21. 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础. 如图①小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究.

(1)数轴上表示-4和2的两点之间的距离是 .
(2)折叠纸面，若使表示-4的点与表示2的点重合，回答下列问题：
i. 这时数轴上有一点与表示8的点重合，求出该点所表示的数；
ii. 如果数轴上M、N两点之间距离为1 996(M在N的左侧)，且M、N两点经折叠后重合，则M、N点表示的数分别是多少？
(3)在数轴上剪下一条线段AD，点A、D表示的数分别为-5，4，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段(如图②)，若这三条线段的长度之比为1:1:2，那么折痕处对应的点所表示的数是多少？(请直接写出结果)

(1)6
(2)i. 表示-10的点与表示8的点重合；ii. M、N两点表示的数分别为-999，997.
(3)$-\dfrac{13}{8}$或$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{5}{8}$.

【分析】
(1) 数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值（或右侧数减左侧数），直接代入计算即可。
(2) 折叠后两点重合说明折痕是两点的中点，即两点所表示数的平均数。先求出-4和2的中点得到折痕对应的数，再根据“折叠后重合的两点的平均数等于折痕对应的数”这一规律，分别求解i和ii即可。
(3) 先计算线段AD的总长度，结合长度比求出每段线段的长度，再分三种不同的线段排列情况，结合折叠性质分别计算折痕对应的数，注意不要漏解。
【解析】
(1) 表示-4和2的两点距离为：$2 - (-4) = 6$。
(2) 折叠后-4与2重合，折痕对应的数为两点中点：$\dfrac{-4+2}{2}=-1$。
i. 设与8重合的点表示的数为$x$，可得$\dfrac{x+8}{2}=-1$，解得$x=-10$。
ii. M、N折叠后重合，说明两点到折痕-1的距离相等，已知$MN=1996$，则两点到-1的距离均为$1996÷2=998$。因为M在N左侧，所以$M=-1-998=-999$，$N=-1+998=997$。
(3) 线段AD总长：$4 - (-5) = 9$，按$1:1:2$分配，每份长度为$9÷(1+1+2)=\dfrac{9}{4}$，三段长度分别为$\dfrac{9}{4}、\dfrac{9}{4}、\dfrac{9}{2}$，分三种情况：
① 线段顺序为$1:1:2$时，折痕对应数为$-5+\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{8}=-\dfrac{13}{8}$；
② 线段顺序为$1:2:1$时，折痕对应数为$-5+\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}=-\dfrac{1}{2}$；
③ 线段顺序为$2:1:1$时，折痕对应数为$-5+\dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{8}=\dfrac{5}{8}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；
(2)i. $\boldsymbol{-10}$；ii. M表示$\boldsymbol{-999}$，N表示$\boldsymbol{997}$；
(3) $\boldsymbol{-\dfrac{13}{8}}$或$\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$或$\boldsymbol{\dfrac{5}{8}}$。
【知识点】
数轴两点距离，数轴折叠问题，分类讨论思想
【点评】
本题考查数轴的综合应用，融合了数形结合和分类讨论的数学思想，前两问侧重基础性质的应用，第三问需要考虑所有线段排列的可能，避免漏解，掌握数轴中点计算方法和折叠的性质是解题核心。
【难度系数】
0.6