4. (★★)如图 24.4 - 18①,是一个圆锥形状的生日帽,若该圆锥形状的帽子的母线长为 $ 6 cm $,底面半径为 $ 2 cm $,将该帽子沿母线剪开,如图 24.4 - 18②,则其侧面展开扇形的圆心角的度数为.

$120°$

设侧面展开扇形的圆心角的度数为 $n$ 度。
根据圆锥侧面展开图的性质，圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长。
圆锥的底面周长为 $2\pi r = 2\pi × 2 = 4\pi$。
侧面展开图的弧长公式为：$\frac{n\pi × 6}{180}$。
将两者相等，得到方程：
$\frac{n\pi × 6}{180} = 4\pi$，
$n\pi × 6= 720\pi$，
$n = 120$。
所以，侧面展开扇形的圆心角的度数为 $120°$。

5. (★★)已知一个圆锥的母线长为 $ 2 cm $,它的侧面展开图恰好是一个半圆,则这个圆锥的侧面积等于 $ cm^2 $. (用含 $ \pi $ 的式子表示)

$2\pi$

设圆锥的底面半径为 $r$，母线长为 $l$，已知 $l = 2cm$。
圆锥的侧面展开图是一个半圆，其弧长等于圆锥底面的周长，即 $2\pi r$。
半圆的周长（弧长）为 $\pi l$，因为 $l$ 是半圆的直径。
由 $\pi l = 2\pi r$，代入 $l = 2cm$，解得 $r = 1cm$。
圆锥的侧面积 $S$ 可以用公式 $S = \pi rl$ 计算。
代入 $r = 1cm$ 和 $l = 2cm$，得到 $S = \pi × 1 × 2 = 2\pi cm^2$（侧面积等于半圆面积也可）。

6. (★★)如图 24.4 - 19,正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 4 $,以点 $ A $ 为圆心,$ AD $ 的长为半径,画圆弧 $ DE $ 得到扇形 $ DAE $ (阴影部分,点 $ E $ 在对角线 $ AC $ 上). 若扇形 $ DAE $ 正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是【】

A.$ \sqrt{2} $
B.$ 1 $
C.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ \frac{1}{2} $

D

∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AD=4，∠DAC=45°（正方形对角线平分内角）。
扇形DAE的半径为AD=4，圆心角∠DAE=45°，
其弧长为：$\frac{45\pi×4}{180}=\pi$。
设圆锥底面圆半径为r，圆锥底面周长=扇形弧长，
即$2\pi r=\pi$，解得$r=\frac{1}{2}$。

7. (★★)已知圆锥的底面半径为 $ 3 $,侧面积为 $ 15\pi $,则这个圆锥的高为.

4

设圆锥的母线长为 $l$，底面半径为 $r = 3$，侧面积为 $S = 15\pi$。
根据圆锥侧面积的公式，有$S = \pi r l$。
代入已知条件，得$15\pi = \pi × 3 × l$。
解得$l = 5$。
利用勾股定理，圆锥的高 $h$ 可计算为$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$。

8. (★★)若一个圆锥的底面积为 $ 4\pi cm^2 $,高为 $ 4\sqrt{2} cm $,则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为【】
A.$ 40^{\circ} $
B.$ 80^{\circ} $
C.$ 120^{\circ} $
D.$ 150^{\circ} $

C

1. 圆锥底面积 $S = \pi r^2 = 4\pi$，解得底面半径 $r = 2 \, cm$。
2. 圆锥高 $h = 4\sqrt{2} \, cm$，母线长 $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 32} = 6 \, cm$。
3. 底面圆周长 $C = 2\pi r = 4\pi \, cm$。
4. 侧面展开图为扇形，其弧长等于底面圆周长，设圆心角为 $n°$，则 $\frac{n}{360} × 2\pi l = 4\pi$，即 $\frac{n}{360} × 12\pi = 4\pi$。
5. 解得 $n = 120$。

9. (★★)(2023·东平)如图 24.4 - 20,从一块半径为 $ 1 m $ 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 $ 120^{\circ} $ 的扇形 $ ABC $,若将剪下来的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆的半径为$ m $.

$\frac{1}{3} $

设圆锥的底面圆的半径为 $ r $，则圆锥的底面圆的周长为 $ 2\pi r $。
根据题意，扇形 $ ABC $ 的圆心角为 $ 120° $，半径为 $ 1 $ m，因此扇形的弧长为：
$\frac{120}{360} × 2\pi × 1 = \frac{1}{3} × 2\pi = \frac{2\pi}{3} $。
因为扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，所以有：
$2\pi r = \frac{2\pi}{3} $。
解这个方程：
$r = \frac{1}{3} $。

10. (★★)(2023·秦皇岛)一个圆锥的底面半径是 $ 4 cm $,其侧面展开图的圆心角是 $ 120^{\circ} $,则圆锥的母线长是【】
A.$ 8 cm $
B.$ 12 cm $
C.$ 16 cm $
D.$ 24 cm $

B

圆锥的底面半径为$4$cm，则底面周长为$2\pi × 4 = 8\pi$cm。
设圆锥的母线长为$l$，侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长，扇形的圆心角为$120°$，
所以，根据扇形的弧长公式可得：$\frac{120}{360} × 2\pi l = 8\pi$。
化简得：$\frac{1}{3} × 2\pi l = 8\pi$，
进一步化简：$\frac{2\pi l}{3} = 8\pi$，
$2\pi l = 24\pi$，
$l = 12$。
所以圆锥的母线长为$12$cm。

11. (★★)一个圆锥的母线长是底面半径的 $ 2 $ 倍,则侧面展开图扇形的圆心角是【】
A.$ 60^{\circ} $
B.$ 90^{\circ} $
C.$ 120^{\circ} $
D.$ 180^{\circ} $

D

设圆锥底面半径为$r$，则母线长为$2r$。
底面周长为$2\pi r$，侧面展开图为扇形，其弧长等于底面周长，半径等于母线长$2r$。
设扇形圆心角为$n°$，则由弧长公式得：
$2\pi r = \frac{n × \pi × 2r}{180}$，
化简得$n = 180$。

12. (★★)如图 24.4 - 21,矩形纸片 $ ABCD $ 中,$ AD = 6 cm $,把它分割成正方形纸片 $ ABFE $ 和矩形纸片 $ EFCD $ 后,分别裁出扇形 $ ABF $ 和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则 $ AB $ 的长为【】

A.$ 3.5 cm $
B.$ 4 cm $
C.$ 4.5 cm $
D.$ 5 cm $

B

设 $ AB = x \, cm $，则正方形 $ ABFE $ 的边长为 $ x \, cm $，$ BF = x \, cm $。
因为 $ AD = 6 \, cm $，所以 $ FC = BC - BF = 6 - x \, cm $，矩形 $ EFCD $ 的宽为 $ 6 - x \, cm $。
扇形 $ ABF $ 以 $ B $ 为圆心，$ AB $ 为半径，圆心角 $ 90° $，其弧长为：
$ 弧长 = \frac{90\pi x}{180} = \frac{\pi x}{2} $
矩形 $ EFCD $ 中最大圆的直径为其较短边，即 $ \min(x, 6 - x) $，半径 $ r = \frac{\min(x, 6 - x)}{2} $。
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，即 $ \frac{\pi x}{2} = 2\pi r $，化简得 $ r = \frac{x}{4} $。
若 $ x \geq 6 - x $（即 $ x \geq 3 $），则 $ r = \frac{6 - x}{2} $，代入 $ r = \frac{x}{4} $：
$ \frac{6 - x}{2} = \frac{x}{4} $
解得 $ x = 4 $，符合 $ x \geq 3 $。