22. 已知$∠ MON=40°$，$OE$平分$∠ MON$，点$A$、$B$、$C$分别是射线$OM$、$OE$、$ON$上的动点(点$A$、$B$、$C$不与点$O$重合)，连结$AB$，连结$AC$交射线$OE$于点$D$，设$∠ BAC=α$.
(1)如图①，若$AB// ON$.
i. $∠ ABO$的度数是；
ii. 当$∠ BAD=∠ ABD$时，$∠ OAC$的度数是；
iii. 当$∠ BAD=∠ BDA$时，$∠ OAC$的度数是.
(2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图②，若$AB⊥ OM$，延长$AB$交射线$ON$于点$F$，当四边形$DCFB$为“完美四边形”时，求$α$的值.

(1)i. $20°$ ii. $120°$ iii. $60°$
(2)i. 当$∠ BDC=2∠ BFC$时，如图①，
$\because AB ⊥ OM$，$∠ MON=40°$，
$\therefore ∠ BFC=50°$.
$\therefore ∠ BDC=2∠ BFC=100°$.
$\because ∠ ABO=∠ BFC+∠ BON=50°+20°=70°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ BDC - ∠ ABO = 100°-70°=30°$.
$\therefore α=30°$.
ii. 当点$C$在点$F$左边，如图②，$∠ DBF=2∠ DCF$时，
$\because AB ⊥ OM$，$∠ AOB=20°$，$∠ MON=40°$，
$\therefore ∠ DBF = ∠ AOB + ∠ OAB = 20°+90°=110°$，$∠ BFC=50°$.
$\therefore ∠ DCF=\dfrac{1}{2}∠ DBF=55°$.
$\therefore ∠ BAC = 180° - ∠ BFC - ∠ ACF = 180°-50°-55°=75°$.
$\therefore α=75°$.
iii. 当点$C$在点$F$右边，如图③，$∠ DBF=2∠ DCF$时，
$\because AB ⊥ OM$，$∠ AOB=20°$，$∠ MON=40°$，
$\therefore ∠ DBF = ∠ ABO = 90° - ∠ AOB = 90°-20°=70°$，$∠ AFO=50°$.
$\therefore ∠ DCF=\dfrac{1}{2}∠ DBF=35°$，$∠ AFC=130°$.
$\therefore ∠ BAC = 180° - ∠ DCF - ∠ AFC = 180°-35°-130°=15°$.
$\therefore α=15°$.
综上所述，当四边形$DCFB$为“完美四边形”时，$α$的值是$30°$或$75°$或$15°$.

【分析】
本题分为两部分求解：
(1) 首先利用角平分线的定义得到∠MOE=∠NOE=20°，i小问结合平行线内错角相等直接求∠ABO；ii、iii小问先求出△OAB中∠OAB的度数，再结合等腰三角形内角和的性质，计算∠BAD的度数，进而得到∠OAC的度数。
(2) 先理解“完美四边形”的定义：四边形存在一个内角是它对角的2倍，因此分三类讨论：①∠BDC=2∠BFC；②∠DBF=2∠DCF，此时还需考虑点C在F左侧、右侧两种位置，结合垂直的性质、三角形内角和、外角性质分别计算α的值，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知∠MON=40°，OE平分∠MON，因此$∠ MOE=∠ NOE=\frac{1}{2}∠ MON=20°$。
i. 因为$AB// ON$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ ABO=∠ NOE=20°$。
ii. 当$∠ BAD=∠ ABD$时，$∠ BAD=∠ ABD=20°$，在$△ OAB$中，$∠ OAB=180°-∠ AOB-∠ ABO=180°-20°-20°=140°$，因此$∠ OAC=∠ OAB-∠ BAD=140°-20°=120°$。
iii. 当$∠ BAD=∠ BDA$时，在$△ ABD$中，$∠ ABD=20°$，因此$∠ BAD=(180°-20°)÷2=80°$，$∠ OAC=∠ OAB-∠ BAD=140°-80°=60°$。
(2) 分情况讨论：
i. 当$∠ BDC=2∠ BFC$时：
$\because AB⊥ OM$，$\therefore ∠ OAF=90°$，在$△ OAF$中，$∠ BFC=∠ AFO=180°-90°-40°=50°$，
$\therefore ∠ BDC=2×50°=100°$，
$\because ∠ BDC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ BDC=∠ ABD+∠ BAC$，
又$\because ∠ ABO=180°-∠ AOB-∠ OAB=180°-20°-90°=70°$，
$\therefore α=∠ BAC=100°-70°=30°$。
ii. 当点C在点F左侧，$∠ DBF=2∠ DCF$时：
$\because ∠ DBF$是$△ ABO$的外角，$\therefore ∠ DBF=∠ OAB+∠ AOB=90°+20°=110°$，
$\therefore ∠ DCF=110°÷2=55°$，
在$△ AFC$中，$∠ AFC=50°$，
$\therefore α=∠ BAC=180°-∠ AFC-∠ DCF=180°-50°-55°=75°$。
iii. 当点C在点F右侧，$∠ DBF=2∠ DCF$时：
$∠ DBF=∠ ABO=90°-∠ AOB=90°-20°=70°$，
$\therefore ∠ DCF=70°÷2=35°$，
此时$∠ AFC=180°-∠ AFO=180°-50°=130°$，
在$△ AFC$中，$α=∠ BAC=180°-∠ AFC-∠ DCF=180°-130°-35°=15°$。
综上，$α$的值为$30°$或$75°$或$15°$。
【答案】
(1)i. $20°$ ii. $120°$ iii. $60°$
(2) $α$的值是$30°$或$75°$或$15°$


【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查角度计算相关知识，结合新定义题型，既考查基础性质的应用，也要求学生具备分类讨论的思想，解题时需注意动点位置的多种可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.4