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1.(★★)如图,$AB//$
$CD$,若$∠E=34^{\circ },∠D=$
$20^{\circ }$,则$∠B$的度数为
。
$CD$,若$∠E=34^{\circ },∠D=$
$20^{\circ }$,则$∠B$的度数为
。
答案
解：
∵ ∠ECB是△ECD的外角，
∴ ∠ECB = ∠E + ∠D = 34° + 20° = 54°，
∵ AB//CD，
∴ ∠B = ∠ECB（内错角相等），
∴ ∠B = 54°。
∵ ∠ECB是△ECD的外角，
∴ ∠ECB = ∠E + ∠D = 34° + 20° = 54°，
∵ AB//CD，
∴ ∠B = ∠ECB（内错角相等），
∴ ∠B = 54°。
2.(★)佩佩在某地研学时学习扎染技术,
得到一个内角和为$1080^{\circ }$的正多边形图案,这
个正多边形的每个外角为 【 】
A.$36^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$45^{\circ }$
D.$60^{\circ }$
得到一个内角和为$1080^{\circ }$的正多边形图案,这
个正多边形的每个外角为 【 】
A.$36^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$45^{\circ }$
D.$60^{\circ }$
答案
C
解析
设该正多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°=1080°$，解得$n=8$。因为正多边形外角和为$360°$，所以每个外角为$360°÷8=45°$。
3.(★)一个正多边形,它的一个外角等于
与它相邻的内角的$\frac{1}{4}$,则这个多边形是【 】
A.正十二边形
B.正十边形
C.正八边形
D.正六边形
与它相邻的内角的$\frac{1}{4}$,则这个多边形是【 】
A.正十二边形
B.正十边形
C.正八边形
D.正六边形
答案
B
解析
设这个正多边形的一个内角为$x°$，则与其相邻的外角为$\frac{1}{4}x°$。根据邻补角和为$180°$，得$x + \frac{1}{4}x = 180$，解得$x = 144$，则外角为$180° - 144° = 36°$。因为多边形外角和为$360°$，所以边数为$360°÷36° = 10$，即该多边形是正十边形。
4.(★★)如图,在
$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$
在$AC$上,$BD=BC$,若
$∠A=40^{\circ }$,则$∠ABD$的
度数是 【 】
A.$20^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$35^{\circ }$
D.$40^{\circ }$
$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$
在$AC$上,$BD=BC$,若
$∠A=40^{\circ }$,则$∠ABD$的
度数是 【 】
A.$20^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$35^{\circ }$
D.$40^{\circ }$
答案
B
解析
1. 已知$AB=AC$，$∠ A=40°$，根据等腰三角形性质及三角形内角和定理，得$∠ ABC=∠ C=(180°-40°)÷2=70°$；
2. 因为$BD=BC$，所以$∠ BDC=∠ C=70°$，在$△ BDC$中，$∠ DBC=180°-70°×2=40°$；
3. 则$∠ ABD=∠ ABC - ∠ DBC=70°-40°=30°$。
2. 因为$BD=BC$，所以$∠ BDC=∠ C=70°$，在$△ BDC$中，$∠ DBC=180°-70°×2=40°$；
3. 则$∠ ABD=∠ ABC - ∠ DBC=70°-40°=30°$。
5.(★★)已知:如图,在$△ ABC$中,$BD⊥$
$AC,CE⊥AB$,垂足分别为$D$,
$E$,$BD$与$CE$相交于点$O$,且
$BD=CE$。求证:$OB=OC$。
$AC,CE⊥AB$,垂足分别为$D$,
$E$,$BD$与$CE$相交于点$O$,且
$BD=CE$。求证:$OB=OC$。
答案
证明：
∵ $BD⊥AC$，$CE⊥AB$，
∴ $∠BEC=∠CDB=90°$。
在$Rt△BCE$和$Rt△CBD$中，
$\{\begin{array}{l}CE=BD\\BC=CB\end{array} $
∴ $Rt△BCE ≌ Rt△CBD$（HL）。
∴ $∠ECB=∠DBC$。
∴ $OB=OC$（等角对等边）。
∵ $BD⊥AC$，$CE⊥AB$，
∴ $∠BEC=∠CDB=90°$。
在$Rt△BCE$和$Rt△CBD$中，
$\{\begin{array}{l}CE=BD\\BC=CB\end{array} $
∴ $Rt△BCE ≌ Rt△CBD$（HL）。
∴ $∠ECB=∠DBC$。
∴ $OB=OC$（等角对等边）。
6.(★)如图,在一个
池塘两旁有一条笔直小
路($B,C$为小路端点)和
一棵小树($A$为小树位
置)。测得的相关数据
为$∠ABC=60^{\circ },∠ACB=$
$60^{\circ },BC=48\ \mathrm{m}$,则$AC$的长为 【 】
A.$45\ \mathrm{m}$
B.$48\ \mathrm{m}$
C.$50\ \mathrm{m}$
D.$52\ \mathrm{m}$
池塘两旁有一条笔直小
路($B,C$为小路端点)和
一棵小树($A$为小树位
置)。测得的相关数据
为$∠ABC=60^{\circ },∠ACB=$
$60^{\circ },BC=48\ \mathrm{m}$,则$AC$的长为 【 】
A.$45\ \mathrm{m}$
B.$48\ \mathrm{m}$
C.$50\ \mathrm{m}$
D.$52\ \mathrm{m}$
答案
B
解析
在△ABC中，∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-60°-60°=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=BC=48m。
7.(★★)如图,已知$E$为等边三角形$ABC$
的边$AC$上一点,$∠1=∠2,CD=BE$,试判断
$△ ADE$的形状。
的边$AC$上一点,$∠1=∠2,CD=BE$,试判断
$△ ADE$的形状。
答案
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°。
在△ABE和△ACD中，
$\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠1=∠2\\ BE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△ACD（SAS）。
∴AD=AE，∠CAD=∠BAE=60°。
∴△ADE是等边三角形。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°。
在△ABE和△ACD中，
$\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠1=∠2\\ BE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△ACD（SAS）。
∴AD=AE，∠CAD=∠BAE=60°。
∴△ADE是等边三角形。
