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1. 在数字 $1,2,3,4$ 中任选两个组成一个两位数,这个两位数能被 $3$ 整除的概率为( )
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{8}$
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{8}$
答案
A
解析
在数字1,2,3,4中任选两个组成的两位数有：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共12个。
能被3整除的两位数需满足各位数字之和能被3整除，符合条件的有：12(1+2=3)，21(2+1=3)，24(2+4=6)，42(4+2=6)，共4个。
概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
A
能被3整除的两位数需满足各位数字之和能被3整除，符合条件的有：12(1+2=3)，21(2+1=3)，24(2+4=6)，42(4+2=6)，共4个。
概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
A
2. 哥德巴赫提出“每个大于 $2$ 的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想,我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 在质数 $2,3,5$ 中,随机选取两个不同的数,其和是偶数的概率是( )
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
B
解析
从质数2,3,5中随机选取两个不同的数，所有可能的结果有：(2,3)，(2,5)，(3,5)，共3种。
其中和是偶数的结果：只有(3,5)，其和为3+5=8，是偶数，共1种。
所以概率为$\frac{1}{3}$。
B
其中和是偶数的结果：只有(3,5)，其和为3+5=8，是偶数，共1种。
所以概率为$\frac{1}{3}$。
B
3. 在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、等腰梯形和圆的图案,现将印有图案的一面朝下,混合后从中一次性随机抽取两张,则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为( )
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
C
解析
首先确定轴对称图形：等边三角形、等腰梯形、圆是轴对称图形，平行四边形不是。
记等边三角形为A，平行四边形为B，等腰梯形为C，圆为D。
所有可能抽取的两张卡片组合：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
都是轴对称图形的组合：AC、AD、CD，共3种。
概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
C
记等边三角形为A，平行四边形为B，等腰梯形为C，圆为D。
所有可能抽取的两张卡片组合：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
都是轴对称图形的组合：AC、AD、CD，共3种。
概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
C
4. 为了深化落实“双减”工作,促进中小学生健康成长,教育部门加大了督查力度,对学生的作业、睡眠、手机、读物、体质这五项管理要求的落实情况进行抽样调查. 计划从中随机抽取两项进行问卷调查,则抽到“作业”和“手机”的概率为______.
答案
$\frac{1}{10}$
解析
五项管理分别记为：A（作业）、B（睡眠）、C（手机）、D（读物）、E（体质）。
从五项中随机抽取两项，所有可能的结果有：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10种。
其中抽到“作业”和“手机”（即AC）的结果有1种。
所以抽到“作业”和“手机”的概率为$\frac{1}{10}$。
$\frac{1}{10}$
从五项中随机抽取两项，所有可能的结果有：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10种。
其中抽到“作业”和“手机”（即AC）的结果有1种。
所以抽到“作业”和“手机”的概率为$\frac{1}{10}$。
$\frac{1}{10}$
5. 甲、乙两人都握有分别标记 $A,B,C$ 的三张牌,两人做游戏,游戏规则是：若两人出的牌不同,则 $A$ 胜 $B$,$B$ 胜 $C$,$C$ 胜 $A$；若两人出的牌相同,则为平局.
(1)用列表法表示出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；
(2)求出现平局的概率.
(1)用列表法表示出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；
(2)求出现平局的概率.
答案
(1)表略,共有9种可能的结果.
(2)
∵出现平局的有$(A,A),(B,B),(C,C)3$种情况,
∴出现平局的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
6. 在一只不透明的布袋中,装有质地、大小均相同的四个小球,小球上分别标有数字 $1,2,3,4$. 甲、乙两人玩摸球游戏,规则为：两人同时从袋中随机摸出 $1$ 个小球,若两球上的数字之和为奇数,则甲胜；若两球上的数字之和为偶数,则乙胜.
(1)请用画树状图或列表的方法,求甲获胜的概率；
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由.
(1)请用画树状图或列表的方法,求甲获胜的概率；
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由.
答案
(1)画树状图略,甲获胜的概率为$\frac{2}{3}$;
(2)乙获胜的概率为$\frac{1}{3}$,因为$\frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$,所以游戏不公平
7. 你喜欢玩游戏吗？现请你玩一个转盘游戏. 如图所示的两个转盘中指针落在每一个数字上的机会均等. 现同时自由转动甲、乙两个转盘,转盘停止后,指针各指向一个数字,用所指的两个数字作乘积.
(1)列举所有可能得到的数字之积；
(2)求出数字之积为偶数的概率.
(1)列举所有可能得到的数字之积；
(2)求出数字之积为偶数的概率.
答案
(1)略;
(2)$P$(偶数)$=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$
