠ C=∠ FDB$。
综上，与$∠ C$相等的角有3个。

9.(★★)如图,在

$△ ABC$中,$∠C=90^{\circ },$
$∠B=30^{\circ }$,边$AB$的垂直
平分线$DE$交$AB$于点
$E$,交$BC$于点$D$,$CD=3$,
则$BC$的长为 【 】

A.6
B.$6\sqrt{3}$
C.9
D.$3\sqrt{3}$

C

1. 连接AD，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，故∠BAD=∠B=30°。
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，则∠CAD=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°。
3. 在Rt△ACD中，∠CAD=30°，CD=3，根据含30°角的直角三角形性质，得AD=2CD=6，∴BD=AD=6。
4. 综上，BC=BD+CD=6+3=9。

10.(★★)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠C=90^{\circ }$。
(1)用尺规在边$BC$上求作一点$P$,使
$PA=PB$(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接$AP$,若$AC=4,BC=8$时,试求点
$P$到$AB$边的距离。

解：
(1) 作图：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，交BC于点P，点P即为所求（保留作图痕迹）。
(2) 设$PC=x$，则$PB=PA=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ACP$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC^2 + PC^2 = PA^2$
代入$AC=4$，得：
$4^2 + x^2 = (8-x)^2$
展开并化简：
$16 + x^2 = 64 - 16x + x^2$
$16x = 48$
解得$x=3$，则$PB=8-3=5$。
设点P到AB边的距离为$h$，先计算$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 8^2}=4\sqrt{5}$。
由三角形面积关系：$S_{△PAB}=S_{△ABC}-S_{△ACP}$，得：
$\frac{1}{2} · AB · h = \frac{1}{2} · AC · BC - \frac{1}{2} · AC · PC$
代入数值：
$\frac{1}{2} × 4\sqrt{5} × h = \frac{1}{2} × 4 × 8 - \frac{1}{2} × 4 × 3$
$2\sqrt{5}h = 16 - 6$
$2\sqrt{5}h = 10$
解得$h=\sqrt{5}$。
答：点P到AB边的距离为$\sqrt{5}$。

11.(★★)如图,

$∠AOC=15^{\circ },OC$平分
$∠AOB$,$D$是$OC$上一
点,过点$D$作$DE// OB$
交$OA$于点$E$,$DF⊥OB$
交$OB$于点$F$,已知$DF=1$,则$OE$的长为【 】

A.1
B.2
C.3
D.4

B

1. 由OC平分∠AOB，∠AOC=15°，得∠AOB=30°，∠DOB=∠AOC=15°；
2. 因为DE//OB，所以∠EDO=∠DOB=15°，故∠EOD=∠EDO，得OE=DE；
3. 过D作DG⊥OA于G，根据角平分线的性质，DG=DF=1；
4. 在Rt△DEG中，∠DEG=∠AOB=30°，所以DE=2DG=2，即OE=2。

12.(★★★)如图①和图②,在四边形
$ABCD$中,$∠BAD=α ,∠BCD=180^{\circ }-α ,BD$平
分$∠ABC$。
(1)如图①,若$α =90^{\circ }$,根据教材中一个
重要性质直接可得$AD=CD$,这个性质是
;
(2)如图②,求证:$AD=CD$;
(3)如图③,在等腰$△ ABC$中,$∠BAC=100^{\circ },$
$BD$平分$∠ABC$,求证:$BD+AD=BC$。

思想方法 类比思想

(1) 角平分线上的点到角两边的距离相等
(2) 证明：
过点D作$DM ⊥ AB$，交AB的延长线于点M，$DN ⊥ BC$于点N。
∵ BD平分$∠ ABC$，
∴ $DM=DN$。
∵ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，$∠ BAD + ∠ DAM = 180°$，
∴ $∠ DAM = ∠ BCD$。
在$△ DAM$和$△ DCN$中，
$\begin{cases}∠ DAM = ∠ DCN \\∠ M = ∠ DNC = 90° \\DM = DN\end{cases}$
∴ $△ DAM ≌ △ DCN$（AAS），
∴ $AD=CD$。
(3) 证明：
在BC上取点F，使$BF=BA$，连接DF；再取点E，使$BE=BD$，连接DE。
∵ $△ ABC$是等腰三角形，$∠ BAC=100°$，
∴ $∠ ABC=∠ C=(180°-100°)÷2=40°$。
∵ BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABD=∠ FBD=20°$。
在$△ ABD$和$△ FBD$中，
$\begin{cases}BA=BF \\∠ ABD=∠ FBD \\BD=BD\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ FBD$（SAS），
∴ $AD=DF$，$∠ BFD=∠ BAC=100°$，
∴ $∠ DFC=180°-100°=80°$。
∵ $BE=BD$，$∠ DBC=20°$，
∴ $∠ BDE=∠ BED=(180°-20°)÷2=80°$，
∴ $∠ DFC=∠ BED=80°$，
∴ $DF=DE$。
∵ $∠ DEC=180°-∠ BED=100°$，
∴ $∠ EDC=180°-∠ DEC-∠ C=180°-100°-40°=40°$，
∴ $∠ EDC=∠ C$，
∴ $DE=EC$。
∴ $AD=DF=DE=EC$。
∵ $BD+AD=BE+EC$，
∴ $BD+AD=BC$。