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【例3】请写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。
(1) 两直线平行，内错角相等；
(2) 对顶角相等；
(3) 等腰三角形有两条边相等；
(4) 同角(或等角)的余角相等。
(1) 两直线平行，内错角相等；
(2) 对顶角相等；
(3) 等腰三角形有两条边相等；
(4) 同角(或等角)的余角相等。
答案
(1)逆命题：内错角相等，两直线平行；真命题。
(2)逆命题：相等的角是对顶角；假命题。
(3)逆命题：有两条边相等的三角形是等腰三角形；真命题。
(4)逆命题：如果两个角的余角相等，那么这两个角是同角或等角；真命题。
(2)逆命题：相等的角是对顶角；假命题。
(3)逆命题：有两条边相等的三角形是等腰三角形；真命题。
(4)逆命题：如果两个角的余角相等，那么这两个角是同角或等角；真命题。
【变式3】“若a=b，则a²=b²”为原命题，则下列判定正确的是()。
A.原命题为真命题，逆命题为假命题
B.原命题与逆命题均为真命题
C.原命题为假命题，逆命题为真命题
D.原命题与逆命题均为假命题
A.原命题为真命题，逆命题为假命题
B.原命题与逆命题均为真命题
C.原命题为假命题，逆命题为真命题
D.原命题与逆命题均为假命题
答案
A
解析
原命题“若$a=b$，则$a^2=b^2$”是真命题，因为当$a=b$时，$a^2$必然等于$b^2$。
逆命题为“若$a^2=b^2$，则$a=b$”，这是假命题，因为当$a^2=b^2$时，$a$可能等于$b$或$a$等于$-b$。例如，当$a=2$，$b=-2$时，$a^2=4$，$b^2=4$，但$a \neq b$，所以逆命题是假命题。
根据以上分析，只有原命题为真命题，逆命题为假命题。
逆命题为“若$a^2=b^2$，则$a=b$”，这是假命题，因为当$a^2=b^2$时，$a$可能等于$b$或$a$等于$-b$。例如，当$a=2$，$b=-2$时，$a^2=4$，$b^2=4$，但$a \neq b$，所以逆命题是假命题。
根据以上分析，只有原命题为真命题，逆命题为假命题。
1. 线段AB的垂直平分线上有一点P，若PA=3，则PB的值为()。
A.3
B.4
C.2
D.无法确定
A.3
B.4
C.2
D.无法确定
答案
A
解析
因为点$P$在线段$AB$的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。已知$PA = 3$，所以$PB=PA = 3$。
2. 如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=43°，则∠BDC的度数为()。
A.90°
B.60°
C.86°
D.43°
A.90°
B.60°
C.86°
D.43°
答案
C
解析
∵ 线段AC的垂直平分线交AB于点D，
∴ DA=DC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∴ ∠A=∠DCA=43°（等边对等角）。
∵ ∠BDC是△ADC的外角，
∴ ∠BDC=∠A+∠DCA=43°+43°=86°。
3. 命题“等边三角形的三个角相等”的逆命题是。
答案
三个角相等的三角形是等边三角形
解析
将原命题的题设和结论互换，原命题题设为“一个三角形是等边三角形”，结论为“它的三个角相等”，故逆命题为“三个角相等的三角形是等边三角形”。
4. 某工件的草图如图所示，在△ABC中，AC=12，BC=25，边AB上的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长是。
答案
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵△ACE的周长=AC+CE+AE，
又∵AE=BE，
∴△ACE的周长=AC+CE+BE=AC+BC。
∵AC=12，BC=25，
∴△ACE的周长=12+25=37。
37
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵△ACE的周长=AC+CE+AE，
又∵AE=BE，
∴△ACE的周长=AC+CE+BE=AC+BC。
∵AC=12，BC=25，
∴△ACE的周长=12+25=37。
37
1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点M恰好在AC上，且AC=16 cm，则MB的长为cm。
答案
8
解析
垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
由于点 $M$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，
所以，$MA = MB$，
由于点 $M$ 也在 $BC$ 的垂直平分线上，
所以，$MB = MC$，
由于点 $M$ 在$AC$上，
所以，$AC = MA + MC = MB + MB = 2MB$，
已知$AC = 16 cm$，
所以，$MB = 8 cm$。
由于点 $M$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，
所以，$MA = MB$，
由于点 $M$ 也在 $BC$ 的垂直平分线上，
所以，$MB = MC$，
由于点 $M$ 在$AC$上，
所以，$AC = MA + MC = MB + MB = 2MB$，
已知$AC = 16 cm$，
所以，$MB = 8 cm$。
2. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3 cm，△ABD的周长为12 cm，则△ABC的周长为cm。
答案
18
解析
∵DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，
∴AC=2AE=6cm，AD=DC。
∵△ABD的周长为12cm，即AB+BD+AD=12cm，
又∵AD=DC，
∴AB+BD+DC=AB+BC=12cm。
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12+6=18cm。
∴AC=2AE=6cm，AD=DC。
∵△ABD的周长为12cm，即AB+BD+AD=12cm，
又∵AD=DC，
∴AB+BD+DC=AB+BC=12cm。
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12+6=18cm。
3. (易错题)已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且AP=PB，则下列结论：①OA=OB；②PO⊥AB；③∠APO=∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上。其中正确的是。(填序号)
答案
④
解析
根据条件$AP = PB$，只能确定点$P$到点$A$和点$B$的距离相等，根据线段垂直平分线的性质：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，所以点$P$在线段$AB$的垂直平分线上，故④正确。
而仅由直线$l$与线段$AB$交于点$O$，点$P$在直线$l$上且$AP = PB$，不能得出$OA = OB$，$PO\perp AB$，$\angle APO=\angle BPO$，故①②③错误。
而仅由直线$l$与线段$AB$交于点$O$，点$P$在直线$l$上且$AP = PB$，不能得出$OA = OB$，$PO\perp AB$，$\angle APO=\angle BPO$，故①②③错误。
4. 如图，AD为△ABC的角平分线，AE=AF。求证：线段AD所在的直线为线段EF的垂直平分线。
答案
证明：
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD = ∠FAD。
在△AED和△AFD中，
∵AE = AF，∠EAD = ∠FAD，AD = AD，
∴△AED≌△AFD（SAS）。
∴DE = DF。
∵AE = AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上。
∵DE = DF，
∴点D在线段EF的垂直平分线上。
∵点A、D均在直线AD上，
∴线段AD所在的直线为线段EF的垂直平分线。
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD = ∠FAD。
在△AED和△AFD中，
∵AE = AF，∠EAD = ∠FAD，AD = AD，
∴△AED≌△AFD（SAS）。
∴DE = DF。
∵AE = AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上。
∵DE = DF，
∴点D在线段EF的垂直平分线上。
∵点A、D均在直线AD上，
∴线段AD所在的直线为线段EF的垂直平分线。
