1. 线段的垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离。

相等

根据线段垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

2. 线段的垂直平分线的判定
与线段两个端点的点在这条线段的垂直平分线上。

距离相等

线段垂直平分线的判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3. 逆命题与逆定理
(1) 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的。
(2) 如果一个定理的逆命题经过证明是，那么它也是一个，这两个定理叫作互逆定理。其中一个定理叫作另一个定理的。

(1)逆命题；(2)真命题；定理；逆定理

(1)根据互逆命题的定义，两个命题题设、结论相反，原命题对应的是逆命题。(2)定理的逆命题需经过证明是正确的（即真命题），才能成为定理，这样的两个定理互逆，其中一个是另一个的逆定理。

【例1】如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线MN交AC于点D，交BC于点E，连接BD。若CE=4，△BDC的周长为18，求BD的长。

∵MN是BC的垂直平分线，CE=4，
∴BC=2CE=8，BD=DC。
∵△BDC的周长为18，
∴BD+DC+BC=18。
∵BD=DC，BC=8，
∴2BD+8=18，
∴2BD=10，
∴BD=5。
答案：5

【变式1】如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为G，E，F是AB上两点。下列结论中不正确的是()。


A.EC=CD
B.EC=ED
C.CF=DF
D.CG=DG

A

本题可根据线段垂直平分线的性质来逐一分析选项。
线段垂直平分线的性质为：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
选项A：
已知$AB$是线段$CD$的垂直平分线，$E$在$AB$上，根据线段垂直平分线的性质可知，$E$到$C$、$D$两点的距离相等，即$EC = ED$，而不是$EC = CD$，所以该选项错误。
选项B：
因为$AB$是线段$CD$的垂直平分线，$E$是$AB$上的点，由线段垂直平分线的性质可得$EC = ED$，所以该选项正确。
选项C：
由于$AB$是线段$CD$的垂直平分线，$F$在$AB$上，根据线段垂直平分线的性质可知，$F$到$C$、$D$两点的距离相等，即$CF = DF$，所以该选项正确。
选项D：
因为$AB$是线段$CD$的垂直平分线，垂足为$G$，根据垂直平分线的定义可知，垂直平分线垂直且平分线段，所以$CG = DG$，该选项正确。

【例2】如图，点P在线段AB的垂直平分线上，PC⊥PA，PD⊥PB，AC=BD。
求证：点P在线段CD的垂直平分线上。

证明：
∵点$P$在线段$AB$的垂直平分线上，
∴$PA = PB$（线段垂直平分线的性质）。
∵$PC\perp PA$，$PD\perp PB$，
∴$\angle PAC=\angle PBD = 90^{\circ}$。
在$\triangle PAC$和$\triangle PBD$中，
$\begin{cases}PA=PB,\\\angle PAC=\angle PBD,\\AC = BD,\end{cases}$
∴$\triangle PAC\cong\triangle PBD( SAS)$。
∴$PC=PD$（全等三角形对应边相等）。
∴点$P$在线段$CD$的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。

【变式2】下列说法：①若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；②若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；③若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB。其中正确的有()。

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

C

① 对于$PA=PB$和$EA=EB$，假设$P$和$E$是两个不同的点，那么根据线段的垂直平分线的性质，若两点到线段两端点的距离相等，则这两点都在线段的垂直平分线上，所以直线$PE$垂直平分线段$AB$，说法正确。
② 对于$PA=PB$，根据线段的垂直平分线的性质，若点$P$到线段$AB$的两端点距离相等，则点$P$必在线段$AB$的垂直平分线上，说法正确。
③ 对于$EA=EB$，仅说明点$E$到线段$AB$的两端点距离相等，但并不能直接推断出过点$E$的任意直线都垂直平分线段$AB$，实际上只有一条过点$E$的直线垂直平分线段$AB$，所以此说法错误。
综上，正确的有①②，共两个。